自內(nèi)射代數(shù)上的d-Koszul代數(shù)

呂家鳳,　王　雪

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華　321004)

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自內(nèi)射代數(shù)上的d-Koszul代數(shù)

呂家鳳,王雪

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華321004)

主要引入了自內(nèi)射d-Koszul代數(shù)的概念,研究了它的一些基本性質(zhì).運(yùn)用反證法和數(shù)學(xué)歸納法等方法得到了2個(gè)主要結(jié)果:一是證明自內(nèi)射d-Koszul代數(shù)是d-齊次代數(shù);二是證明自內(nèi)射d-Koszul復(fù)形恰好是其平凡模的一個(gè)極小分次投射分解.因此,得到了自內(nèi)射d-Koszul代數(shù)與經(jīng)典的d-Koszul代數(shù)具有很多類似性質(zhì)的結(jié)論.

自內(nèi)射d-Koszul代數(shù);d-齊次代數(shù);復(fù)形;投射分解

0　引　言

Koszul代數(shù)最初由Priddy于1970年正式提出,經(jīng)過40多年的研究,Koszul代數(shù)出現(xiàn)了各種形式的推廣:純分解的、非純分解的等.特別地,最近,對(duì)于分次代數(shù)A,當(dāng)A0不是半單時(shí),文獻(xiàn)[1-5]給出了更為廣泛的Koszul理論.本文采用文獻(xiàn)[2]的思想方法,把文獻(xiàn)[6]中的d-Koszul代數(shù)推廣到零次分支非半單的分次代數(shù)的情形,引入了所謂的自內(nèi)射d-Koszul代數(shù),即分次代數(shù)A=A0⊕A1⊕A2⊕…的零次分支A0是自內(nèi)射的k-代數(shù).通過反證法和數(shù)學(xué)歸納法等相關(guān)方法,證明了自內(nèi)射d-Koszul代數(shù)是d-齊次代數(shù);通過研究自內(nèi)射d-Koszul代數(shù)的復(fù)形,證明了該復(fù)形恰好是其平凡模A0的一個(gè)極小分次投射分解.這些結(jié)果是自內(nèi)射d-Koszul代數(shù)的基本性質(zhì),為進(jìn)一步研究這類代數(shù)的結(jié)構(gòu)和更深層次的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).

1　預(yù)備知識(shí)

首先回顧一些本文將要用到的定義及相關(guān)預(yù)備知識(shí).

使得每個(gè)分次投射模Pi都是由δ(i)次生成,則稱M為自內(nèi)射d-Koszul模.其中,

特別地,若A0作為分次A-模是自內(nèi)射d-Koszul模,則稱A是自內(nèi)射d-Koszul代數(shù).

引理1設(shè)M是生成次數(shù)為s的分次A-模.如果Ms是投射的A0-模,那么

其中，ΩM是M的第1個(gè)合沖.

證明當(dāng)i>1時(shí),M的線性投射分解為

若將函子Hom(-,A0)作用到M的線性投射分解中,可以得到如下的復(fù)形:

則

又因?yàn)棣窶的投射分解為

且依然將函子Hom(-,A0)作用到ΩM的投射分解中,得到復(fù)形

當(dāng)i=1時(shí),將函子Hom(-,A0)作用到短正合序列0→ΩM→P→M→0中,得到下面的正合序列：

因?yàn)镻為M的分次投射蓋,M的生成次數(shù)為s,所以P的生成次數(shù)也為s.又因Ms是投射的A0-模,Ps?Ms,所以

證明若A是自內(nèi)射d-Koszul代數(shù),則A0是自內(nèi)射d-KoszulA-模,從而Ωi(A0)δ(i)是投射的A0-模.此外,存在A0的極小分次投射分解

其中,Pi由δ(i)次生成.將函子HomA(-,A0[n])作用到A0的極小分次投射分解中,可以得到復(fù)形

當(dāng)n=δ(i)時(shí),HomA(Pi,A0[n])≠0;當(dāng)n≠δ(i)時(shí),HomA(Pi,A0[n])=0.若考慮復(fù)形

則

反之,要證分次代數(shù)A是自內(nèi)射d-Koszul代數(shù),即證A0是自內(nèi)射d-KoszulA-模.又因?yàn)锳0是自內(nèi)射d-KoszulA-模與Ωi(A0)的生成次數(shù)為δ(i)是等價(jià)的,所以只需證Ωi(A0)的生成次數(shù)為δ(i).

現(xiàn)在來(lái)回顧由A1生成的張量代數(shù)T(A),它是(A0,A0)-雙模,即

2　主要結(jié)論及證明

定理1如果A是自內(nèi)射d-Koszul代數(shù),那么A是d-齊次代數(shù).

證明首先考慮下面的正合序列:

由于m(p(x))=0,所以p(x)∈W.下面證明p(x)?JW.

由于A0是自內(nèi)射d-KoszulA-模,所以J[-δ(1)]=Ω(A0)[-δ(1)],即J[-1]=Ω(A0)[-1].可知A1?J[-1]0是投射的A0-模,故下面的序列也是正合的:

因?yàn)閜(x-y)=0,所以x-y∈Rn-1?A1,進(jìn)而可得x∈Rn-1?A1+y,即x∈Rn-1?A1+A1?Rn-1,得到矛盾.因此,p(x)?JW.

綜上可知,p(x)∈W/JW?Wδ(2)的生成次數(shù)為δ(2).但是,由于p作為一個(gè)分次同態(tài),x∈Rn,n>2,對(duì)任意的n是矛盾的,所以A是d-齊次代數(shù).定理1證畢.

現(xiàn)在介紹A的自內(nèi)射d-Koszul復(fù)形.

設(shè)A?T(A)/(R)是d-齊次代數(shù),其中,R是某些d次齊次元所生成的理想,定義

定理2若A?T(A)/(R)是一個(gè)d-齊次代數(shù),則A是自內(nèi)射d-Koszul代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)自內(nèi)射d-Koszul復(fù)形是A0的投射分解.

證明若A是自內(nèi)射d-Koszul代數(shù),則A0是自內(nèi)射d-KoszulA-模,從而,A的自內(nèi)射d-Koszul復(fù)形K*有以下性質(zhì):

下證復(fù)形是正合的.

由序列

是右正合的可知,結(jié)論對(duì)n=1是成立的.當(dāng)n>1時(shí),

又因A0是d-KoszulA-模,且由引理2可知,只有當(dāng)m=δ(n+1)時(shí),

反之顯然.定理2證畢.

[1]LiLiping.AgeneralizedKoszultheoryanditsrelationtotheclassicaltheory[J].JAlgebra,2014,420:217-241.

[2]LiLiping.AgeneralizedKoszultheoryanditsapplication[J].TransAmerMathSoc,2014,366(2):931-977.

[3]MadsenD.Ext-algebrasandderivedequivalences[J].ColloquiumMathematicsWarsaw,2006,104(1):113-140.

[4]MadsenD.OnacommongeneralizationofKoszuldualityandtiltingequivalence[J].AdvMath,2011,227(6):2327-2348.

[5]WoodcockD.Cohen-MacaulaycomplexesandKoszulrings[J].JLondonMathSoc,1998,57(2):398-410.

[6]GreenEL,MarcosEN,Martinez-VillaR,etal.d-Koszulalgebras[J].JPureApplAlgebra,2004,193(1):141-162.

(責(zé)任編輯陶立方)

d-Koszul algebra over self-injective algebra

Lü Jiafeng,WANG Xue

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

The notion of self-injective algebra was introduced and some related properties of such algebras were studied. By using the reduction to absurdity and mathematical induction, it was proved that (1) self-injectived-Koszul algebras wered-homogeneous graded algebras; and (2) the self-injectived-Koszul complex was a minimal graded projective resolution of the trivialA-moduleA0. Therefore, it was concluded that self-injective algebras had many similar properties as classicd-Koszul algebras.

self-injectived-Koszul algebra;d-homogeneous algebra; complex; projective resolution

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.03.003

收文日期：2016-01-02；2016-03-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571316)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY16A010003)

呂家鳳(1980-),男，安徽定遠(yuǎn)人,副教授.研究方向：非交換代數(shù).

O175.25

A

1001-5051(2016)03-0253-05