一次函數(shù)圖象上的關(guān)鍵點(diǎn)

□侯懷有　苗　偉

一次函數(shù)圖象上的關(guān)鍵點(diǎn)

□侯懷有苗偉

一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩個(gè)一次函數(shù)圖象之間的交點(diǎn)，常常是求解一次函數(shù)問題的關(guān)鍵點(diǎn).理解這些點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義，用好這些點(diǎn)的坐標(biāo)，常常成為解決一次函數(shù)問題的關(guān)鍵.

【一】一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)

由一次函數(shù)與一元一次方程（不等式）的關(guān)系，函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)方程的解；反之，方程的解即為函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).以圖象與x軸交點(diǎn)（即方程的解）為分界，函數(shù)圖象在x軸的上方和下方的部分分別表示y＞0或y＜0.

例1已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（6，0）和點(diǎn)（-2，4），求不等式ax+b＞0的解集.

分析：要求不等式ax+b＞0的解集，即是求一次函數(shù)的圖象在x軸上方的x的取值范圍.

解：以點(diǎn)（6，0）和點(diǎn)（-2，4）畫直接y=ax+b的圖象如圖1，

由圖可知，當(dāng)x＜6時(shí)，函數(shù)y=ax+b的圖象在x軸的上方，所以不等式ax+b＞0的解集是x＜6.

圖1

【二】一次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)

一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸的交點(diǎn)位置決定b的正負(fù).與y軸正半軸相交，b＞0；與y軸負(fù)半軸相交，b＜0.

例2已知一次函數(shù)y=kx+b+6與一次函數(shù)y=-kx+b+2的圖象的交點(diǎn)為（2，0），求這兩個(gè)一次函數(shù)解析式及兩直線與y軸圍成的三角形的面積.

分析：將點(diǎn)（2，0）代入兩直線的解析式中即可求出兩個(gè)一次函數(shù)解析式，然后分別求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積.

圖2

兩條直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，-2）、（0，2）（如圖2），從而圍成的三角形面積為

【三】兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)

兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，一方面可利用坐標(biāo)的幾何意義求面積，另一方面還是兩個(gè)函數(shù)函數(shù)值大小的分界點(diǎn).

例3如圖3，函數(shù)y=2x和y=ax+5的圖象相交于A（m，3），則不等式2x＜ax+5的解集為.

分析：要求不等式2x＜ax+5的解集，只需確定點(diǎn)A的坐標(biāo)即可.

圖3

解：因?yàn)辄c(diǎn)A（m，3）在函數(shù)y=2x的圖象上，所以3= 2m，解得，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=2x的圖象在函數(shù)y=ax+5圖象的下方，所以不等式2x＜ax+5的解集為