微細(xì)觀尺度下歐拉梁的力學(xué)模型及有限元分析

賀　丹，陳　博，楊萬(wàn)里

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,沈陽(yáng) 110136)

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微細(xì)觀尺度下歐拉梁的力學(xué)模型及有限元分析

賀丹，陳博，楊萬(wàn)里

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,沈陽(yáng) 110136)

基于修正偶應(yīng)力理論建立了僅含一個(gè)尺度參數(shù)且適用于各種邊界條件的微尺度歐拉梁模型?；诠茴D原理推導(dǎo)了微尺度歐拉梁的平衡微分方程，該方程與經(jīng)典梁的平衡微分方程具有相似的形式，只是在彎曲剛度中多了一項(xiàng)與尺度效應(yīng)有關(guān)的項(xiàng)，可直接用于分析和解釋多尺度問(wèn)題。提出了一種模量折算策略，從而利用經(jīng)典梁?jiǎn)卧纯赏瓿蓪?duì)微細(xì)觀尺度下的梁的彎曲、動(dòng)力和穩(wěn)定問(wèn)題的求解。算例結(jié)果表明，在微細(xì)觀尺度下梁結(jié)構(gòu)將表現(xiàn)出比宏觀狀態(tài)下更強(qiáng)的抗彎剛度，即本文模型能捕捉到尺度效應(yīng)。進(jìn)一步的研究則指出，幾何尺寸的大小是尺度效應(yīng)的決定性因素。

修正偶應(yīng)力理論；尺度效應(yīng)；有限元；微尺度梁

近年來(lái)，微尺度下的尺度效應(yīng)受到了廣泛的關(guān)注，眾多微尺度實(shí)驗(yàn)[1-6]證明，當(dāng)構(gòu)件的尺寸處于微/納米量級(jí)時(shí)，試件的剛度和強(qiáng)度大于宏觀尺寸下的剛度和強(qiáng)度，這種現(xiàn)象被稱為尺度效應(yīng)。在微尺度領(lǐng)域，由于尺度效應(yīng)的存在使得傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)不再適用，因此人們發(fā)展了偶應(yīng)力理論[7-13]和應(yīng)變梯度理論等微極彈性理論來(lái)唯象地描述這種現(xiàn)象，其中偶應(yīng)力理論相比應(yīng)變梯度理論具有較少的特征尺度參數(shù)，因而更適合工程應(yīng)用。Yang和Chong等人[11]提出的修正偶應(yīng)力理論將特征尺度參數(shù)降為一個(gè)?；谛拚紤?yīng)力理論，科研工作者建立了一系列微尺度板/梁模型[14-21 ]，并分析了其尺度效應(yīng)。Park和Gao等人首先建立了歐拉梁的彎曲模型，并基于修正偶應(yīng)力理論給出了微尺度歐拉懸臂梁彎曲的解析解[19]。另外，Park和Gao建立的微尺度歐拉懸臂梁模型捕捉到了彎曲的尺度效應(yīng)，即與經(jīng)典梁模型的撓度差隨著梁厚度的減小而增大，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。盡管上述文章基于修正偶應(yīng)力理論建立了微尺度歐拉梁模型且很好地分析了其微觀特性，但其分析求解過(guò)程受邊界條件的限制，不適合工程應(yīng)用。

本文基于Yang和Chong[11]等人提出的僅包含一個(gè)特征尺度參數(shù)的修正偶應(yīng)力理論建立了適用于任何邊界條件的微尺度歐拉梁模型?；诠茴D原理推導(dǎo)了微尺度歐拉梁的平衡微分方程，發(fā)現(xiàn)其與經(jīng)典梁的平衡微分方程一致；故通過(guò)一次簡(jiǎn)單的模量折算采用有限元經(jīng)典梁?jiǎn)卧?jiǎn)單、有效地求解了平衡微分方程，非常適合工程應(yīng)用。算例結(jié)果表明，本文懸臂邊界條件下彎曲撓度的有限元結(jié)果與已有的文獻(xiàn)相吻合，從而驗(yàn)證了本文方法的精度和可靠性，故進(jìn)一步分析了不同邊界條件下歐拉微梁彎曲撓度、自振頻率和屈曲載荷的尺度效應(yīng)。本文的有限元法亦可擴(kuò)展應(yīng)用于分析微尺度Kirchhoff板模型的微觀特性。

1　歐拉微梁

1.1修正偶應(yīng)力理論

修正偶應(yīng)力理論由Yang[11]等提出，該理論中應(yīng)變張量和曲率張量定義為

εij=(ui,j+uj,i/2)，χij=(ωi,j+ωj,i)/2

(1)

其中，ωi=eijkuk,j/2，eijk為輪換算符；u(ui)分別為沿x、y和z軸的平動(dòng)位移，ωi分別為沿x、y和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)位移；εij和χij均是對(duì)稱張量，分別表示應(yīng)變和曲率。

基于修正偶應(yīng)力理論，微尺度下的本構(gòu)方程可表示為

σij=λεkkδij+2Gεij，mij=2l2Gχij

(2)

其中，λ和G為拉梅常數(shù)，l是微結(jié)構(gòu)的特征尺度參數(shù)，δij為克羅內(nèi)克符號(hào)，mij為偶應(yīng)力矩分量，σij為應(yīng)力分量。由于曲率張量是對(duì)稱的，因此對(duì)于各向同性材料來(lái)說(shuō)，其偶應(yīng)力張量也是對(duì)稱的。

1.2歐拉梁的基本方程

歐拉梁模型的位移場(chǎng)函數(shù)可表示為

(3)

其中，u、v和w分別為沿x、y和z軸的平動(dòng)位移。梁模型如圖1所示，x方向?yàn)榱洪L(zhǎng)方向，z為梁厚度方向，Pb為臨界載荷，fw為橫向載荷，h為梁的厚度。

圖1　歐拉梁示意圖

將式(3)代入式(1)，則非零的應(yīng)變和曲率分量可表示為

(4)

將式(4)代入本構(gòu)方程(2)，則非零的應(yīng)力和偶應(yīng)力力矩分量為

(5)

其中，E和G分別為材料彈性模量和剪切模量。

2　梁的控制方程

基于修正偶應(yīng)力理論，歐拉微梁的應(yīng)變能可表示成

(6)

其中，U為應(yīng)變能，V為梁的體積域，Pb為屈曲載荷，L為梁的長(zhǎng)度。

將式(4)、(5)代入式(6)，則歐拉微梁的應(yīng)變能可表示為

(7)

其中，A和I分別為截面的面積和慣性力矩。微梁的動(dòng)能T可以寫成

(8)

其中，ρ為材料密度，u是梁的平動(dòng)位移。微梁的外力功W可以寫成

(9)

其中，fw為橫向載荷。

微梁的哈密頓原理表達(dá)如下

(10)

將式(7)和式(9)代入(10)，可得梁的平衡方程

(11)

其中，當(dāng)Pb和?2w/?t2為零時(shí)，式(11)退化為歐拉微梁的彎曲模型；當(dāng)Pb和fw為零時(shí)，式(11)退化為歐拉微梁的自由振動(dòng)模型；當(dāng)fw和?2w/?t2為零時(shí)，式(11)退化為歐拉微梁的穩(wěn)定模型。若令l=0，則式(11)即退化為經(jīng)典梁模型的平衡方程

(12)

對(duì)比式(11)與式(12)可知，微尺度梁模型的微分方程與經(jīng)典梁模型的微分方程一致,只是在彎曲剛度中多了一項(xiàng)與尺度效應(yīng)有關(guān)的項(xiàng)。同理，微尺度Kirchhoff板模型的微分方程與經(jīng)典板模型的微分方程也一致。

3　有限元法

本文基于微尺度梁模型的微分方程與經(jīng)典梁模型的微分方程一致，通過(guò)模量折算采用經(jīng)典梁?jiǎn)卧治隽宋⒊叨饶Ｐ偷奈⒂^特性，這種方法簡(jiǎn)單、方便，非常適合工程應(yīng)用。

由式(12)可知，經(jīng)典梁模型的剛度僅由EI貢獻(xiàn)；而由式(11)可知，歐拉微梁模型的剛度主要由EI和l2GA兩項(xiàng)貢獻(xiàn)，其中第一項(xiàng)為經(jīng)典剛度，第二項(xiàng)是由尺度效應(yīng)引起的增強(qiáng)項(xiàng)。模量折算策略即將由尺度效應(yīng)引起的增強(qiáng)項(xiàng)折算到經(jīng)典剛度中,模量折算公式可表示為

(13)

將式(13)代入式(11)，則折算后新模型的平衡方程為

(14)

該平衡微分方程與經(jīng)典梁模型的平衡微分方程的形式完全相同，僅彈性模量不同。經(jīng)典梁模型的平衡微分方程可通過(guò)有限元軟件求解，故折算后的新微分方程亦可由現(xiàn)有有限元軟件求解。該方法實(shí)現(xiàn)了僅用經(jīng)典梁?jiǎn)卧纯煞治鑫⒊叨饶Ｐ偷奈⒂^特性，因而非常適合工程應(yīng)用。同理，該方法可推廣應(yīng)用于分析微尺度Kirchhoff板模型。

4　算例

算例中我們首先檢驗(yàn)了本文有限元法在彎曲分析中的精度，之后通過(guò)若干算例研究了各種邊界條件下彎曲撓度、自振頻率和屈曲載荷的尺度效應(yīng)。為方便表達(dá)梁兩端的邊界條件，用C表示固支，F(xiàn)表示自由端，H表示簡(jiǎn)支。梁的初始幾何參數(shù)和材料參數(shù)如表1所示。經(jīng)模量折算后，由Radioss中的經(jīng)典梁?jiǎn)卧蠼饬怂憷械膹澢鷵隙?、自振頻率和屈曲載荷。

表1　微尺度梁的材料特性

4.1精度驗(yàn)證

表2　微尺度各向同性梁在不同梁?jiǎn)卧獢?shù)下的彎曲撓度(l/h=1)

4.2不同邊界條件下微尺度梁的彎曲分析

圖2　不同邊界條件下彎曲的尺度效應(yīng)

圖2給出了不同邊界條件下微尺度梁的彎曲撓度。由圖2可知，基于修正偶應(yīng)力理論(l≠0)的微尺度梁的最大撓度隨尺度參數(shù)的增加而減小，且均小于經(jīng)典理論(l=0)的結(jié)果，這說(shuō)明本文的彎曲模型捕捉到了尺度效應(yīng)。另外，在同一尺度參數(shù)下，懸臂邊界條件下的撓度遠(yuǎn)大于其它3種邊界條件，因?yàn)閼冶圻吔鐥l件下剛度最小。

4.3不同邊界條件下微尺度梁的振動(dòng)和穩(wěn)定分析

圖3和圖4給出了不同尺度參數(shù)下微尺度梁固支邊界條件下的基頻和屈曲載荷，橫軸表示尺度參數(shù)，縱軸表示無(wú)量綱化后的基頻和屈曲載荷。由圖3和圖4可知，微尺度梁的基頻和屈曲載荷隨尺度參數(shù)的增加而增加，且均大于經(jīng)典理論的結(jié)果。而經(jīng)典理論下的解是一個(gè)常數(shù)，不隨尺度參數(shù)的變化而變化，這種現(xiàn)象同樣存在于其它邊界條件，這說(shuō)明本文的振動(dòng)和穩(wěn)定模型能捕捉到尺度效應(yīng)。另外，由表3可知，懸臂邊界條件下的基頻和屈曲載荷遠(yuǎn)小于其它3種邊界條件，因?yàn)閼冶圻吔鐥l件下其剛度最小。

表3　不同邊界條件下的基頻和屈曲載荷 　(l=h)

圖3　固支邊界下頻率的尺度效應(yīng)

圖4　固支邊界下屈曲載荷的尺度效應(yīng)

5　結(jié)論

本文基于修正偶應(yīng)力理論建立了適用于任意邊界條件的微尺度歐拉梁模型，非常適合工程應(yīng)用?；诠茴D原理推導(dǎo)了微尺度歐拉梁的平衡微分方程，其與經(jīng)典梁的平衡微分方程具有相似的形式，僅在彎曲剛度中增加了與尺度效應(yīng)有關(guān)的增強(qiáng)項(xiàng)；故本文提出模量折算策略，采用經(jīng)典梁?jiǎn)卧治隽宋⒊叨葰W拉梁彎曲撓度、基頻和屈曲載荷的尺度效應(yīng)。微尺度各向同性歐拉懸臂梁的彎曲撓度的有限元結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)的數(shù)值解吻合良好，證明了本文方法的合理性及精確性。算例結(jié)果表明，微細(xì)觀尺度下梁結(jié)構(gòu)將表現(xiàn)出比宏觀狀態(tài)下更強(qiáng)的抗彎剛度，即本文模型能捕捉到尺度效應(yīng)，且當(dāng)梁的幾何尺寸與材料尺度參數(shù)越接近時(shí)材料尺度效應(yīng)越明顯；而當(dāng)梁的幾何尺寸遠(yuǎn)大于材料尺度參數(shù)時(shí)，材料的尺度效應(yīng)消失，這說(shuō)明材料的幾何尺寸是影響尺度效應(yīng)的決定性因素。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，梁模型彎曲撓度在懸臂邊界條件下遠(yuǎn)大于其它邊界條件，基頻和屈曲載荷遠(yuǎn)小于其它邊界條件。

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(責(zé)任編輯：宋麗萍英文審校：趙歡)

Mechanical model and finite element analysis of Euler beam in a micro scale

HE Dan,CHEN Bo,YANG Wan-li

(Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aerocraft and Simulation,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

A model of micro Euler beam containing only one internal material length scale parameter and applieing to arbitrary boundary conditions was proposed based on the modified couple stress theory.Equilibrium differential equation of micro Euler beam was deduced using the Hamilton's principle,of which the form was similar to the classical model.The only difference was an additional term in bending rigidity associated with material length scale parameter.The equation could be used directly to analyze and explain multi-scale problems.Therefore,a strategy reducing modulus was proposed to solve the problems such as bending,vibration and buckling of micro beams by classical beam elements.The numerical results show that the bending rigidity of the Euler beam in a micro scale is higher than that in a macro scale,indicating that model presented in this paper can capture the scale effects.It is found that the geometric size is a significant factor of the scale effects.

modified couple stress theory;scale effects;finite element method;microbeam

2016-04-26

國(guó)家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：11572204)

賀丹(1979-)，男，遼寧沈陽(yáng)人，博士，副教授，主要研究方向：微細(xì)觀復(fù)合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化，E-mail：Danhe@sau.edu.cn。

2095-1248(2016)04-0025-05

TU311

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2016.04.005