“身無彩鳳雙飛翼，心有靈犀一點通”
——用“坐標(biāo)法”教學(xué)曲線

□ 江蘇省蘇州市吳中區(qū)臨湖第一中學(xué) 柳春喜

“身無彩鳳雙飛翼，心有靈犀一點通”
——用“坐標(biāo)法”教學(xué)曲線

□ 江蘇省蘇州市吳中區(qū)臨湖第一中學(xué) 柳春喜

“能理亂絲，乃可讀詩?！保鳌钌鳌豆沤裰V》）其大意是：能夠整理紛亂的思緒，才可以開始讀詩作文。它講述這樣一個道理：只有能在紛亂的現(xiàn)象中剔除蕪雜，抓住本質(zhì)，整理思緒的人，才有可能讀懂古訓(xùn)，付之實踐。同樣，初中數(shù)學(xué)中拋物線、雙曲線問題，只要你抓住其本義，何愁解不出來呢！

解析幾何區(qū)別于綜合幾何的最本質(zhì)特征是它的研究方法，即坐標(biāo)法。正因為笛卡爾建立了平面坐標(biāo)系，才得以用代數(shù)方法研究幾何問題。因此，我們說坐標(biāo)化方法是解析幾何的本質(zhì)特征，沒有坐標(biāo)化，就沒有解析幾何這門學(xué)科。雖然解析幾何的體系建立以后，其研究的對象更加多樣了，研究的內(nèi)容更加豐富了，研究的方法更加靈活了，認(rèn)識的程度更加深刻了，但是“坐標(biāo)化”始終是它不變的靈魂。歷年的高考中，盡管解析幾何試題的載體可能是直線、圓、橢圓、雙曲線或拋物線，形式也可以多變，但是根本宗旨還是考查坐標(biāo)化方法和坐標(biāo)化思想。

一、曲線的核心組成——點

對于一個幾何問題，在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示點；用方程表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì)，這一研究幾何問題的方法稱為坐標(biāo)法。我們初中的重點是：用坐標(biāo)表示點、點再連成平滑曲線。所以雙曲線、拋物線背景下的本義是“點的坐標(biāo)”。只要我們把點的坐標(biāo)解決了，問題隨之完成。

例1：如圖，在平面直角xOy坐標(biāo)系中，四邊形OABC是正方形，點A，C的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），D是x軸正半軸上的一點（點D在點A的右邊），以BD為邊向外作正方形BDEF （E、F兩點在第一象限），連接FC交AB的延長線于點G.

（1）若AD=1，求點F的坐標(biāo)；

這正如北京教育考試院王雅琪老師所說“坐標(biāo)一橋飛架，數(shù)形天塹變通途”。美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“類比是一個偉大的引路人?！?9世紀(jì)俄國教育家，被稱為“俄羅斯教育心理學(xué)的奠基人”烏申斯基也說過：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)?！钡拇_，比較的思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中有著無可替代的優(yōu)越性。它既是一種邏輯方法，也是一種科學(xué)研究的方法，是最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。運用這種方法，能突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征，同時加強了數(shù)學(xué)教學(xué)的藝術(shù)效果和感染力。

二、比較中生成情愫

例2：拋物線y=x2-4x-5與y軸交于點C，交x軸于A、B兩點（A在B的左側(cè)），已知點M是拋物線上一動點，當(dāng)⊿MBC的面積為10時，求點M的坐標(biāo)。

解：令y=0則x2-4x-5=0

解之得：x1=-1，x2=5

所以點B（5，0）

令x=0則y=-5

所以點C（0，-5），OB=OC=5，⊿

所以k=1，b=-5，直線BC解析式為y=x-5，由它上下平移4個單位得兩直線分別是：y=x-1和y=x-9

感悟：

這樣的直線有兩條，千萬不要漏解。另外，平行線間的距離若能轉(zhuǎn)化到它們在軸上所夾線段的長度，那么利用平移知識很快就能構(gòu)造直線解析式，利于解決問題。從形到數(shù)再到形，此法我以為在審題要注意充分揭示圖形的幾何特征，即圖形的內(nèi)在性質(zhì)，運用相關(guān)的幾何結(jié)論，直接轉(zhuǎn)化到解析法（列出方程組）解題，這樣思路直接、解法簡捷、過程簡化。

“解法比較”：

設(shè)點M（x，x2-4x-5），易得B（5，0），即Bx=5；直線BC解析式為：y=x-5.

（1）當(dāng)M在BC下方時（如圖），過點M作MP∥y軸交BC于P，

則P（x，x-5），MP=Py-My=x-5-（x2-4x-5）=5x-x2

由于 S△MBC=10，所以 S △CPM+S△MPB=10，即PM·P+XPM（BX-PX）=10

解之得：x1=1，x2=4即M（1，-8）或M（4，-5）

（2）當(dāng)點M在BC上方時（如圖），過M’作M’Q∥y軸，交BC所在的直線于點Q，則Q（x，x-5），M’Q=（x2-4x-5）-（x-5）=x2-5x由于S△M’BC=10，所以S△CQM’-S△M’QB=10

感悟：通過組成拋物線的核心，解設(shè)動點坐標(biāo)，再把該坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成有關(guān)線段，利用面積這一條件列出方程，我想這也是解決曲線上動點的一個有效方法。追求解題過程的多樣化、思維過程的嚴(yán)謹(jǐn)性是解題者的天性，這也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識、科學(xué)意識的一種有效途徑.

三、數(shù)學(xué)思想使學(xué)生產(chǎn)生“火花”，并成為思考問題的常態(tài)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要。傳授數(shù)學(xué)知識、演化數(shù)學(xué)方法、傳承數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)，串聯(lián)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)文化的“經(jīng)脈”是數(shù)學(xué)思想?？梢哉f，數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)思想的教育，掌握了數(shù)學(xué)思想，就是掌握了數(shù)學(xué)的精髓。讓我們再看一例。

例3：（2015山東濟(jì)寧中考題）如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點 （點A在點B的上方），與x軸的正半軸相交于點C；直線l的解析式為y=3x+4，4 與x軸相交于點D；以C為頂點的拋物線經(jīng)過點B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）動點P在拋物線上，當(dāng)點P到直線l的距離最小時，求出點P的坐標(biāo)及最小距離。

分析：（1）我們可由點E坐標(biāo)轉(zhuǎn)化出OE=3，由半徑為5轉(zhuǎn)化出點C（8，0），連結(jié)EB，在Rt△OEB中，用勾股定理易得OB=4，于是點B（0，-4），然后假設(shè)拋物線的頂點式易得：y=-x-8）2這里就充分展示了數(shù)形結(jié)合的思想，并用到了勾股定理。

（2）可由直線解析式得出點A、點D坐標(biāo)，易得EA、AD、DE三線段的長，再由勾股定理的逆定理不難說明EA⊥直線l。

感悟：從數(shù)（點的坐標(biāo)）到形（線段），然后利用幾何知識處理后，再到數(shù)，直到解決問題，這種解法思路簡捷、直觀，但構(gòu)造法較難。在我們平常的教學(xué)中，要把數(shù)學(xué)思想與相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來理解，揭示內(nèi)涵；要追根溯源，刨根問底，積極展示數(shù)學(xué)思想發(fā)生、形成的過程，進(jìn)而多角度、多層次地理解數(shù)學(xué)思想；要讓數(shù)學(xué)思想生活化，把數(shù)學(xué)思想滲透到學(xué)生生活中，培養(yǎng)學(xué)生自覺用數(shù)學(xué)思想解決生活中的問題的數(shù)學(xué)意識。

總之，曲線上的動點問題是個讓學(xué)生頭痛的問題，也是各地中考的常見問題。我們在解這類題時要多思維、善聯(lián)想、尋方法、巧轉(zhuǎn)化，使其形成自覺的轉(zhuǎn)化意識、數(shù)形結(jié)合意識、構(gòu)造意識，從而培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力和創(chuàng)造思維能力，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的能力。