超音速?gòu)椡璧蜕鞆椀赖慕平馕鼋?/h1>

2016-09-16 02:04:27王雨時(shí)張志彪

探測(cè)與控制學(xué)報(bào)訂閱 2016年4期 收藏

關(guān)鍵詞：射角超音速彈丸

劉　鵬，王雨時(shí)，聞　泉，張志彪

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京　210094)

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超音速?gòu)椡璧蜕鞆椀赖慕平馕鼋?/p>

劉鵬，王雨時(shí)，聞泉，張志彪

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京210094)

針對(duì)引信和彈藥試驗(yàn)用超音速?gòu)椡璧蜕鞆椀乐T元求解過(guò)程較為復(fù)雜的問(wèn)題，利用超音速段空氣阻力定律有理式函數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式求解彈丸低伸彈道質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組，提出了超音速?gòu)椡璧蜕鞆椀乐T元中速度與時(shí)間的解析函數(shù)式。該解析式編程簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便。實(shí)例表明，所得到的超音速?gòu)椡璧蜕鞆椀乐T元近似解析解公式具有較高的求解精度。

外彈道學(xué)；數(shù)學(xué)模型；經(jīng)驗(yàn)公式；低伸彈道；外彈道近似解；彈道預(yù)估

0　引言

彈藥和引信產(chǎn)品研制與生產(chǎn)驗(yàn)收試驗(yàn)以及部隊(duì)訓(xùn)練試驗(yàn)，涉及的多是低伸彈道問(wèn)題。雖然計(jì)算機(jī)及其應(yīng)用技術(shù)已經(jīng)很普及，但要解算彈丸外彈道，涉及的不但有常微分方程組的數(shù)值求解問(wèn)題，還需要有較為系統(tǒng)的外彈道學(xué)知識(shí)，而這對(duì)非彈道學(xué)專(zhuān)業(yè)的人員是有一定難度的。

為了尋求便于應(yīng)用的彈道學(xué)解算方法，人們多年來(lái)一直在進(jìn)行探索和研究。這包括計(jì)算機(jī)普及前誕生的低伸彈道的西亞切近似分析解法(需查西亞切輔助函數(shù)表)，也包括計(jì)算機(jī)普及后的各種近似解析公式。如文獻(xiàn)[1]以反坦克火炮為背景，以研究直射程和直射角為主，應(yīng)用級(jí)數(shù)展開(kāi)原理給出了低伸彈道諸元的公式，但計(jì)算復(fù)雜，應(yīng)用繁瑣；文獻(xiàn)[2]利用西亞切阻力定律在初速大于300 m/s情況下的簡(jiǎn)化表達(dá)式，給出了反坦克武器直射距離的計(jì)算公式。文獻(xiàn)[3]以步兵近戰(zhàn)武器彈道為背景，利用低速(小于250 m/s)情況下的平方阻力定律，推導(dǎo)出了低速低伸彈道的任意點(diǎn)諸元求解公式。文獻(xiàn)[4]和[5]對(duì)此結(jié)果作了進(jìn)一步歸納整理。文獻(xiàn)[6]和[7]所用理論和公式與文獻(xiàn)[3]的相同。文獻(xiàn)[8]以火控計(jì)算機(jī)為應(yīng)用背景，針對(duì)航炮空中射擊彈道，應(yīng)用最小二乘法將3≥Ma≥1.5的彈丸空氣阻力定律曲線處理成了直線，以直接解析法取代傳統(tǒng)表解法解算航空炮彈2 000 m以?xún)?nèi)的外彈道，得出航炮射擊諸元。文獻(xiàn)[9]利用超高速情況下(大于1 270 m/s)的平方阻力定律，給出了超高速?gòu)椡璧蜕鞆椀婪匠痰慕平馕鼋?，即速度降與阻力特性之間的關(guān)系式。文獻(xiàn)[10]借助最小二乘法回歸得到的中高速段(400～1400 m/s和630～960 m/s)阻力函數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式，給出了中高速段低伸彈道的近似解析解，即飛行時(shí)間與速度、飛行距離的解析關(guān)系式，但其誤差較大。在超出其速度范圍之外時(shí)，最大相對(duì)誤差達(dá)20%。

本文利用超音速(4≥Ma≥1)彈丸空氣阻力定律有理式經(jīng)驗(yàn)公式，對(duì)彈丸低伸彈道近似求解，得到較高精度的彈丸速度和飛行距離解析表達(dá)式。

1　對(duì)應(yīng)1943年阻力定律的彈道方程近似解析解

經(jīng)典外彈道學(xué)給出的彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程組[11]為：

(1)

式(1)中，v為彈丸速度，m/s；c為彈道系數(shù)，m2/kg；H(y)為空氣重度函數(shù)，無(wú)量綱；F(v,cs)為阻力函數(shù)，N/m2；g為重力加速度，m/s2；θ為彈道傾角，(°)；t為發(fā)射時(shí)記起的時(shí)間，s；cs為當(dāng)?shù)芈曀伲琺/s；x為彈丸飛行水平距離，m；y為彈丸飛行高度，m。

對(duì)于低伸彈道，可以忽略射角、高度和重力加速度的影響，即θ=θ0≈0，y≈0，H(y)=H(0)=1，從而簡(jiǎn)化上述的彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程。式(1)中的第一個(gè)方程可以簡(jiǎn)化為：

(2)

對(duì)于一個(gè)特定的彈丸c是一定的。再將H(y)看作常數(shù)，記中間變量p=4.737×10-4cH(y)，p的計(jì)量單位為m-1，則式(2)可簡(jiǎn)化為：

(3)

記馬赫數(shù)M=v/cs，則式(3)變?yōu)椋?/p>

(4)

代入文獻(xiàn)[12]給出的1943年空氣阻力定律在1≤M≤4范圍內(nèi)的近似解析函數(shù)式

(5)

后作分離變量處理，得

(6)

令q=1/M，則式(6)變?yōu)椋?/p>

即

(7)

利用MATLAB軟件解式(7)可得：

11.260q+10.564arctan(2.3330q-3.8846)+

7.2870ln(q2-3.3302q+2.9562)=cspt+A

(8)

式中，A為由初始條件t=0、v=v0(初速)確定的常數(shù)。

將q=1/M、M=v/cs代入，得到彈丸速度v與時(shí)間t的解析函數(shù)式

(9)

該式為超越方程，難以求其反函數(shù)，可用數(shù)值迭代法求解。

2　數(shù)值迭代算法的應(yīng)用

對(duì)于海拔高度為0的低伸彈道而言，H(y)=1，則p=4.737×10-4c。另cs取地面標(biāo)準(zhǔn)值341.2m/s，彈丸初速v0和彈道系數(shù)c已知。將q=q初=1/M0=cs/v0=341.2/v0，t=t0=0代入式(8)中即可求得A。

把方程等價(jià)變換為：

q=f(q)

只要f(q)在q的值域內(nèi)連續(xù)，且|f′(q)|<1，那么它的根可由：

q1=f(q0)

q2=f(q1)

?

qn+1=f(qn)

來(lái)接近。令

q=[-10.564arctan(2.3330q-3.8846)-

7.2870ln(q2-3.3302q+2.9562)+

cspt+A]/11.260

(10)

則有

又因?yàn)?≤M≤4，則0.25≤q≤1。利用MATALB可求得|f′(q)|在0.25≤q≤1范圍內(nèi)的極值為0.7746<1，則式(10)的迭代過(guò)程是收斂的，可以用于外彈道計(jì)算。迭代格式為：

qi+1=[-10.564arctan(2.3330qi-3.884 6)-

7.287 0ln(qi2-3.330 2qi+2.956 2)+

cspt+A]/11.260

(11)

對(duì)應(yīng)的v=cs/qn(qn為q的逼近值)。

為了進(jìn)一步估算出對(duì)應(yīng)的水平位移x，可近似?。?/p>

(12)

式中,xt為對(duì)應(yīng)t時(shí)刻的水平距離；Δt為時(shí)間步長(zhǎng)；n=t/Δt；vj為第j個(gè)Δt時(shí)刻的速度。

3　對(duì)應(yīng)西亞切阻力定律解析式的彈道方程近似解析解

西亞切阻力定律雖已有解析式[11]但卻不便于用于彈道方程近似解析解。利用上述方法對(duì)文獻(xiàn)[12]給出的在1≤M≤4范圍內(nèi)的西亞切阻力定律經(jīng)驗(yàn)公式

做相同處理。得：

0.016 866lnM+0.016 464/M-

0.455 27ln(M-0.748 79)=cspt+A

(13)

將M=v/cs代入，得到彈丸速度v與時(shí)間t的解析函數(shù)式為：

0.016 866ln(v/cs)+0.016 464/(v/cs)-

0.455 27ln[(v/cs)-0.748 79]=cspt+A

(14)

0.748 79,

則

再令式(12)等式左邊為：

Φ(M)=0.016 866lnM+0.016 464/M-

0.455 27ln(M-0.748 79)

則

因?yàn)?≤M≤4，所以Φ′(M)<0，則Φ(M)在1≤M≤4范圍內(nèi)單調(diào)遞減，-0.5093≤1≤Φ(M)≤0.6454，對(duì)應(yīng)可知-0.5093≤csat+A≤0.6454。故

利用MATALB軟件求得當(dāng)1≤M≤4時(shí)|f′(M)|<0.031<1，則式(13)的迭代過(guò)程是收斂的，可以用于外彈道計(jì)算。其迭代格式為：

(15)

對(duì)應(yīng)的v=csMn(Mn為M的逼近值)。

與對(duì)應(yīng)1943年阻力定律的彈道方程近似解析解相比，對(duì)應(yīng)西亞切阻力定律的彈道方程近似解析解形式比較簡(jiǎn)單。

4　驗(yàn)證算例

以25mm口徑艦炮榴彈為例，對(duì)式(11)和式(12)的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。迭代時(shí)取q0=1/M0=cs/v0。查文獻(xiàn)[13]知該榴彈初速v0=890m/s、彈重m=0.282kg、彈形系數(shù)i43=1.3，計(jì)算結(jié)果與射表所載[10]數(shù)值對(duì)比如表1所列。

以23mm口徑航炮榴彈為例，對(duì)式(15)的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。查文獻(xiàn)[13]知該榴彈初速v0=720m/s、彈重m=0.174kg、彈形系數(shù)ic=0.66，有效射程不小于1 000m。取射角θ0=1.5°。再利用式(1)對(duì)該槍彈進(jìn)行數(shù)值求解，比較結(jié)果如表2所列。

表1　25 mm口徑艦炮榴彈外彈道近似解及數(shù)值解與射表所載外彈道諸元對(duì)比

表2　23 mm航炮榴彈外彈道近似解與數(shù)值解對(duì)比

由表2可以看出，利用式(12)進(jìn)行近似解析求解得到的彈丸速度與采用微分方程數(shù)值解所得結(jié)果差異很小，相對(duì)誤差在0.103%以?xún)?nèi)。而在計(jì)算彈丸水平位移時(shí)，時(shí)間步長(zhǎng)Δt取值越小，水平距離準(zhǔn)確度越高。

由圖1可以看出，在超音速范圍內(nèi)時(shí)，無(wú)論射角大小，彈丸速度近似解析解與數(shù)值解相差都很小。在亞音速范圍內(nèi)，速度相對(duì)誤差隨著速度的減小逐漸增大，且射角越大，相對(duì)誤差越大。4 s以?xún)?nèi)，式(11)的近似解析解與60°射角時(shí)數(shù)值解結(jié)果最大相對(duì)誤差為2.61%。12 s以后，式(11)給出的結(jié)果出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，其原因是此時(shí)已超出了式(11)適用范圍(M≥1)。

圖1　14.5 mm口徑四管高射機(jī)槍穿燃彈外彈道式(11)近似解析解與不同射角條件下的數(shù)值解對(duì)比Fig.1　Comparison of four tube 14.5 mm caliber antiaircraft API cartridge ballistic approximate analytical solution of equation (11) and numerical solution under the condition of different jet Angle

由圖2可以看出，105 mm坦克炮榴彈的速度近似解析解在超音速段與數(shù)值解相差很小，預(yù)報(bào)彈丸速度的最大相對(duì)誤差為6.74%。而60 s以后，式(11)給出的結(jié)果出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，其原因也是此時(shí)已超出了式(11)適用范圍(M≥1)。

式(12)的物理意義是計(jì)算彈丸的飛行路程。如圖3和圖4所示，當(dāng)射角在20°以下時(shí)，式(12)的誤差較小。而當(dāng)射角在20°以上時(shí)，彈丸的水平位移與路程的差異將隨著射角的增大而顯著增大，因而式(12)誤差較大。

圖2　105 mm口徑坦克炮榴彈外彈道式(11)近似解析解與不同射角數(shù)值解對(duì)比Fig.2　Comparison of 105 mm caliber tank gun cartridge ballistic approximate analytical solution of equation (11) and numerical solution under the condition of different jet Angle

圖3　14.5 mm口徑四管高射機(jī)槍穿燃彈外彈道水平距離近似解與不同射角條件下數(shù)值解對(duì)比Fig.3　Comparison of four tube 14.5 mm caliber antiaircraft API cartridge ballistic approximate analytical solution of horizontal distance and numerical solution under the condition of different jet Angle

圖4　105 mm口徑坦克炮榴彈外彈道水平距離近似解與不同射角數(shù)值解對(duì)比Fig.4　Comparison of 105 mm caliber tank gun cartridge ballistic approximate analytical solution of horizontal distance and numerical solution under the condition of different jet Angle

5　結(jié)論

利用彈丸超音速段空氣阻力有理式經(jīng)驗(yàn)公式分析得到的低伸彈道近似解析解，其估算結(jié)果與數(shù)值解算的結(jié)果誤差很小。該表達(dá)式是低伸彈道的一種數(shù)學(xué)解法，不需要對(duì)外彈道微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解，編程簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便，可用于預(yù)估超音速?gòu)椡璧蜕鞆椀绤?shù)。

[1]楊志遠(yuǎn). 火炮直射程和直射角——并導(dǎo)低伸彈道計(jì)算公式[J]. 彈箭技術(shù)研究，1973(1)：67-84.

[2]林永生.反坦克炮彈外彈道的近似解法[J].彈箭技術(shù)研究，1973(1)：85-93.

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[13]侯正禮, 郁作民. 引信手冊(cè)(第二冊(cè))[M]. 北京：兵器工業(yè)部三局，1984.

Approximate Analytical Expression of Supersonic Projectile Low Trajectory

LIU Peng, WANG Yushi, WEN Quan, ZHANG Zhibiao

(College of Mechanical Engineering , NUST, Nanjing 210094, China)

For the problem of low trajectory parameters of supersonic projectile for fuze and ammunition test solution was complicated, rational empirical formulas for air resistance law of projectile at supersonic section was uesed to solve mass center motion equations of low trajectory, a analytic function of speed and time of low trajectory for supersonic projectile was present. The analytic function was simple to program and convenient to use. Examples showed that approximate analytic expression of low trajectory for supersonic projectile had higher accuracy.

external ballistics; mathematical model; empirical formula; low trajector; ballistic approximate solution; ballistic forecast

2015-11-03

江蘇省自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目資助(BK20140786)

劉鵬(1991—)，男，湖南長(zhǎng)沙人，碩士研究生，研究方向：引信及彈藥技術(shù)。E-mail:skig906@163.com。

TJ012.3

A

1008-1194(2016)04-0042-05

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