基于極值分布的常態(tài)下高速公路行程時間可靠性模型

陳嬌娜，張生瑞，靳引利2

（1.長安大學(xué)公路學(xué)院，西安 710064；2.長安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院，西安 710064）

基于極值分布的常態(tài)下高速公路行程時間可靠性模型

陳嬌娜1，張生瑞1，靳引利2

（1.長安大學(xué)公路學(xué)院，西安 710064；2.長安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院，西安 710064）

為了利用參考模型表征路段行程時間分布，運用海量高速公路收費數(shù)據(jù)，分析了路段行程時間概率分布特征，通過極值分布、對數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和威伯爾分布對路段行程時間的概率密度函數(shù)進(jìn)行曲線擬合.建立了基于極值分布的路段行程時間可靠性模型和模型參數(shù)估計方法，考慮了車型速度差和出行者易于理解的因素，提出了一種高速公路可靠性指標(biāo)閾值的計算方法.選取最大概率行程時間、平均延誤時間和行程時間可靠性為評價指標(biāo)，對陜西省高速公路網(wǎng)中某一路段24 h出發(fā)車輛的行程時間進(jìn)行實例評價.結(jié)果表明:極值分布的誤差平方和（SSE）最小，擬合優(yōu)度（R2）最接近于1，利用極值分布表征路段行程時間分布效果最佳.

交通工程；行程時間可靠性；概率密度函數(shù)；參數(shù)估計；極值分布

同一道路的行程時間可能會因出行時間不同而變化.行程時間可靠性是評價高速公路運行效率和服務(wù)水平的重要指標(biāo)，決定了出行者對出發(fā)時間、路徑和出行方式的選擇.行程時間可靠性是微觀出行決策的重要考慮因素［1］，也是評價出行服務(wù)水平和道路運行效率的關(guān)鍵指標(biāo)，對道路的管理者和使用者具有重要意義.高速公路行程時間可靠性能有效地衡量路網(wǎng)的不確定性，便于道路管理者準(zhǔn)確評價路網(wǎng)運行狀態(tài)以改善服務(wù)水平，同時有利于出行者在不完全掌握道路網(wǎng)交通狀況條件下做出合理的出行決策.

研究人員從不同角度、針對不同研究對象、利用不同研究數(shù)據(jù)對行程時間可靠性進(jìn)行了大量研究［2］，研究了降雨［3-4］、霧天［5］、冰雪［6］、交通事故［7］等條件下對行程時間可靠性的影響，唐俊［8］、劉克［9］和王浩［10］分別使用浮動車數(shù)據(jù)、車檢器數(shù)據(jù)和收費數(shù)據(jù)進(jìn)行行程時間預(yù)測.出行者受到其性格、出行目的、對路網(wǎng)服務(wù)水平要求等因素影響，可接受的行程時間是不同的.孫小菲等［11］向北京市高速公路使用者調(diào)查其出行屬性和可接受延誤時間，由統(tǒng)計分析得知出行目的對可接受延誤時間的影響不顯著，僅私家車駕駛員平均可接受延誤時間與平均行程時間基本正相關(guān)，對于大客車有所不同. Lida［12］認(rèn)為以正態(tài)分布表示行程時間分布是可接受的.Bell和lida［13］認(rèn)為，當(dāng)交通量較大時，路徑行程時間服從正態(tài)分布，交通量不大時，服從對數(shù)正態(tài)分布.Arezoumandi［14］分析伽馬分布、最大極值分布、log-logistic概率分布、對數(shù)正態(tài)分布及威伯爾分布與18 h行程時間數(shù)據(jù)的擬合程度，得到可變限速情形下行程時間的分布服從對數(shù)正態(tài)分布.熊志華［15］根據(jù)路網(wǎng)波動狀況以及路網(wǎng)用戶的感知隨機(jī)性，建立隨機(jī)路網(wǎng)可靠性模型，得到晚高峰時段路段行程時間用Beta分布擬合效果較好的結(jié)論.李長城等［16］考慮了客車與貨車間速度差異明顯，利用高速公路收費數(shù)據(jù)對路段行程時間概率分布進(jìn)行擬合，結(jié)果表明正態(tài)分布相較于威伯爾分布和伽馬分布具有更好的擬合效果.李小靜等［17］基于日變可靠度并假設(shè)行程時間及其規(guī)定閾值服從正態(tài)分布，分析了可靠度影響因素.陳琨等［18］使用北京市浮動車數(shù)據(jù)，分別用正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布和威伯爾分布對路段行程時間的概率密度函數(shù)進(jìn)行了曲線擬合，結(jié)果表明對數(shù)正態(tài)分布的擬合效果最佳，分別考慮路段相關(guān)和路段獨立2種情況，建立了基于對數(shù)正態(tài)分布的路徑行程時間可靠性評價模型.陳小鴻等［19］針對正態(tài)分布或?qū)?shù)分布不能有效地描述小間隔行程時間分布的問題，提出基于浮動車數(shù)據(jù)的行程時間經(jīng)驗分布，得到了以15 min為間隔的不同出發(fā)時段行程時間的可靠度指標(biāo).尹志鵬等［20］基于對數(shù)正態(tài)分布，采用標(biāo)準(zhǔn)差、緩沖指數(shù)和擁擠頻率來評價旅行時間可靠性.從國內(nèi)外已有研究來看，行程時間可靠性計算方法及評價體系研究不斷深入，但對于行程時間分布尚未形成統(tǒng)一結(jié)論.

高速公路收費數(shù)據(jù)包含了入口站編號、出口站編號、入口日期及時間、出口日期及時間、車型、車種、車輛牌照等信息［21］，可以較為準(zhǔn)確地計算路網(wǎng)中車輛的實際行程時間.本文利用陜西省高速公路收費數(shù)據(jù)，選取誤差平方和（SSE）和擬合優(yōu)度（R2）作為衡量指標(biāo)，在無突發(fā)事件條件下，分析極大值分布、對數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和威伯爾分布與行程時間歷史概率密度的擬合程度.從道路使用者的角度提出一種確定可接受行程時間閾值的方法，建立高速公路行程時間可靠性模型，并驗證模型的有效性和適用性.

1 高速公路行程時間分布的統(tǒng)計擬合

1.1行程時間可靠性定義

高速公路行程時間可靠性是指在高速公路上給定的起訖點（origin destination，OD）之間，出行者能在規(guī)定時間內(nèi)順利完成出行的概率［22］.由文獻(xiàn)［18］可知，路網(wǎng)中路段單元的行程時間可靠性模型可以描述為

式中:Ri，L表示在服務(wù)水平L下路段I行程時間可靠度；ti為一個隨機(jī)變量，表示路段I的實際行程時間；Ti，L表示在服務(wù)水平L下路段I行程時間的閾值.求解路段行程時間可靠性的問題，實際上就是求解路段行程時間的累積分布函數(shù).

1.2數(shù)據(jù)篩選

1.2.1數(shù)據(jù)來源

高速公路運輸通常是長距離出行，因此，交叉口以及收費站所產(chǎn)生的延誤相對總的行程時間而言可忽略不計.同一條記錄下的出站時間與進(jìn)站時間之差則為該記錄對應(yīng)車輛的行程時間.計算公式為

式中:t為行程時間；tout為出口日期及時間；tin為入口日期及時間.

1.2.2篩選有效樣本數(shù)據(jù)

剔除由于收費系統(tǒng)故障、人工操作失誤、特殊駕駛事件等產(chǎn)生的異常數(shù)據(jù).由于重大節(jié)假日免收小型客車通行費，交通需求波動明顯.為避免重大節(jié)假日對分析結(jié)果造成偏差，需要剔除重大節(jié)假日期間（春節(jié)、清明、勞動節(jié)、國慶節(jié)）的數(shù)據(jù).

常態(tài)下，絕大多數(shù)相同時間段內(nèi)起訖點相同的車輛行駛特征是相似的，具有相似的行程時間.依據(jù)統(tǒng)計學(xué)原理，樣本均值的上下2個標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)包含一個樣本中絕大多數(shù)的數(shù)據(jù)，能準(zhǔn)確地反映該時段內(nèi)出發(fā)的車輛行程時間的一般特征.選取該范圍內(nèi)數(shù)據(jù)為有效樣本數(shù)據(jù)，篩選流程如圖1所示.

1.2.3車型分類

在高速公路聯(lián)網(wǎng)收費系統(tǒng)中根據(jù)收費標(biāo)準(zhǔn)的不同，利用vehicletype和vehicleclass車型編碼字段，將收費車型劃分為9類（客車4類，貨車5類）.為得到較好的擬合模型，消除不同車型的設(shè)計速度或限速值的影響，采用交通調(diào)查的車型分類標(biāo)準(zhǔn)，將樣本車輛類型分為6類（客車2類，貨車4類）.收費車型編碼字段與交調(diào)車型對應(yīng)情況詳見表1.

表1　收費車型編碼字段與交調(diào)車型對應(yīng)情況Table 1 Classification of vehicle type in traffic survey

1.3擬合結(jié)果衡量指標(biāo)

t1，…，tn表示隨機(jī)樣本Tv（v=1，…，6）的觀測值，t（1）≤…≤t（i）≤…≤t（n）是次序統(tǒng)計量，F(xiàn)i（t）為相應(yīng)t（i）的頻率，則樣本經(jīng)驗分布函數(shù)為

式中k表示｛t1，…，tn｝中等于t（i）的個數(shù)，i=1，…，n.

分布擬合效果采用誤差平方和（SSE）和擬合優(yōu)度（R2）來衡量.SSE用于反映擬合估計值與樣本的接近程度，R2用于說明曲線擬合在解釋數(shù)據(jù)的變異性方面是否成功，樣本的分布特征是否得到保留.

SSE表示擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對應(yīng)點的誤差的平方和.SSE越接近0，則曲線的擬合效果越好.

擬合優(yōu)度R2取值范圍為［0 1］，值越接近1，曲線擬合的效果越好.計算如下:

式中:pi表示原始數(shù)據(jù)中行程時間ti的經(jīng)驗概率值；p^i表示擬合分布中行程時間ti的概率估計值；表示原始數(shù)據(jù)經(jīng)驗分布概率的均值.

1.4分布統(tǒng)計擬合

采用陜西省2015年上半年（1月—6月）高速公路收費數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，并剔除春節(jié)、清明、勞動節(jié)期間的數(shù)據(jù).根據(jù)車型和出發(fā)時間（以1 h為間隔）將樣本分為6×24組.樣本容量為1×105，對每組樣本進(jìn)行隨機(jī)抽樣.通過極大值分布、對數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和威伯爾分布對各組單位距離行程時間的概率密度函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，并計算擬合效果評價指標(biāo)SSE和R2.

6×24組樣本的擬合指標(biāo)計算結(jié)果用箱型圖表示，如圖2和圖3所示.由圖2可知，與其他分布相比，極大值分布的SSE在一個穩(wěn)定且較小的水平.由圖3可知，極大值分布的R2最接近于1，說明極大值分布能很好地擬合數(shù)據(jù)的變異性.對6類車型在不同出發(fā)時段的樣本進(jìn)行分布擬合，結(jié)果表明:極大值分布的SSE最小且R2最大，說明極大值分布在擬合某個行程時間的概率時效果最優(yōu).

利用假設(shè)檢驗方法，在顯著性水平為0.05的條件下，對路段行程時間是否符合極大值分布進(jìn)行了檢驗，結(jié)果表明:利用極大值分布擬合行程時間分布的概率密度函數(shù)是可接受的，擬合結(jié)果指標(biāo)均優(yōu)于對數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和威伯爾分布.

2 高速公路行程時間可靠性評價

2.1行程時間可靠性模型

由1.4節(jié)統(tǒng)計分析結(jié)果可知，路段行程時間服從極大值分布.因此，路段行程時間的概率密度函數(shù)可以由極大值分布模型

來描述.式中:α＞0；-∞＜μ＜+∞；ti為路段I的行程時間.μ和α為待定系數(shù)，μ為分布的位置參數(shù)，α為分布的尺度參數(shù).由概率密度函數(shù)可以得到路段行程時間的概率分布函數(shù)，即路段行程時間可靠性模型

式中Ti，L為路段行程時間閾值.

路段行程時間可靠性模型求解的關(guān)鍵是標(biāo)定路段行程時間的μ和α這2個參數(shù).

2.2極值分布的參數(shù)估計方法

極值分布常用參數(shù)估計方法有矩法、耿貝爾法、極大似然法和概率權(quán)值法，均能給出滿意的參數(shù)估計結(jié)果［23］.在統(tǒng)計學(xué)理論上，極大似然估計是一種較優(yōu)的參數(shù)估計方法［24］，本文采用最大似然估計法求解這2個參數(shù).

當(dāng)觀測數(shù)據(jù)t1，…，tn給定時，構(gòu)造似然函數(shù)L并取對數(shù)，得

分別對μ和α求導(dǎo)并令其為0，得

采用迭代法求解μ和α.

2.3行程時間閾值

對于出行者而言，在沒有天氣、特殊事件等偶發(fā)因素的情況下，關(guān)注最大可能的行程時間，即期望行程時間等于某一時段內(nèi)路段上的行程時間眾數(shù).即

式中:EI（ti）為期望行程時間，即概率密度函數(shù)中發(fā)生概率最大的行程時間；Δti為可接受的延誤時間；φ為期望行程時間的系數(shù)，常取5％、10％、15％或20％.根據(jù)不同的研究目標(biāo)選擇系數(shù)φ.

2.4行程時間可靠性評價

采用最大概率行程時間Tpmax、平均延誤時間Ta和行程時間可靠性R三個指標(biāo)來評價行程時間的可靠性.

最大概率行程時間Tpmax即高速公路用戶行程時間的眾數(shù)，能夠最直觀地反映常態(tài)下路網(wǎng)運行狀態(tài)，可以作為輔助判斷路網(wǎng)運行異常的參考數(shù)據(jù)，也是行程時間預(yù)測的重要指標(biāo).

平均延誤時間Ta可以反映交通延誤的影響范圍和影響程度.給定樣本有序序列為t1≤…≤tk-1≤tk≤tk+1≤1…≤tn，tk-1≤Ti，L≤tk，則計算公式為

式中:Td表示累計延誤時間；Ti，L表示期望的行程時間，計算見式（10）.

行程時間可靠性R可以反映路網(wǎng)運行狀態(tài)的穩(wěn)定性或波動性.根據(jù)行程時間可靠性模型和時間閾值的定義可得

3 實例分析

選取2015年7月陜西省高速公路一個路段進(jìn)行可靠性分析，該路段全長18.2 km.通過Tpmax能夠獲得一般情況下該路段上行駛車輛的最大概率運行速度v，分別計算不同車型的Tpmax和v，如表2所示.由表2可知，S-Car的Tpmax明顯小于其他車型，且與L-Car有顯著差異；S-Truck、M-Truck、L-Truck和EL-Truck的Tpmax波動范圍較小.說明該路段客車中S-Car的運行速度較高，4種類型貨車的運行速度相似.

表2　6類車型的最大概率行程時間Tpmax及相應(yīng)的速度vTable 2 Tpmaxand v of each vehicle type

以φ=10％確定各類車型的期望行程時間，計算一天二十四小時內(nèi)不同時段的R和平均延誤時間Ta，如表3所示.各時段行程時間可靠性R如圖4所示.

表3　各時段行程時間可靠性指標(biāo)R和平均延誤時間TaTable 3 Indexes of R and Tain each period

續(xù)表

由圖4可知，貨車的R均高于客車，S-Truck尤為顯著.L-Car和L-Truck的R相近，且不受出發(fā)時段的影響.S-Truck、M-Truck和EL-Truck的R受出發(fā)時段的影響較為顯著.其中，S-Truck在06:00—08:00時段內(nèi)，R略有降低；M-Truck和EL-Truck在04:00—06:00時段內(nèi)，R顯著降低.說明在04:00—06:00時段內(nèi)是M-Truck和EL-Truck集中出行的高峰，該時段道路可靠性指標(biāo)比其他時段差，該時段內(nèi)道路最有可能出現(xiàn)擁擠狀況.

由表5中Ta可知，L-Car和L-Truck的平均延誤時間最高，且波動較小，說明該路段L-Car和LTruck在每次出行中幾乎都在承受一定程度的延誤.該路段S-Truck、M-Truck和EL-Truck在早晚高峰受到輕微程度的延誤，即08:00—11:00和15:00—17:00.

通過分析6種車型的Tpmax、Ta和R在一天不同時段的分布，結(jié)果表明:客車的行程時間可靠性較貨車低，且不受出發(fā)時段的影響，各個時段的Ta超過1 600 s/輛，即該路段的交通延誤已近趨近于常態(tài)，需要管理者采取相應(yīng)的管理措施.

4 結(jié)論

1）通過極大值分布、對數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和威伯爾分布對高速公路網(wǎng)中單位距離行程時間的概率密度函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，極大值分布的SSE最小，R2最接近于1.說明利用極值分布表征路段行程時間分布效果最佳.

2）給出了基于最大概率行程時間的可接受行程時間閾值，建立了高速公路路段行程時間的可靠性模型.選取Tpmax、Ta、R作為行程時間可靠性評價的指標(biāo)，對陜西省高速公路網(wǎng)進(jìn)行實例分析.結(jié)果表明:基于極大值分布的路段行程時間可靠性模型能夠準(zhǔn)確地反映道路運行的穩(wěn)定性，更容易判別和比較道路真實交通狀況.

3）對于突發(fā)事件情況下或具有特殊構(gòu)造物的路段行程時間可靠性需要進(jìn)一步考慮.

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（責(zé)任編輯 梁 潔）

Expressway Travel Time Reliability Model Without Incident Based on the Extreme Value Distribution

CHEN Jiaona1，ZHANG Shengrui1，JIN Yinli2
（1.School of Highway，Chang'an University，Xi'an 710064，China；2.School of Electrical and Control Engineering，Chang'an University，Xi'an 710064，China）

Massive historical data of the expressway toll was collected and fitted by several distributions，including extreme value，log-normal，normal and Weibull.Travel time reliability model was established based on the extreme value distribution，and a parameter estimation method was provided.To be understood by travelers easily，the threshold was also built considering the difference between cars and trucks.Three indexes were selected as the evaluation index，including the maximum probability travel time，the average delay time and travel time reliability.The proposed model was validated by the case study of Shaanxi.Based on the principles of the less error sum squares（SSE）and the higher determination coefficient（R2），the results show that it is rational and acceptable to describe the travel time with the extreme value distribution.

traffic engineering；travel time reliability；probability density function；parameter estimation；extreme value distribution

U 491.2；TP 391

A

0254-0037（2016）09-1398-08

10.11936/bjutxb2015110020

2015-11-06

陜西省科技攻關(guān)項目（2012k06137）；陜西省交通運輸廳科研項目（14-40X）

陳嬌娜（1989—），女，博士研究生，主要從事交通運輸規(guī)劃與管理方面的研究，E-mail:chenjiaona2015@163.com

張生瑞（1963—），男，教授，主要從事交通運輸規(guī)劃與管理方面的研究，E-mail:zhangsr@chd.edu.cn