概率論中微積分思想的應(yīng)用

張子穎，汪太月

(1東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽 110819;2湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃石 435003)

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概率論中微積分思想的應(yīng)用

張子穎1，汪太月2*

(1東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽 110819;2湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃石 435003)

概率論與微積分是數(shù)學(xué)中2個(gè)不同的分支，應(yīng)用微積分中已有理論對(duì)概率論中的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、分布函數(shù)、條件概率以及數(shù)學(xué)特征等進(jìn)行探討,充分體現(xiàn)了微積分思想在概率論應(yīng)用中的重要作用，較好地實(shí)現(xiàn)了兩者有機(jī)統(tǒng)一，為后續(xù)研究起到了鋪墊作用。

微積分；概率論；極限；數(shù)學(xué)思想

概率論與微積分是數(shù)學(xué)的2個(gè)不同分支，概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)科學(xué)，微積分即采用極限這一工具對(duì)函數(shù)進(jìn)行了很好地研究，微積分思想不僅貫穿于高等數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)當(dāng)中，同時(shí)也是構(gòu)建概率論大廈的基石[1].例如在映射作用下，集合被簡化為隨機(jī)事件，進(jìn)而集合再被簡化為實(shí)數(shù)，當(dāng)樣本空間被簡化為實(shí)數(shù)集時(shí)，概率也相應(yīng)由集函數(shù)近似成實(shí)函數(shù).以函數(shù)的觀點(diǎn)來衡量分布函數(shù)F(x)，在概率論中，分布函數(shù)F(x)有著十分良好的性質(zhì)，如單調(diào)有界、可積、幾乎處處連續(xù)、幾乎處處可導(dǎo)等[2]，故高等數(shù)學(xué)中有關(guān)微積分的思想可以順利地運(yùn)用于概率論領(lǐng)域.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)、概率密度的表示以及期望、方差等都或多或少借鑒或運(yùn)用了微積分的現(xiàn)有成果.再如概率論中運(yùn)用極限論的地方也很多，如分布函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、中心極限定理、大數(shù)定律、隨機(jī)過程等[3].總而言之，微積分思想已經(jīng)滲透到了概率論的各個(gè)方面，可以說若無微積分思想對(duì)概率論的推動(dòng)，就不會(huì)有公理化和系統(tǒng)化的概率論，概率論也就不能形成數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支[4].然而，概率論作為繼高等數(shù)學(xué)后開設(shè)的一門課程，并非是高等數(shù)學(xué)的簡單后繼，而是對(duì)微積分思想的延伸，這也就開辟出一片嶄新的數(shù)學(xué)天地.概率論的發(fā)展路徑與高等數(shù)學(xué)有著很大的差別，概率論朝隨機(jī)數(shù)學(xué)的方向前進(jìn)，并成為隨機(jī)數(shù)學(xué)的典型代表，有著和高等數(shù)學(xué)同等的地位，為古老數(shù)學(xué)學(xué)科注入了新鮮血液，使得數(shù)學(xué)能夠與時(shí)俱進(jìn)，從而進(jìn)一步向前發(fā)展.

1　微積分思想在概率論中的應(yīng)用

微積分主要包括微分學(xué)和積分學(xué)[5]，雖然它和概率論是數(shù)學(xué)的2個(gè)不同分支，但是它與概率論有著緊密的聯(lián)系.高等數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)方面的種種思想和方法可以廣泛地運(yùn)用于概率論領(lǐng)域.如隨機(jī)變量的分布函數(shù)、概率密度的表示以及期望方差等，都或多或少借鑒或運(yùn)用了微積分的現(xiàn)有成果.再如概率論中運(yùn)用極限論的地方也很多，如分布函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、中心極限定理、大數(shù)定律、隨機(jī)過程等.下面將逐一體現(xiàn)微積分思想在概率論中的應(yīng)用.

1.1泊松積分在概率論中的應(yīng)用

若隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)分布，利用泊松積分很容易計(jì)算隨機(jī)變量的期望E(X)和方差D(X),已知正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

根據(jù)期望及方差的定義有：

因?yàn)槎S隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

f(x,y)=

而(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為：

由于：

于是:

從而：

由泊松積分得：

同理有：

泊松積分在對(duì)數(shù)正態(tài)分布中同樣也有應(yīng)用，若隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=lnX服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則稱X服從參數(shù)為μ和σ2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布.

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ和σ2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布.則利用泊松積分很容易求X的k階原點(diǎn)矩.

令Y=lnX,由對(duì)數(shù)正態(tài)分布的定義知Y～N(μ,σ2)，且X=eY，于是：

E(Xk)=E(ekY)

泊松積分在其他分布中同樣也有很好的應(yīng)用，設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為:

其中-∞

所以：

其中-∞

同理有：

泊松積分是微積分中的反常積分，它在概率論中的應(yīng)用充分體現(xiàn)了微積分理理論同概率論的有機(jī)結(jié)合，下面進(jìn)一步體現(xiàn)說明這一點(diǎn).

1.2Γ(α)函數(shù)的指數(shù)分布中的應(yīng)用

先來看Γ函數(shù)在指數(shù)分布的數(shù)字特征計(jì)算中的應(yīng)用.

隨機(jī)變量X服從參數(shù)為EXP(λ)的指數(shù)分布,其概率密度為：

1)連續(xù)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為：

置換積分變量λx=t得Γ函數(shù)的特殊形式，即：

2)連續(xù)隨機(jī)變量X的方差：

D(X)=E(X2)-(EX)2=

積分做置換變量法積分化為Γ函數(shù)的形式，置換積分變量λx=t得：

3)連續(xù)隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩：

(k=1,2,3,…).

4)連續(xù)隨機(jī)變量X的k階中心矩：

正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最常用的一類重要分布.而Γ(α)函數(shù)在正態(tài)分布的應(yīng)用中起著重要作用.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，那么計(jì)算隨機(jī)變量X的k階中心矩就要用到Γ(α)函數(shù)：

1) 當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，因?yàn)楸环e函數(shù)是奇函數(shù)，所以積分等于零,可得到:

μk(X)=0,k=1,3,5,….

2)當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù)，所以有：

置換積分變量t2=2μ，得：

Γ函數(shù)不僅在處理指數(shù)分布的數(shù)字特征和計(jì)算正態(tài)分布的k階中心矩中有著廣泛應(yīng)用，而且借助Γ函數(shù)，概率論中形成了一個(gè)很重要的-Γ分布.參數(shù)為α,λ(a>0,λ>0)的Γ分布的密度函數(shù)為：

當(dāng)α=n∈N時(shí)，Γ分布Γ(α,λ)=Γ(n,λ)稱為厄蘭分布[6-7]，它能夠很好的運(yùn)用于排隊(duì)論和可靠性理論研究之中.

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法與卷積公式可證明Γ分布的可加性(再生性)，即：

下面討論當(dāng)n=2時(shí)，Γ函數(shù)在概率論中的運(yùn)用情況.

設(shè)ξ1～Γ(α1,λ),ξ2～Γ(α2,λ),且它們均相互獨(dú)立，證明ξ1+ξ2～Γ(α1+α2,λ).

證由假設(shè)知ξi的概率密度函數(shù)為:

故只需求出ξ1+ξ2的概率密度函數(shù)為:

事實(shí)上根據(jù)卷積公式有:

令z-x=y

令y=zt,則:

=zα1+α2-1B(α1,α2)

結(jié)論得證.

x1+x2+…+xn～Γ(n,λ).

故有：

由以上的計(jì)算可以看出，應(yīng)用微積分中的一些已知積分、級(jí)數(shù)性質(zhì)等可以很好地簡化概率論中數(shù)字特征的計(jì)算問題.不僅如此，微積分的基礎(chǔ)思想——極限論也滲透到概率論中，在概率論中有廣泛的應(yīng)用.

1.3同階數(shù)量級(jí)方法在概率論中的應(yīng)用

考慮獨(dú)立隨機(jī)變量序列x1,x2,…,其中Xk的概率分布為：

試證明x1,x2,…,服從中心極限定理.

證明由期望及方差的定義可知:

所以:

由此可見，對(duì)任意的δ>0,當(dāng)n→∞時(shí)，

從而由李雅普洛夫定理[2]知，x1，x2,…,服從中心極限定理.

1.4微增量法在概率論中的應(yīng)用

在概率論中有一些隨機(jī)事件的概率只依賴于一個(gè)變量的特點(diǎn).雖然事件的概率是一個(gè)未知函數(shù)，但可以由事件的概率只依賴于一個(gè)變量的這一特性出發(fā)，通過微增量尋找等式，從而再通過求解微分方程的方法求出這個(gè)未知函數(shù).具體步驟為：首先從這一個(gè)變量的局部性質(zhì)出發(fā)(微增量)，繼而建立方程等式，最后應(yīng)用微分方程的知識(shí)求出未知函數(shù).下面舉例說明.

某機(jī)器在△t時(shí)間內(nèi)因故障而停止工作的概率為α△t+o(△t)(α為正常數(shù)).假設(shè)機(jī)器在不重疊的時(shí)間內(nèi)停止工作的各個(gè)事件相互獨(dú)立.已知機(jī)器在時(shí)刻t0正常工作，試求機(jī)器從時(shí)刻t0到t0+t這段時(shí)間內(nèi)正常工作的概率.

在機(jī)器正常工作的情況下，所求概率只與時(shí)間區(qū)間[t0,t0+t]的長短有關(guān)，而與起點(diǎn)時(shí)刻t0無關(guān).于是所求概率只與t有關(guān)，記為p(t).因?yàn)閷?duì)函數(shù)p(t)的性質(zhì)未知，且由題目條件知機(jī)器在任一時(shí)刻t的充分小的增量Δt時(shí)間內(nèi)機(jī)器因故障而停止工作的概率為α△t+o(△t)，故可先考查函數(shù)p(t)在微小增量△t時(shí)間內(nèi)的變化特征.機(jī)器在[t0,t0+t+△t]內(nèi)正常工作，當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)器在[t0,t0+t]及[t0+t,t0+t+△t]這2段時(shí)間內(nèi)均正常工作才成立.由題目假設(shè)可知這2 個(gè)事件相互獨(dú)立，故有：

p(t+△t)=p(t)p(△t)=p(t)[1-α△t-o(△t)],

p(t+△t)-p(t)=-αp(t)△t-p(t)×o(△t),

因?yàn)閜(t)≤1,故當(dāng)△t→0,有:

求解微分方程得：

p(t)=Ce-αt(C為任意常數(shù))(*).

由題目假設(shè)知機(jī)器在t0時(shí)刻正常工作，于是由此知初始條件為p(0)=1，代入(*)式可求出C=1，得p(t)=e-αt,則機(jī)器從時(shí)刻t0到t0+t這段時(shí)間內(nèi)正常工作的概率為e-αt.本例是概率論中求解概率的問題，但是其方法運(yùn)用了微積分中極限的思維，顯示出了微積分思想和概率論的緊密聯(lián)系.當(dāng)然，微分法在求解概率論中的期望和方差時(shí)也有巧妙的運(yùn)用.

1.5逐項(xiàng)微分法在概率論中的應(yīng)用

在概率論中離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差分別定義為：

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差分別定義為：

當(dāng)隨機(jī)變量服從某一帶參數(shù)的分布時(shí)，則由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，在求期望時(shí)可運(yùn)用逐項(xiàng)微分法，先對(duì)等式兩邊同時(shí)關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)微積分理論中的級(jí)數(shù)及積分的知識(shí)求出結(jié)果.而在求方差時(shí)，由于在前面的步驟中已求出數(shù)學(xué)期望E(ξ)，由公式D(ξ)=E(ξ2)-[E(ξ)]2可知，現(xiàn)只需要求出隨機(jī)變量ξ的二階矩E(ξ2)即可.下面通過具體例子加以說明.

設(shè)隨機(jī)變量X～p(λ)，求E(X)與D(X).

由離散型隨機(jī)變量分布律的完備性可得:

兩邊同時(shí)乘eλ得:

兩邊對(duì)λ求導(dǎo)且由冪級(jí)數(shù)的可交換性可得：

即:E(X)=λ.

(**)式兩邊對(duì)λ求導(dǎo)得:

E(X2)=λ+λ2,所以:

D(X)=λ.

2　結(jié)論及展望

本研究運(yùn)用微積分的思想對(duì)概率論作了簡單探討，如求期望、方差、概率密度函數(shù)等問題，當(dāng)然，其在概率論中的應(yīng)用遠(yuǎn)非于此，在建立完備的概率空間中也起了至關(guān)重要的作用.微積分是構(gòu)建概率論理論的基石，在后續(xù)的工作中將運(yùn)用微積分的思想對(duì)概率論作進(jìn)一步研究，同時(shí)用概率論的相關(guān)結(jié)論來豐富微積分的思想.

[1] 范玉妹,汪飛星,王萍,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].2版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2012:123-125.

[2]沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社,2002:76-87.

[3]張景中.趣味隨機(jī)問題[M].北京：科學(xué)出版社,2004:6-33.

[4]申若虹.模式識(shí)別中基于概率統(tǒng)計(jì)的Bayes算法分析[J].機(jī)械工程與自動(dòng)化,2010(6):48-49.

[5]吳傳生.微積分[M].北京：高等教育出版社,2007:88-103.

[6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京：高等教育出版社,2014:259-264.

[7]汪太月，李宏偉,王志華.基于廣義高斯分布的水印信號(hào)檢測(cè)[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理，2007,22(2):166-171

(責(zé)任編輯高嵩)

Application of Calculus Idea in Probability Theory

Zhang Ziying1， Wang Taiyue2*

(1School of Business Administration,Northeastern University,Shenyang Liaoning 110819;2School of Mathematics and Physics,Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei 435003)

Probability theory and calculus are two different branches of mathematics.In this paper,using the existing theories in calculus,the probability density,distribution function,conditional probability and mathematical characteristics of continuous random variables in probability theory are discussed,which fully reflects the important role of calculus in the application of probability theory,realizes the organic unity of the two and lays the foundation for the follow-up study.

calculus;probability theory;limit;mathematical idea

2016-05-01

湖北省教育廳科研基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：B2015095)；湖北理工學(xué)院重大教研項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：2015A08)；湖北理工學(xué)院創(chuàng)新人才項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：14xjz02C)。

張子穎，本科生。

汪太月，副教授，博士，研究方向：廣義高斯信號(hào)處理、圖像處理、信息安全。

10.3969/j.issn.2095-4565.2016.04.012

O211

A

2095-4565(2016)04-0048-06