Banach空間中分層不動(dòng)點(diǎn)的 黏性連續(xù)型廣義逼近格式的收斂性

王元恒,　謝　飛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華　321004)

?

Banach空間中分層不動(dòng)點(diǎn)的 黏性連續(xù)型廣義逼近格式的收斂性

王元恒,謝飛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華321004)

主要在更廣泛的自反Banach空間中給出一種求非擴(kuò)張映像T的分層不動(dòng)點(diǎn)的新的黏性隱形連續(xù)型廣義逼近迭代算法,并在一定條件下證明了這種迭代程序強(qiáng)收斂于T的一個(gè)分層不動(dòng)點(diǎn),同時(shí)此點(diǎn)也是一個(gè)在優(yōu)化理論中有著重要應(yīng)用的廣義變分不等式的解.其結(jié)果推廣和改進(jìn)了一些近代已有的結(jié)果.

非擴(kuò)張映像;變分不等式解;分層不動(dòng)點(diǎn);黏性逼近;強(qiáng)收斂性

0　引　言

設(shè)E為賦范線性空間,映射T:E→E.若

則稱T為非擴(kuò)張映像.用Fix(T)表示T的不動(dòng)點(diǎn)集，即Fix(T)={x∈E:Tx=x}.

對(duì)于映射f:E→E,若存在一個(gè)常數(shù)α∈(0,1)和?x,y∈E,使得

則稱f在E上是壓縮的.用ΠE表示E上的所有壓縮映像集族,即ΠE={f:f在E上壓縮}.

非擴(kuò)張映射的一個(gè)經(jīng)典研究方法就是用壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)逼近非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)[1-3],更確切地,給出t∈(0,1),并定義一個(gè)壓縮映射Tt:E→E,有

其中,u∈E為一個(gè)給定的點(diǎn).Banach壓縮映射原理能保證Tt在E中有唯一不動(dòng)點(diǎn)xt.文獻(xiàn)[2]將文獻(xiàn)[1]的結(jié)論推廣到Banach空間,并證明了:若E是一致光滑Banach空間,則xt強(qiáng)收斂到T的不動(dòng)點(diǎn)x*,t→0.文獻(xiàn)[3]證明了文獻(xiàn)[2]的結(jié)論在含有一個(gè)弱連續(xù)對(duì)偶映射的自反Banach空間中仍然成立.

(1)

一個(gè)經(jīng)典的優(yōu)化問題就是關(guān)于實(shí)Hilbert空間上非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)集的二次極小化問題

(2)

式(2)中:C是H上非擴(kuò)張映射T的不動(dòng)點(diǎn)集;b是H內(nèi)給定的一個(gè)點(diǎn).文獻(xiàn)[6]給出了下面迭代法中定義的序列{xn}:

(3)

式(3)中,x0∈H給定.在{αn}滿足一定的條件下,文獻(xiàn)[6]還證明了此序列 {xn} 強(qiáng)收斂到極小化問題(2)的唯一解.

近年來,許多學(xué)者[7-13]利用黏性逼近法對(duì)廣義非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)和變分不等式的解進(jìn)行了統(tǒng)一聯(lián)合研究.文獻(xiàn)[14]對(duì)非擴(kuò)張映射引進(jìn)了下面黏性迭代序列{xn}:

(4)

式(4)中:f是H上壓縮映射;任意選定x0∈H,序列{σn}?(0,1).在{σn} 滿足一定合適條件下,文獻(xiàn)[14]證明了由式(4)生成的序列{xn}強(qiáng)收斂到變分不等式

的唯一解x*.

結(jié)合迭代法(3)和(4),文獻(xiàn)[15]考慮并證明了下面一般迭代法:

(5)

在系數(shù){αn}滿足適當(dāng)條件時(shí),由式(5)生成的序列{xn}強(qiáng)收斂到下面變分不等式的唯一解:

這也正是最小化問題

的最優(yōu)化條件解,其中h是γf的勢(shì)(即h′(x)=γf(x),?x∈H).

文獻(xiàn)[16]介紹了用下面的混合迭代法解變分不等式:

(6)

式(6)中:F是一個(gè)k-Lipschitzian和η-強(qiáng)單調(diào)算子;k>0;η>0;0<μ<2η/k2.若λn滿足適當(dāng)條件,文獻(xiàn)[16]還證明了由式(6)生成的序列{xn}強(qiáng)收斂到下面變分不等式的唯一解:

特別地，文獻(xiàn)[17]在Hilbert空間中考慮了下面較一般的迭代法:

(7)

在序列{αn}的系數(shù)滿足適當(dāng)條件下,文獻(xiàn)[17]還證明了由式(7)生成的序列{xn}強(qiáng)收斂到下面變分不等式的唯一解x*∈C:

其中,C=Fix(T)為分層不動(dòng)點(diǎn)集.最近,文獻(xiàn)[18]將文獻(xiàn)[17]的結(jié)果由Hilbert空間推廣到Banach空間,并給出了更廣泛的分層不動(dòng)點(diǎn)迭代序列及其收斂性定理.

受到上述結(jié)果的啟發(fā),本文給出Banach空間E上的一種更加廣泛的黏性隱式連續(xù)型廣義迭代逼近格式

(8)

其中:φ:[0,∞)→[0,∞)是度規(guī)函數(shù);Jφ是Banach空間E上的φ正規(guī)對(duì)偶映射.

顯然,若E是Hilbert空間且φ是恒等函數(shù),則Jφ是E上的恒等映射,于是這里的Banach空間上的分層不動(dòng)點(diǎn)問題就變成了過去Hilbert空間上的分層不動(dòng)點(diǎn)問題;若f(x)=u,?x∈E為常值算子,則這里的黏性問題就變成了一般壓縮型迭代問題;若F是恒等算子,則這里的關(guān)于F的廣義變分不等式就變成了過去的一般變分不等式;若取t=αn→0,n→∞,則這里的連續(xù)型迭代格式xt就變成了一般序列形式的迭代格式xn.所以,本文結(jié)果在一定意義上改進(jìn)和推廣了許多已有的近代結(jié)果[1-18].

1　預(yù)備知識(shí)

本文總假設(shè)E是一個(gè)自反Banach空間,E*是E的對(duì)偶空間.用xn?x表示序列xn弱收斂到x;xn→x表示xn強(qiáng)收斂到x.

度規(guī)函數(shù)φ:[0,∞)→[0,∞),是指當(dāng)t→∞時(shí),φ為嚴(yán)格連續(xù)增函數(shù),且φ(0)=0和φ(t)→∞,t→∞.關(guān)于度規(guī)函數(shù)φ的對(duì)偶映射Jφ:E→2E*定義如下:

顯然,若取φ(t)=t,則對(duì)偶映射Jφ=J即為通常的正規(guī)對(duì)偶映射;空間lp(1

則

其中,? 表示凸分析中Φ(t)的次微分.

引理1[5]假設(shè){an}是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)序列,滿足

其中序列{αn}?(0,1)和序列{bn}滿足:

引理2[19]假設(shè)Banach空間E含有一個(gè)弱連續(xù)對(duì)偶映射Jφ,其中φ是度規(guī)函數(shù),則有下述結(jié)論:

1)對(duì)所有x,y∈E,以下不等式成立:

特別地,對(duì)所有x,y∈E,有

2)若E上的序列{xn}弱收斂到點(diǎn)x∈E,則下列等式成立:

引理3[20]設(shè)K是Banach空間E上閉凸子集,T:K→K是非擴(kuò)張映射且Fix(T)≠?.若序列{xn}在K上弱收斂到x且(I-T)xn強(qiáng)收斂到y(tǒng),則(I-T)x=y.

容易證明下述引理:

引理4設(shè)E是Banach空間,f:E→E是壓縮映射.其中:系數(shù)α滿足0<α<1;F:E→E是k-Lipschitzian算子和η-強(qiáng)單調(diào)算子,且

其中:k>0;η>0.則對(duì)于0<γ<μη/α,

即μF-γf是具有系數(shù)μη-γα的強(qiáng)單調(diào)算子.

定義1設(shè)Banach空間E有一個(gè)弱連續(xù)對(duì)偶映射Jφ,φ是度規(guī)函數(shù),I是E恒等映射,F:E→E是k-Lipschitzian算子.若存在一個(gè)常數(shù)τ>0,有下面的性質(zhì):

(9)

‖αI-βμF‖=sup‖x‖≤1|〈(αI-βμF)x,Jφ(x)〉|,α∈[0,1],β∈[-1,-1],

則稱F為(關(guān)于φ的具有系數(shù)τ的)強(qiáng)正定增生算子.顯然,若E=H是實(shí)Hilbert空間,則不等式(9)即是式(1).下面的引理在本文主要結(jié)論證明中可應(yīng)用到:

引理5假設(shè)Banach空間E有一個(gè)弱連續(xù)對(duì)偶映射Jφ,其中φ是度規(guī)函數(shù),F:E→E是k-Lipschitzian和τ強(qiáng)正定增生算子.若常數(shù)ρ:0<ρ<φ(1)‖μF‖-1,則‖I-ρμF‖≤φ(1)(1-ρτ).

即I-ρμF是正的.所以由式(9)得

‖I-ρμF‖=sup{〈(I-ρμF)x,Jφ(x)〉:x∈E,‖x‖=1}=

sup{φ(1)-ρ〈μFx,Jφ(x)〉:x∈E,‖x‖=1}≤φ(1)-ρτφ(1)=φ(1)(1-ρτ).

引理5證畢.

2　主要結(jié)果

下面總假設(shè)Banach空間E有一個(gè)弱連續(xù)對(duì)偶映射Jφ,φ是度規(guī)函數(shù),且在[0,1]上是不變的,即φ([0,1])?[0,1].T是E上的非擴(kuò)張映射,Fix(T):={x∈E:Tx=x}≠?.F在E上是k-Lipschitzian且η-強(qiáng)正定增生算子,k>0,η>0.f在E上是一個(gè)壓縮自映射:?x,y∈E,‖f(x)-f(y)‖≤α‖x-y‖,α∈[0,1)是一個(gè)常數(shù).

給定f∈ΠE,0<α<1.設(shè)t∈(0,1),0<μ<2η/k2,0<γ<μφ(1)(η-μk2/2)/α:=τφ(1)/α,將E上的映射St定義為

則對(duì)?t∈(0,1),St是壓縮映射.事實(shí)上,

‖Stx-Sty‖≤tγ‖f(x)-f(y)‖+‖(I-μtF)Tx-(I-μtF)Ty‖≤

tγα‖x-y‖+‖I-tμF‖‖Tx-Ty‖≤tγα‖x-y‖+φ(1)(1-tτ)‖x-y‖≤

[1-t(φ(1)τ-γα)]‖x-y‖,

(10)

所以,由Banach壓縮映射原理知,St在E上存在唯一不動(dòng)點(diǎn)xt,使得式(8)成立.這正是連續(xù)型迭代格式(8)的由來.

顯然,這樣的Banach空間E是存在的,例如lp(1

(11)

證明證明過程將分為 5 步.

(12)

且

(13)

將式(12)和式(13)相加,得

而對(duì)任意的x,y∈E,有

〈(μF-γf)x-(μF-γf)y,Jφ(x-y)〉=

〈μF(x-y),Jφ(x-y)〉-γ〈f(x)-f(y),Jφ(x-y)〉≥τφ(‖x-y‖)-γαφ(‖x-y‖)=

(τ-γα)φ(‖x-y‖)≥(τφ(1)-γα)φ(‖x-y‖)≥0,

所以必有

第2步證明式(8)中的xt是有界的.取p∈Fix(T),則可以得到

‖xt-p‖=‖tγf(xt)+(I-tμF)Txt-p‖=‖(I-μFt)Txt-(I-tμF)p+t(γf(xt)-μF(p))‖≤

φ(1)(1-tτ)‖xt-p‖+t(γα‖xt-p‖+‖γf(p)-μF(p)‖),

從而

所以{xt}是有界的,從而{f(xt)}和{μFT(xt)}也是有界的.

第3步令Ww={w∈E:?tn→0, s.t.xtn?w},則?w∈Ww,Tw=w.

由式(8)知

由Banach空間E的自反性和序列{xt}的有界性知,Ww≠?.對(duì)?w∈Ww,存在{xt}的子序列{xtn}弱收斂到w∈E,n→∞,tn→0.因?yàn)镴φ是弱序列連續(xù)的,所以可由引理2得到:對(duì)所有x∈E,

令

則

因?yàn)楫?dāng)n→0時(shí),

所以

(14)

另一方面,

(15)

由式(14)和式(15)得

從而得Φ(‖T(w)-w‖)=0,Tw=w.

第4步證明當(dāng)n→∞時(shí),xtn→w.

于是,由引理1得

Φ(‖xtn-w‖)=Φ((I-tnμF)Txtn-(I-tnμF)w+tn(γf(xtn)-μF(w)))=

Φ(‖(I-tnμF)Txtn-(I-tnμF)w‖)+tn〈γf(xtn)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉≤

Φ(φ(1)(1-tnτ)‖xtn-w‖)+tnγ〈f(xtn)-f(w),Jφ(xtn-w)〉+

tn〈γf(w)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉≤

φ(1)(1-tnτ)Φ(‖xtn-w‖)+tnγ‖f(xtn)-f(w)‖‖Jφ(xtn-w)‖+

tn〈γf(w)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉≤

φ(1)(1-tnτ)Φ(‖xtn-w‖)+tnγα‖xtn-w‖‖Jφ(xtn-w)‖+

tn〈γf(w)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉=

φ(1)(1-tnτ)Φ(‖xtn-w‖)+tnγαΦ(‖xtn-w‖)+tn〈γf(w)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉=

(1-tn(τφ(1)-γα))Φ(‖xtn-w‖)+tn〈γf(w)-μF(w),Jφ(xtn-w)〉.

移項(xiàng)合并得

(16)

由xtn?w和Jφ的弱連續(xù)性知式(16)的右端趨向于0.于是Φ(‖xtn-w‖)→0,n→∞.所以,當(dāng)n→∞時(shí),xtn→w.

第5步最后證明w是變分不等式(11)的解.

對(duì)?z∈Fix(T),有

〈(I-T)xt-(I-T)z,Jφ(xt-z)〉=〈xt-z,Jφ(xt-z)〉+〈Txt-Tz,Jφ(xt-z)〉=

Φ(‖xt-z‖)-〈Tz-Txt,Jφ(xt-z)〉≥Φ(‖xt-z‖)-‖Tz-Txt‖‖Jφ(xt-z)‖≥

Φ(‖xt-z‖)-‖z-xt‖‖Jφ(xt-z)‖=Φ(‖xt-z‖)-Φ(‖xt-z‖)=0.

由式(8)可以推出

(17)

注意到xtn-Txtn→w-T(w)=w-w=0,現(xiàn)在用tn替換式(17)中的t,并令n→∞,就有

3　結(jié)束語

定理1的結(jié)果,在比一致凸更廣泛的自反Banach空間中,把正規(guī)對(duì)偶映射J推廣到度規(guī)函數(shù)對(duì)偶映射Jφ;把離散型迭代序列推廣成連續(xù)型迭代格式.從定理1的證明過程可以看出,其證明的思想方法也具有創(chuàng)新性,先證明一個(gè)集合中的每個(gè)元素都是變分不等式(13)的解,再由解的唯一性說明這個(gè)集合就是單點(diǎn)集,也即說明了黏性隱式廣義連續(xù)型迭代格式(8)的強(qiáng)收斂性.所以,本文的結(jié)果在一定意義上從許多方面改進(jìn)和推廣了許多已有的近代結(jié)果(如文獻(xiàn)[1-18]).

[1]BrowderFE.FixedpointtheoremsfornoncompactmappingsinHilbertspaces[J].ProcNatlAcadSciUSA,1965,53(6):1272-1276.

[2]ReichS.StrongconvergencetheoremsforresolventsofaccretiveoperatorsinBanachspaces[J].JMathAnalAppl,1980,75(1):287-292.

[3]XuHK.Strongconvergenceofaniterativemethodfornonexpansiveandaccretiveoperators[J].JMathAnalAppl,2006,314(2):631-643.

[4]DeutschF,YamadaI.Minimizingcertainconvexfunctionsovertheintersectionofthefixedpointsetsofnonexpansivemappings[J].NumerFunctAnalOptim,1998,19(1):33-56.

[5]XuHK.Iterativealgorithmsfornonlinearoperators[J].JLondonMathSoc,2002,66(1):240-256.

[6]XuHK.Aniterativeapproachtoquadraticoptimization[J].JOptimTheoryAppl,2003,116(3):659-678.

[7]李柳紅,王元恒.漸近非擴(kuò)張型映像不動(dòng)點(diǎn)的粘性逼近法[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,38(1):41-46.

[8]PlubtiengS,ThammathiwatT.Aviscosityapproximationmethodforequilibriumproblems,fixedpointproblemsofnonexpansivemappingsandageneralsystemofvariationalinequalities[J].JGlobOptim,2010,46(3):447-464.

[9]金堅(jiān)帥,倪仁興.Banach空間中一族依中間意義漸近擬φ-非擴(kuò)張映射和均衡問題的強(qiáng)收斂性定理[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,38(2):163-171.

[10]XuHK.Viscosityapproximationmethodsfornonexpansivemappings[J].JMathAnalAppl,2004,298(1):279-291.

[11]董家?guī)?王元恒,羅紅平.漸近非擴(kuò)張型映像的黏性三步迭代序列強(qiáng)收斂性[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,35(3):241-245.

[12]鄧偉奇.分層變分包含問題中經(jīng)由分層不動(dòng)點(diǎn)途徑的黏性方法[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào):A中文版,2014,34(5):1254-1263.

[13]張石生,王雄瑞,李向榮,等.分層不動(dòng)點(diǎn)及變分不等式的粘性方法及應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2011,32(2):232-240.

[14]MoudafiA.Viscosityapproximationmethodsforfixed-pointsproblems[J].JMathAnalAppl,2000,241(1):46-55.

[15]MarinoG,XuHK.AgeneraliterativemethodfornonexpansivemappinginHilbertspaces[J].JMathAnalAppl,2006,318(1):43-52.

[16]YamadaI.Thehybridsteepestdescentforthevariationalinequalityproblemsovertheintersectionoffixedpointssetsofnonexpansivemapping[M]//ButnariuD,CensorY,ReichS.Inherentlyparallelalgorithmsinfeasibilityandoptimizationandtheirapplication.Amsterdam:Elservier,2001:473-504.

[17]TianM.AgeneraliterativealgorithmfornonexpansivemappingsinHilbertspaces[J].NonlinearAnalysis,2010,73(3):689-694.

[18]WangYuanheng,XuWei.Strongconvergenceofamodifiediterativealgorithmforhierarchicalfixedpointproblemsandvariationalinequalities[J].FixedPointTheoryandApplications,2013,2013(121):1-9.

[19]LimTC,XuHK.Fixedpointtheoremsforasymptoticallynonexpansivemappings[J].NonlinearAnal,1994,22(11):1345-1355.

[20]WangYH,XiaYH.StrongconvergenceforasymptoticallypseudocontractionswiththedemiclosednessprincipleinBanachspaces[J].FixedPointTheoryandApplications,2012,2012(45):1-8.

(責(zé)任編輯陶立方)

The convergence for a generalized viscosity implicit iteration to approximatea hierarchical fixed point of nonexpansive mappings in Banach spaces

WANG Yuanheng,XIE Fei

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

A generalized viscosity implicit continuous iterative method was introduced to approximate a hierarchical fixed point of nonexpansive mappings, which was also a solution of a variational inequality in Banach spaces. Under certain approximate assumptions of the operators and coefficients, the strong convergence for the generalized iteration was obtained by some certain techniques in Bananch spaces. The results extended and improved many recent results announced by other authors.

nonexpansive mapping; solution of variational inequality; hierarchical fixed point; viscosity iterative approximating; strong convergence

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.03.002

收文日期：2016-02-20；2016-03-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271330);浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY14A010011)

王元恒(1961-),男，河南南陽人，教授.研究方向：非線性泛函分析.

O177.91

A

1001-5051(2016)03-0246-07