電場強(qiáng)度在帶電表面突變問題的深入探討

劉 倩　翟曉霞　艾麗娜

(石家莊理工職業(yè)學(xué)院　河北 石家莊　050200)

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電場強(qiáng)度在帶電表面突變問題的深入探討

劉 倩翟曉霞艾麗娜

(石家莊理工職業(yè)學(xué)院河北 石家莊050200)

討論了應(yīng)用高斯定理求解帶電球面和帶電球體電場強(qiáng)度分布的問題，并對其結(jié)果關(guān)于電場強(qiáng)度在球面上突變的問題進(jìn)行了分析討論，利用“面模型”解釋了產(chǎn)生突變的原因.

高斯定理電場強(qiáng)度突變面模型

1　引言

高斯定理是靜電場中的普遍規(guī)律，在靜電場場強(qiáng)計算中有著重要的應(yīng)用.在真空中高斯定理的表達(dá)式[1]為

它表明電場中通過任一閉合曲面的電通量等于該曲面內(nèi)所有電荷量的代數(shù)和除以ε0，與閉合曲面外的電荷無關(guān).對于電荷分布均勻并且對稱的帶電體，可以應(yīng)用高斯定理求出帶電體電場強(qiáng)度的分布[2].本文利用高斯定理求出了帶電球面和帶電球體周圍的電場強(qiáng)度分布，并通過對場強(qiáng)分布的分析發(fā)現(xiàn)帶電球面內(nèi)外的場強(qiáng)存在突變，在文中利用“面模型”解釋了電場強(qiáng)度在帶電面上的突變問題.最后總結(jié)了將帶電面看做“面模型”的條件.

2　高斯定理求解均勻帶電球面和帶電球體的電場強(qiáng)度分布

【例1】電荷q均勻分布于半徑為R的球面上，求球內(nèi)外的靜電場強(qiáng)分布.

從電荷分布的球?qū)ΨQ性出發(fā)，不難證明球形高斯面S上各點場強(qiáng)大小相等，方向沿徑向[3]，那么如圖1，S面的E通量

球形高斯面內(nèi)的電荷為q，由高斯定理

可以得到

方向沿徑向.

圖1　用高斯定理求均勻帶電球面的場強(qiáng)

對于球面內(nèi)的電場，在球面內(nèi)做一個球形高斯面，由于高斯面內(nèi)的電荷為零[4]，故

En4πr2=0

因而E=0.

由以上結(jié)果可以畫出場強(qiáng)大小E隨r變化的函數(shù)曲線如圖2所示.

圖2　均勻帶電球面的場強(qiáng)分布曲線

【例2】電荷q均勻分布于半徑為R的球體上，求球體內(nèi)外的場強(qiáng)分布.

仿照例1的情況，根據(jù)對稱性可以運用高斯定理求出球外場強(qiáng)仍為

球內(nèi)場強(qiáng)為

球內(nèi)外場強(qiáng)大小隨r的變化曲線如3所示.

圖3　均勻帶電球體的場強(qiáng)分布曲線

由以上兩例可知，應(yīng)用高斯定理可以很方便地求解出具有對稱性的帶電體周圍的電場強(qiáng)度分布.由圖3可看出均勻帶電球體的場強(qiáng)在球內(nèi)、球外以及球面都是連續(xù)的矢量場，但是圖2卻表明均勻帶電球面的場強(qiáng)在面上有突變.

3　對帶電球面場強(qiáng)突變問題的分析討論

上述兩例表明，與帶電球體不同，帶電球面的場強(qiáng)在面上有突變.這種突變是場強(qiáng)在帶電面上采用面模型的結(jié)果，面模型即帶電薄層的簡化，場強(qiáng)從薄層的一壁到另一壁是連續(xù)變化的，只是由于簡化成面模型(薄層厚度為零)才出現(xiàn)突變[3].現(xiàn)以均勻帶電的同心球?qū)訛槔齺碚f明突變的問題.

如圖4所示，球?qū)拥膬?nèi)外壁把空間分為3個區(qū)：rR2為C區(qū)，由高斯定理不難求出A，B，C3區(qū)的場強(qiáng)EA,EB,EC為

EA=0

其中ρ及q分別為球?qū)拥碾姾审w密度和電荷量.由三區(qū)場強(qiáng)的結(jié)果畫出的E-r曲線如圖4所示，從圖中可以明顯看到是一條連續(xù)的曲線，在任何半徑r處都無突變，球?qū)觾?nèi)外壁(r=R1及r=R2)處場強(qiáng)的差值為

圖4　均勻帶電球?qū)拥膱鰪?qiáng)(厚度較大)

在用高斯定理求解帶電球面的場強(qiáng)分布時采用的是帶電面模型，帶電面模型是把帶電薄層的電荷集中于一個幾何面上得到的，現(xiàn)在保持球?qū)涌偟碾姾闪坎蛔?，令R1趨近于R2，由上面ΔE的表達(dá)式可知，ΔE的值并不改變，如圖5所示.

圖5　均勻帶電球?qū)拥膱鰪?qiáng)(厚度較小)

在極限情況下有

即球?qū)颖≈脸梢粋€幾何面時(電荷不變)，內(nèi)外壁的場強(qiáng)差值仍為一有限值，如圖6所示，分居球面兩側(cè)的兩個極近點的場強(qiáng)有一個有限差值，也就意味著場強(qiáng)在帶電球面上發(fā)生突變.

圖6　均勻帶電球?qū)拥膱鰪?qiáng)(厚度為零，即帶電球面)

由以上分析可知，帶電球面上場強(qiáng)存在突變是由于將帶電面的厚度簡化為零得到的結(jié)果.然而面模型是有條件的，條件是場點與薄層的距離遠(yuǎn)大于層的厚度，若討論面上的一點場強(qiáng)就不能采用面模型，因為涉及這個點的帶電層已經(jīng)不能看成幾何面了.

4　結(jié)論

在物理學(xué)的研究中經(jīng)常會找到一些物理模型來簡化研究過程，在教學(xué)中也可以讓學(xué)生更加清晰地理解物理過程.采用簡化模型是有條件的，本文中采用的是面模型，條件是場點與薄層的距離遠(yuǎn)大于層的厚度.但是如果不關(guān)心帶電層內(nèi)及其附近的場強(qiáng)是否表達(dá)得很準(zhǔn)確，那么可以對整個空間采用面模型，于是就出現(xiàn)本文中討論的電場在面上的突變問題.

1趙凱華,等. 電磁學(xué)(上冊). 北京：高等教育出版社, 1998.52～54

2衛(wèi)麗娜. “電場高斯定理”的教學(xué)設(shè)計. 物理通報,2015(8):22

3梁燦彬, 秦光戎. 電磁學(xué). 北京：高等教育出版社, 2004.22～23

劉倩(1985-)，女，碩士，講師,主要從事基礎(chǔ)物理教學(xué)以及多鐵性納米材料的研究.

2016-03-27)