一類具有間斷系數(shù)的周期Hilbert邊值逆問(wèn)題的研究

趙　爽

(綏化學(xué)院 農(nóng)業(yè)與水利工程學(xué)院，黑龍江 綏化 152061)

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一類具有間斷系數(shù)的周期Hilbert邊值逆問(wèn)題的研究

趙爽

(綏化學(xué)院 農(nóng)業(yè)與水利工程學(xué)院，黑龍江 綏化 152061)

文章給出了具有間斷系數(shù)的周期Hilbert邊值逆問(wèn)題在單位圓周上的數(shù)學(xué)提法，應(yīng)用周期延拓、保形變換等方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的Riemann邊值問(wèn)題，并據(jù)其理論，討論了具有間斷系數(shù)的周期Hilbert邊值逆問(wèn)題的可解性，給出了該類邊值問(wèn)題的可解條件及其在正則情況下的一般解。

Hilbert邊值逆問(wèn)題；周期；間斷系數(shù)

解析函數(shù)邊值問(wèn)題在研究平面彈性和斷裂力學(xué)等實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用[1]。近年來(lái)，有關(guān)解析函數(shù)的各類邊值問(wèn)題得到了長(zhǎng)期深入的研究及廣泛的推廣。翟小云等[2]研究了解析函數(shù)的周期復(fù)合邊值問(wèn)題的求解問(wèn)題。筆者[3]研究了具有間斷系數(shù)的周期復(fù)合邊值問(wèn)題的求解問(wèn)題。王明華[4-5]教授對(duì)邊值逆問(wèn)題做了更深入的研究，給出了解析函數(shù)的一類Riemann-Hilbert邊值逆問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法及其解法。本文在上述工作的基礎(chǔ)上，結(jié)合筆者研究的單位圓周上周期Hilbert邊值逆問(wèn)題的方法[6]，把具有間斷系數(shù)的周期問(wèn)題與Hilbert邊值逆問(wèn)題結(jié)合在一起研究，并且得到這類問(wèn)題在正則情況下的一般解。

1　提出問(wèn)題

所求問(wèn)題為：求函數(shù)對(duì)(Φ(z),Ψ(t))，這里Φ(z)是在D+內(nèi)以απ為周期的分區(qū)全純函數(shù)，Ψ(t)為Γk上H類實(shí)函數(shù)，也以απ為周期，滿足下列條件:

(1)

其中已知函數(shù)λj(t)=aj(t)+ibj(t),aj(t),bj(t),sj(t),rj(t)(j=1,2)∈H(Γk)，均以απ為周期，且在Γk上存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。

為方便，記

(2)

這里本文只討論正則型問(wèn)題的解，即λ(t)≠0,r(t)≠0時(shí)問(wèn)題的解。

2　分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題

此時(shí)已知實(shí)函數(shù)aj(t),bj(t),sj(t),rj(t)(j=1,2)在Γ0上仍存在著有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，將這些間斷點(diǎn)記為c1,c2,…,cn，于是所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在h(c1,c2,…,cq)類中求解(Φ0(z),Ψ0(t))。

其次用變換

(3)

(4)

3　求解問(wèn)題

設(shè)問(wèn)題(4)的指標(biāo)為κ，則它也為原問(wèn)題(1)的指標(biāo)。

將式(4)中的第一式兩端乘以r2(τ)與第二式兩端乘以r1(τ)后相減，則式(4)化為帶間斷系數(shù)的Hilbert邊值問(wèn)題：

(5)

其中

(6)

3.1齊次問(wèn)題的解，即s1(t)=s2(t)=0時(shí)的解

由文獻(xiàn)[6]知，當(dāng)κ≥0時(shí)，齊次問(wèn)題(5)的一般解

(7)

將其帶回式(4)得

(8)

當(dāng)κ<0時(shí)，齊次問(wèn)題(5)只有零解，從而所求問(wèn)題(1)只有零解。

3.2非齊次問(wèn)題的解

根據(jù)非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)，這里只須求出問(wèn)題(5)的一個(gè)特解即可。由文獻(xiàn)[6]知，當(dāng)κ≥0時(shí)，問(wèn)題(5)有滿足條件的特解

(9)

將其帶回式(4)得

(10)

其中

(11)

當(dāng)κ<0時(shí)，問(wèn)題(5)可解的條件為

(12)

(13)

其中k=-κ-1時(shí)為實(shí)方程，即式(13)為-2κ-1個(gè)條件，在此條件下，問(wèn)題(4)有唯一解。

4　結(jié)論

根據(jù)以上分析，可得下述定理。

最后用變換(3)的逆變換將等價(jià)問(wèn)題(4)的一般解代回原問(wèn)題(1)中，即可得到原問(wèn)題(1)在正則性問(wèn)題的一般解。

本文首先給出了帶間斷系數(shù)的的周期Hilbert邊值逆問(wèn)題在的數(shù)學(xué)提法，然后利用周期延拓和保形變換等方法把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一般的Hilbert邊值逆問(wèn)題，從而給出了一般解的表達(dá)方式及可解條件，最后得到了此類問(wèn)題的一般解。

[1]路見(jiàn)可.解析函數(shù)邊值問(wèn)題(第二版)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2004.

[2]翟小云，鄭神州.解析函數(shù)的周期復(fù)合邊值問(wèn)題[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，29(3)：54-58.

[3]趙爽.具有間斷系數(shù)的周期復(fù)合邊值問(wèn)題[J].高師理科學(xué)刊，2009，29(6)：28-31.

[4]Wang minghua. The inverse riemann boundary value problem for bianalytic functions[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，26(2)：132-134.

[5]王明華.一類Riemann-Hilbert邊值逆問(wèn)題[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，22(4)： 532-535.

[6]趙爽，張姮妤，丁慧，等. 單位圓周上的周期Hilbert邊值逆問(wèn)題的研究[J].綏化學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，33(11)：156-160.

責(zé)任編輯王菊平

Research of a cycle Hilbert boundary value problem on the discontinuous coefficient inverse

ZHAO Shuang

(College of Agricultural and Hydraulic Engineering, Suihua University, Suihua 152061，Heilongjiang, China)

The mathematical definition of Hilbert boundary value inverse problem for the upper half plane with discontinuous coefficient was discussed in this paper. Methods of period and conformal transformation were applied to convert the problem into Riemann boundary value problem. Based on the theory, the solvability of the inverse Hilbert boundary value problem with discontinuous coefficients was discussed. The solvability conditions of the problem and its general solution in the case of regular were obtained.

Hilbert boundary value inverse problem；cycle；discontinuous coefficient

O174.5

A

1003-8078(2016)03-0001-03

2015-11-24

10.3969/j.issn.1003-8078.2016.03.01

趙爽，女，黑龍江蘭西人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)楹瘮?shù)論。

綏化學(xué)院杰出青年基金項(xiàng)目(SJ11005)。