奇、偶數(shù)項各有特點的數(shù)列求和問題的解決策略

◇　山東　王希剛

(作者單位：山東省章丘市第一中學)

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奇、偶數(shù)項各有特點的數(shù)列求和問題的解決策略

◇山東王希剛

“數(shù)列求和”問題是數(shù)列部分的重點知識,是高考和模擬考的必考內容,這類題目的設計靈活、解法多樣,但是,不管用什么方法求解,最終都會歸結為等差、等比數(shù)列的求和問題．因此,抓住等差、等比數(shù)列求和所需的基本信息——首項、公差、公比、項數(shù)、末項,這類問題將很好得到解決．

奇、偶數(shù)項各有特點的數(shù)列求和問題,是近幾年考查的一個熱點問題,但是,同學對這類問題處理得并不好.下面就此問題的解決策略進行探討．

策略1抓住基本信息,直接求解．

采取這種方式,要使學生明確:對于n的不同取值,數(shù)列的基本信息不同．因此,需要分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)2種情況分類討論處理．

當n為偶數(shù)時,奇數(shù)項和偶數(shù)項各有n/2項,奇數(shù)項的首項為1,末項為第n-1項,即6(n-1)-5=6n-11,偶數(shù)項的首項為4,公比為4．所以

綜上可得

這種處理方式需要同學們明確當n為奇數(shù)和n為偶數(shù)時數(shù)列的基本信息.此類問題涉及的信息量比較大,極易出現(xiàn)差錯．

策略2由Sn(n為偶數(shù))→Sn-1(n為偶數(shù))→Sn(n為奇數(shù))→得解．

由策略1可知,當n為偶數(shù)時,

所以

令t=n-1(t為奇數(shù)),則n=t+1,所以

這種處理方式先解決當n為偶數(shù)時的和,然后減去第n項,得到前n-1項的和,其中n-1為奇數(shù).利用函數(shù)知識:由f(x-1)的表達式→f(x)表達式,可實現(xiàn)由Sn-1(n為偶數(shù))→Sn(n為奇數(shù)),從而得解．

策略3S2n→Sn(n為偶數(shù))→Sn-1(n為偶數(shù))→Sn(n為奇數(shù))．

由條件可知前2n項中,奇數(shù)項、偶數(shù)項各有n項,奇數(shù)項的首項為1,末項為第2n-1項,即6(2n-1)-5=12n-11,偶數(shù)項的首項為4,公比為4．所以

這種處理方式中數(shù)列的基本信息易得,涉及的基本信息全是整數(shù),因此,求S2n的計算量比直接計算n為偶數(shù)的Sn的計算量小,而借助函數(shù)知識,由S2n→Sn(n為偶數(shù))的運算也較簡單．

這類問題以等差、等比數(shù)列求和為載體,是最基本的考查方式,也可以裂項求和、錯位相減求和為載體,提高題目的難度,更加綜合地考查數(shù)列求和問題．只要掌握了上述例題的基本處理方式,對于變式題目,也能輕松解決．

綜合比較,此題的求解可以采取策略3中的方法,以減少題目的計算量．

將奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和得

S奇=1·21+3·23+…+(2n-1)·22n-1,

4S奇=1·23+…+(2n-3)22n-1+(2n-1)22n+1,

-3S奇=2+24+…+22n-(2n-1)·22n+1=

所以

所以

通過例題的3種處理策略可以看出,不管是數(shù)列的基本信息、求函數(shù)表達式的知識,還是變式中的錯位相減法求和、裂項求和,都是基礎知識,如果同學們對基礎知識的掌握足夠牢固,明確這類題目的處理策略,不難解決此類問題.這需要教師在平時的教學中下足功夫,幫助學生打好基礎,這樣很多問題將迎刃而解．

(作者單位：山東省章丘市第一中學)