比輻射率反演的一個(gè)新方法

季豐民，王仙同，萬(wàn)　星，沈建瞇

(1. 寧波工程學(xué)院 材料學(xué)院，寧波 315016； 2. 寧波工程學(xué)院 理學(xué)院，寧波 315211)

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比輻射率反演的一個(gè)新方法

季豐民1，王仙同2，萬(wàn)星2，沈建瞇2

(1. 寧波工程學(xué)院 材料學(xué)院，寧波 315016； 2. 寧波工程學(xué)院 理學(xué)院，寧波 315211)

物體的比輻射率是反映物體熱輻射性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù)，比輻射率反演不僅提供了一種獲得物體比輻射率的便捷途徑，并且涉及許多有趣的理論問(wèn)題.目前該反問(wèn)題只有一種基于Hermite函數(shù)展開(kāi)的普適函數(shù)方法.考慮到這類反問(wèn)題固有的不適定性問(wèn)題，發(fā)展另外一種獨(dú)立的方法非常有必要.本文基于Laguerre函數(shù)展開(kāi)為比輻射率反問(wèn)題發(fā)展了一種新的方法.對(duì)一些理論譜的數(shù)值計(jì)算表明，新方法不僅擁有老方法的所有優(yōu)點(diǎn)，并且跟老方法相比擁有更高的計(jì)算精度，能夠計(jì)算結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜的理論譜.本文最后通過(guò)比較和分析揭示了新方法優(yōu)越性的根本原因.

物理學(xué)中的反問(wèn)題； 比輻射率； 漸近行為控制條件； 普適函數(shù)方法

反問(wèn)題研究已經(jīng)成為現(xiàn)代物理學(xué)的一個(gè)新的生長(zhǎng)點(diǎn)，例如在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中出現(xiàn)的一類反問(wèn)題開(kāi)辟了理論物理研究的廣闊領(lǐng)域，它們包括比熱-聲子譜反問(wèn)題[1-6]、黑體輻射反問(wèn)題[7-11]、比輻射率反問(wèn)題[12]、透射率反問(wèn)題[13]等.它們都可以表示成Planck型積分方程，即有關(guān)化學(xué)勢(shì)為零的玻色系統(tǒng)(如聲子、光子等)的物理性質(zhì)的積分方程.本文著重探討比輻射率反演問(wèn)題，這個(gè)反問(wèn)題為人們提供了一種獲得物體比輻射率的便捷途徑.

就物體輻射電磁波的能力來(lái)講，一般的物體總是比黑體輻射要弱一些，我們稱之為“灰體輻射”.灰體的輻射能力和黑體相比之后得到的比值定義為灰體的比輻射率g(ν)，其中ν為輻射電磁波的頻率.由此灰體的比輻射率總有0≤g(ν)≤1.根據(jù)Planck黑體輻射理論，物體單位表面積的輻射功率譜為

(1)

其中：h，c，kB分別為Planck常數(shù)，光速和Boltzmann常數(shù)，T是熱力學(xué)溫度.假如我們知道了灰體的比輻射率，那么物體單位表面積的輻射總功率J(T)就是輻射功率譜在整個(gè)頻率空間的積分:

(2)

基于反遙測(cè)領(lǐng)域的研究需要，人們提出了該輻射問(wèn)題的反問(wèn)題[12]： 能否通過(guò)測(cè)量灰體單位表面積的輻射總功率，求解上述積分方程而得到該灰體的比輻射率？這個(gè)反演問(wèn)題被稱為比輻射率反問(wèn)題.大家知道，反遙測(cè)技術(shù)是一項(xiàng)有重要實(shí)用價(jià)值的工程技術(shù)，而比輻射率的研究是反遙測(cè)技術(shù)中的重要內(nèi)容.在反遙測(cè)技術(shù)中，如何在特定的背景里隱藏自己、躲避比如紅外探測(cè)等的偵察至關(guān)重要，一個(gè)很重要的途徑就是降低己方物體的比輻射率.考慮到一些物體的比輻射率還可能跟溫度有關(guān)，因此比輻射率應(yīng)該寫成g(ν，T).根據(jù)測(cè)得的灰體輻射總功率求解溫度有關(guān)的比輻射率稱為廣義比輻射率反問(wèn)題，由明燈明等[14]首次提出并做了一些近似計(jì)算.本文僅限于討論狹義比輻射率的反演問(wèn)題.

比輻射率可以在實(shí)驗(yàn)上利用譜分析的方法獲得，但是這樣的測(cè)量需要相當(dāng)復(fù)雜的儀器，對(duì)于不同的頻率測(cè)量區(qū)間，適合的探測(cè)器就有所不同，要制作適應(yīng)于不同頻率的探測(cè)器也是比較困難的.因此通過(guò)反演的方法獲取比輻射率數(shù)據(jù)就成為一個(gè)比較實(shí)際可行的途徑.

人們?cè)?jīng)基于Hermite函數(shù)展開(kāi)，為比輻射率反問(wèn)題發(fā)展了一種普適函數(shù)方法(Universal Function Set method based on Hermite functions， UFS-H)[12]，并利用這種方法計(jì)算了一個(gè)單峰的理論譜，計(jì)算結(jié)果跟理論符合得很好.但是，UFS-H方法在雙峰理論譜上的表現(xiàn)不盡如人意，即使計(jì)算至很高的階數(shù)，計(jì)算結(jié)果依然跟理論值存在可觀的偏差.考慮到比輻射率反問(wèn)題涉及第一類Fredholm型積分方程，在求解過(guò)程中不可避免的會(huì)遇到所謂的不適定性問(wèn)題[15-18]： 微小的輸入差別可能導(dǎo)致巨大的輸出不同.如果要計(jì)算實(shí)際體系的比輻射率反演，UFS-H方法恐怕會(huì)更加難以勝任.其次，對(duì)于比輻射率反問(wèn)題而言，兩種獨(dú)立方法之間的互相檢驗(yàn)也是非常有必要的.本文主要目的是基于Laguerre函數(shù)集在比輻射率反演問(wèn)題當(dāng)中建立一種新的方法.

1　嚴(yán)格解公式簡(jiǎn)要回顧

在提出比輻射率反問(wèn)題之后，人們參照相關(guān)反問(wèn)題[2，8]的解決思路，基于傅里葉變換推導(dǎo)得到了一個(gè)封閉(積分)形式的嚴(yán)格解公式[12]：

(3)

(4)

另外，參數(shù)s>1的引入是為了消除傅里葉變換的發(fā)散問(wèn)題，并且避開(kāi)數(shù)學(xué)上著名的黎曼猜測(cè)[19].值得說(shuō)明的是，在嚴(yán)格解公式中輸入函數(shù)是輻射總功率J(T)，輸出的是物體的比輻射率g(ν).

可以證明[12]，如果輻射總功率滿足如下條件:

(5)

那么比輻射率反演問(wèn)題的解存在并且唯一.上述條件中的記號(hào)o[…]表示高階無(wú)窮小，這個(gè)條件被稱為漸近行為控制(Asymptotic Behavior Control， ABC)條件.

2　一種新的反演方法

在發(fā)展一種新方法的過(guò)程中，ABC條件起著關(guān)鍵的引導(dǎo)作用.它是輻射總功率必須滿足的條件，但是由于任何實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)必然存在誤差，而且測(cè)量的溫度區(qū)間不可能無(wú)窮大，導(dǎo)致ABC條件不可能被實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)所直接滿足.所以新方法必須具有自動(dòng)篩選功能，把符合ABC條件的有效成分予以保留，把不符合ABC條件的測(cè)量噪音剔除在外.這樣就對(duì)展開(kāi)函數(shù)有了極其嚴(yán)格的要求，不僅要求它們的傅里葉變換每一項(xiàng)都嚴(yán)格可解，并且它們的漸近行為都要求滿足ABC條件.

我們?cè)?jīng)參照以前的UFS-H方法，試圖直接用擴(kuò)展了定義域之后的Laguerre函數(shù)展開(kāi)Q0(x)，以此發(fā)展出一種新的方法.但是我們很快發(fā)現(xiàn)，與Hermite函數(shù)的情況不同，Laguerre函數(shù)的傅里葉變換并不滿足ABC條件，我們必須另辟蹊徑！

(6)

這里的ξ是一個(gè)實(shí)參數(shù)，展開(kāi)系數(shù)Cm是復(fù)數(shù)，Laguerre函數(shù)Lm(ξk)定義為

(7)

(8)

并且Laguerre函數(shù)的漸近行為有如下表達(dá)式：

(9)

(10)

(11)

則比輻射率反問(wèn)題存在唯一解.對(duì)比前面Laguerre函數(shù)的漸近行為，我們發(fā)現(xiàn)只要實(shí)參數(shù)ξ取值大于π，Laguerre函數(shù)的每一項(xiàng)都能滿足該反問(wèn)題的ABC條件.

(12)

其中Cm是展開(kāi)系數(shù)，并且

(13)

不難發(fā)現(xiàn)Gm(ν)是一個(gè)純數(shù)學(xué)的、與具體體系無(wú)關(guān)的函數(shù)集，這一點(diǎn)和以前的UFS-H方法相似，我們也稱它為新方法中的普適函數(shù)集，它可以事先用計(jì)算機(jī)計(jì)算完成.這種新方法我們稱之為基于Laguerre函數(shù)的普適函數(shù)方法(Universal Function Set method based on Laguerre functions， UFS-L).

根據(jù)Laguerre函數(shù)的正交性以及傅里葉變換的定義，我們有

(14)

因?yàn)長(zhǎng)aguerre函數(shù)Lm(ξk)是實(shí)函數(shù)，上式中的函數(shù)Dm(x)可以表示為

(15)

接下來(lái)我們必須解析完成Dm(x)函數(shù)里面的積分，找到一個(gè)盡可能簡(jiǎn)單的表達(dá)式.很幸運(yùn)我們得到這個(gè)新函數(shù)的簡(jiǎn)單形式

(16)

在推導(dǎo)過(guò)程的最后一步，我們應(yīng)用了二項(xiàng)式定理完成了求和過(guò)程.

到現(xiàn)在為止，一種基于Laguerre函數(shù)展開(kāi)的新的普適函數(shù)方法(UFS-L)已經(jīng)建立起來(lái)了.根據(jù)測(cè)量得到的灰體輻射總功率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)以下步驟即可反演計(jì)算灰體的比輻射率： 首先，將輻射總功率離散的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合成一個(gè)連續(xù)光滑的函數(shù)，根據(jù)(4)式轉(zhuǎn)換成Q0(x)；其次，根據(jù)(14)式計(jì)算展開(kāi)系數(shù)；再次，根據(jù)(13)式計(jì)算普適函數(shù)集；最后，將展開(kāi)系數(shù)和普適函數(shù)代入(12)式通過(guò)簡(jiǎn)單的求和得到比輻射率.

3　新方法的檢驗(yàn)

大家知道，在統(tǒng)計(jì)物理中嚴(yán)格解是比較稀少的.在比輻射率反問(wèn)題中，我們很幸運(yùn)地找到如下一組嚴(yán)格解，它們能夠很好地檢驗(yàn)反演方法的可行性以及它們的優(yōu)劣:

(17)

其中:A和μ均為實(shí)參數(shù)，η為頻率的標(biāo)度參數(shù)，ζ(z，q)為廣義黎曼函數(shù).

上述嚴(yán)格解(理論譜)的一個(gè)單模曾經(jīng)用UFS-H方法做過(guò)計(jì)算，計(jì)算結(jié)果和理論值符合很好[12].作為檢驗(yàn)，我們用新的UFS-L方法計(jì)算J1(T)，相關(guān)參數(shù)和常數(shù)的取值為A=3.0×1013，μ=2，η=2.86×10-15Hz-1，s=4.0，T0=2.5×104K，ξ=9.0.根據(jù)新的UFS-L方法，要得到比輻射率，只需要計(jì)算普適函數(shù)和展開(kāi)系數(shù).其中普適函數(shù)與具體的體系無(wú)關(guān)，因此可以事先運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算.計(jì)算好展開(kāi)系數(shù)之后，把普適函數(shù)和展開(kāi)系數(shù)代入公式(12)即得該單模對(duì)應(yīng)的比輻射率g1(ν).圖1顯示了UFS-L方法的計(jì)算結(jié)果以及與理論值的比較，從中可見(jiàn)新方法的確是可行的，并且相當(dāng)成功，展開(kāi)級(jí)數(shù)從第10階左右開(kāi)始穩(wěn)定收斂.

計(jì)算單峰的理論譜無(wú)論對(duì)于之前的UFS-H方法還是現(xiàn)在的UFS-L方法都是相對(duì)比較容易的，計(jì)算結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜的理論譜卻對(duì)這些方法構(gòu)成相當(dāng)大的挑戰(zhàn).

假設(shè)有集合an={0.66，-12，98，-427，1120，-1820，1848，-1142，394，-58}，則以下比輻射率由兩個(gè)峰構(gòu)成:

(18)

(19)

以上的gn(ν)和Jn(T)定義參照(17)式.

這個(gè)雙峰譜的計(jì)算比前面的單峰譜要困難一些，展開(kāi)級(jí)數(shù)的收斂要比單峰譜慢一些，不過(guò)用UFS-L方法計(jì)算至36階已經(jīng)和理論符合得很好.為了和以往的UFS-H方法做比較，我們也用UFS-H方法計(jì)算了這個(gè)雙峰譜，結(jié)果發(fā)現(xiàn)UFS-H方法在這個(gè)問(wèn)題上收斂更慢，一直算到66階(這幾乎是PC電腦機(jī)計(jì)算普適函數(shù)的極限階數(shù))，UFS-H方法計(jì)算的結(jié)果和理論值依然存在微小的偏差.兩種方法的計(jì)算結(jié)果以及理論值如圖2所示.相關(guān)參數(shù)和常數(shù)的取值為：B=1.0×1013，μ=5，η=1.0×10-12Hz-1，s=3.5，T0=300K，ξ=9.0.通過(guò)圖2，可以看出新方法在計(jì)算理論譜的時(shí)候，具有比以往方法更高的計(jì)算精度，因而它能夠精確計(jì)算具有更加復(fù)雜結(jié)構(gòu)的理論譜.通過(guò)兩種方法的比對(duì)，我們發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵在于UFS-L方法中的函數(shù)集Dm(x)，它比以往方法中的Hermite函數(shù)集更加簡(jiǎn)單.這個(gè)新的函數(shù)集只包含一些初等函數(shù)，甚至它們具有一個(gè)共同的包絡(luò)線(如圖3所示，參數(shù)取值ξ=10.0).

(20)

4　討論與總結(jié)

比輻射率反演是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中出現(xiàn)的具有工程應(yīng)用背景的反問(wèn)題.本文基于數(shù)學(xué)上著名的Laguerre函數(shù)集，為比輻射率反問(wèn)題發(fā)展了一種新的反演方法： UFS-L方法.新方法是繼現(xiàn)有的UFS-H方法之后的又一種普適函數(shù)方法.其中的普適函數(shù)都是與實(shí)際體系無(wú)關(guān)的純數(shù)學(xué)表達(dá)式，設(shè)定好幾個(gè)參數(shù)之后即可以用計(jì)算機(jī)完成計(jì)算.與實(shí)際體系有關(guān)的只是展開(kāi)系數(shù)，獲得展開(kāi)系數(shù)之后通過(guò)簡(jiǎn)單的求和過(guò)程即可獲得比輻射率.由于比輻射率反問(wèn)題固有的不適定性問(wèn)題的存在，在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，反演結(jié)果往往是很難預(yù)估的，兩種獨(dú)立方法之間的相互驗(yàn)證是很有必要的.

對(duì)單峰理論譜和雙峰理論譜的數(shù)值計(jì)算表明，新方法不僅擁有老方法的所有優(yōu)點(diǎn)，并且跟老方法相比擁有更高的計(jì)算精度.究其原因，是因?yàn)樾路椒ㄖ袑?dǎo)出的Dm(x)函數(shù)屬于初等函數(shù)，比老方法中的特殊函數(shù)Hermite函數(shù)更加簡(jiǎn)單，計(jì)算更加容易.因此，這個(gè)新函數(shù)也可運(yùn)用在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中出現(xiàn)的其他反問(wèn)題(比如比熱-聲子譜反問(wèn)題、黑體輻射反問(wèn)題、透射率反問(wèn)題等)中.

由于這種新方法中每一個(gè)展開(kāi)項(xiàng)都滿足ABC條件，所以它能自動(dòng)篩選出輻射總功率測(cè)量數(shù)據(jù)中的有效信息成分，同時(shí)剔除由于測(cè)量誤差以及有限測(cè)量區(qū)間引起的信息噪音，于是為真實(shí)體系的比輻射率反演鋪平了道路.今后如果有更加精密和完善的輻射總功率實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)，運(yùn)用新方法有望實(shí)現(xiàn)首個(gè)實(shí)際體系的比輻射率反演.

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A New Method for Emissivity Inversion

JI Fengmin1， WANG Xiantong2， WAN Xing2， SHEN Jianmi2

(1.SchoolofMaterialsScienceandEngineering，NingboUniversityofTechnology，Ningbo315016，China；2.SchoolofScience，NingboUniversityofTechnology，Ningbo315211，China)

How to obtain the emissivity of objects is an important research content of the anti telemetry technology. The inverse emissivity problem provides us a convenient way to obtain the emissivity. The purpose of this inverse problem is to get the emissivity according to measured total radiant power， by solving an integral equation. Although an exact solution formula of this inverse problem was derived， it can never be used directly to obtain emissivity in practical inversion. The integral equation requires that the total radiant power must satisfy a so-called asymptotic behavior control condition. The experimental measured total radiant power is impossible to satisfy this ABC condition because of the ill-posed problem. In order to realize the inversion of real system， some concrete methods are necessary. At present， there is only one existing method， that is the universal function set method based on the Hermite functions. In this paper， starting from the famous Laguerre functions， an independent new method is developed for inverse emissivity problem. The new method has all the advantages of the old method. Moreover， numerical calculation shows that the new method has higher accuracy than the old one. It can calculate the theoretical spectrum with more complex structure. Each expansion term in the new method satisfies the asymptotic behavior control condition， so it can automatically filter out the effective information in the experimental total radiant power data. At the same time， the noise of information can be eliminated. This new method is suitable for the inversion of real system. If there are more sophisticated and perfect radiation power measurement data， this new method can be applied to the emissivity inversion for the first real system.

inverse problems in physics； emissivity； asymptotic behavior control condition； universal function set method

0427-7104(2016)04-0403-07

2015-11-13

國(guó)家自然科學(xué)基金(11447211，10675031)，浙江省新苗人才計(jì)劃(2013R422034)

季豐民(1979-)，男，講師，博士，E-mail： JiFengm@163.com.

O 411.1

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