平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)能計(jì)算的探討*

趙玉成，楊衛(wèi)明，陳培見

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院力學(xué)系，江蘇 徐州 221116)

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平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)能計(jì)算的探討*

趙玉成，楊衛(wèi)明，陳培見

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院力學(xué)系，江蘇 徐州 221116)

基于剛體的平面運(yùn)動(dòng)可看作是繞過(guò)瞬心的瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，就直接給出類似定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算公式是否合理？剛體平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨同基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，那么平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能是否等于隨同基點(diǎn)平動(dòng)的動(dòng)能和相對(duì)基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和？本文對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的分析和探討.

質(zhì)點(diǎn)系；剛體；平面運(yùn)動(dòng)；動(dòng)能

平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)能的計(jì)算本不是一個(gè)非常困難的問(wèn)題，只需根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能計(jì)算公式推導(dǎo)得到.一些理論力學(xué)教材[1～5]對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算公式的介紹，都是基于剛體的平面運(yùn)動(dòng)可看作是繞“瞬時(shí)軸”(垂直于運(yùn)動(dòng)平面并通過(guò)剛體此瞬時(shí)速度瞬心P的軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)，然后直接就給出平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能計(jì)算公式，即1/2JPω2(其中JP為剛體對(duì)過(guò)速度瞬心P的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為此瞬時(shí)角速度).再根據(jù)平行軸定理推出平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和的公式.

基于剛體的平面運(yùn)動(dòng)可看作是繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)直接得出計(jì)算平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能公式1/2JPω2，不是非?？茖W(xué)和嚴(yán)謹(jǐn)，存在以下問(wèn)題：

1)根據(jù)1/2JPω2如何計(jì)算瞬時(shí)平動(dòng)情況下的動(dòng)能？此瞬時(shí)的JP如何計(jì)算？此瞬時(shí)ω=0，動(dòng)能為0？

2)這個(gè)公式的得出是基于剛體的平面運(yùn)動(dòng)可看作是繞“瞬時(shí)軸”的轉(zhuǎn)動(dòng)，同樣，如果根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨同基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成(前面的教材在剛體平面運(yùn)動(dòng)的分解中都有類似表述)，是不是可以得出如下結(jié)論：平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能是否等于隨同基點(diǎn)平動(dòng)的動(dòng)能和相對(duì)基點(diǎn)相對(duì)于基點(diǎn)(即相對(duì)于鉸接于基點(diǎn)上的平動(dòng)坐標(biāo)系)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和？

下面就以上問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)探討.

1　質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的計(jì)算

如圖1所示n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，總的質(zhì)量為M，對(duì)于慣性系Oxyz作任意運(yùn)動(dòng).在任一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)量為mi的質(zhì)點(diǎn)i的速度為vi，其動(dòng)能為1/2mivi2.該質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時(shí)所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的總和，稱為該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

(1)

這是計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的基本公式.

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心為C，坐標(biāo)系Cx’y’z’為隨質(zhì)心C作平動(dòng)的參考系.對(duì)于圖1中的質(zhì)點(diǎn)i，根據(jù)速度合成定理vi=vC+vri，可得vi2=vC2+vri2+2 vC·vri，將其代入式(1)得

(2)

(3)

即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于它隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與它相對(duì)于質(zhì)心的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之和(柯尼西定理).

2　平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)能的計(jì)算

2.1經(jīng)典計(jì)算方法

對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)剛體，某瞬時(shí)其角速度為ω，則式(2)中的vri=ωri，那么剛體相對(duì)于質(zhì)心的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能Tr為

(4)

式中JC為剛體對(duì)于垂直于運(yùn)動(dòng)平面的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

根據(jù)柯尼西定理，可得到平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能為

(5)

即平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和.

當(dāng)平面運(yùn)動(dòng)剛體為瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，ω=0，由式(5)可得此時(shí)平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能為

(6)

即平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能只有剛體隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能.

當(dāng)ω≠0時(shí)，一定存在唯一的速度瞬心P，若質(zhì)心C到瞬心P的距離為d，則vC=ωd，由式(5)可得此時(shí)平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能為

(7)

式中JP為剛體對(duì)瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

2.2基于基點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分解思路動(dòng)能計(jì)算方法討論

剛體平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨同基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，那么平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能是否等于剛體隨任意基點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能和相對(duì)于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和？

(8)

從上式可以看出來(lái)，一般情況下平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能并不等于剛體隨任意基點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能和相對(duì)于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和.只有當(dāng)vA·vCA=0，平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能才等于剛體隨任意基點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能和相對(duì)于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和.

下面討論一下什么情況下會(huì)出現(xiàn)vA·vCA=0，會(huì)有以下三種情況：

1) vA=0，即當(dāng)所取基點(diǎn)為速度瞬心的情況；

2) vCA=ωrc’=0，即當(dāng)基點(diǎn)為質(zhì)心時(shí)(rc’=0)，或者為瞬時(shí)平動(dòng)的情況(此時(shí)ω=0,各點(diǎn)速度都與質(zhì)心速度相同)；

3) 基點(diǎn)的速度vA與質(zhì)心相對(duì)于基點(diǎn)的速度vCA垂直時(shí)，即基點(diǎn)的速度vA方向過(guò)質(zhì)心時(shí)：滿足這樣的點(diǎn)會(huì)落在以質(zhì)心和瞬心連線為直徑的圓上.

下面給出一個(gè)滿足第三種情況的的特例：如圖3所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中OA桿和AB桿的長(zhǎng)度均為l，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到此位置時(shí)，即OA桿和AB桿垂直瞬間，如果以A為基點(diǎn)，則基點(diǎn)的速度vA方向正好過(guò)質(zhì)心C，此瞬時(shí)速度瞬心為P，則有

(9)

假設(shè)作平面運(yùn)動(dòng)的勻質(zhì)剛桿AB的質(zhì)量為m，如果用式(5)和式(9)，可計(jì)算AB桿此瞬時(shí)的動(dòng)能(AB桿此瞬時(shí)的角速度也為ω)

(10)

如果以A為基點(diǎn)，認(rèn)為此瞬時(shí)AB桿的動(dòng)能為隨基點(diǎn)A的平動(dòng)動(dòng)能和相對(duì)于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和

(11)

可以看到兩種方法計(jì)算的動(dòng)能結(jié)果相同，所以當(dāng)基點(diǎn)的速度正好過(guò)質(zhì)心時(shí)，vA·vCA=0，平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨基點(diǎn)平動(dòng)的動(dòng)能和相對(duì)于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和.

3　結(jié)論

對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)能的計(jì)算，應(yīng)基于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能計(jì)算基本公式，根據(jù)柯尼西定理得到它的動(dòng)能等于隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能和相對(duì)于質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和，再推出瞬時(shí)平動(dòng)和瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能計(jì)算公式；不能由剛體平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨同基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，想當(dāng)然的得到如下結(jié)論：平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨同基點(diǎn)平動(dòng)的動(dòng)能和相對(duì)基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和.上述計(jì)算方法只是在特定的條件下成立.

[1]金江.理論力學(xué)[M].南京：東南大學(xué)出版社，2013.

[2]郭應(yīng)征.理論力學(xué)[M].北京：中國(guó)電力出版社，2012.

[3]王永巖.理論力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2012.

[4]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].第6版.北京：高等教育出版社，2006.

[5]郝桐生(殷祥超、巫靜波、楊靜修訂).理論力學(xué)[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006.

Discussion on Kinetic Energy Calculations of Plane Motion of Rigid Body

ZHAO Yu-cheng, YANG Wei-ming, CHEN Pei-jian

(Department of Mechanics of Mechanical & Civil Engineering School, China University of Mining & Technology, Xuzhou Jiangsu 221116, China)

The plane motion based on the rigid body can be regarded as the rotation of the instantaneous axis of the instantaneous center. Whether is it reasonable to give the calculation formula of the kinetic energy of a similar rigid body with a fixed axis rotation? The plane motion of a rigid body can be decomposed into synthetic base along with the translation and the rotation point, then, is the kinetic energy of the plane motion of a rigid body equal to amount of the kinetic energy along with the basis of translational and rotational kinetic energy and the relative points? In this paper, the above issues are analyzed and discussed in detail.

system of particles; rigid body; plane motion; kinetic energy

1673-2103(2016)02-0053-04

2015-03-15

趙玉成(1972-) ，男，山西芮城人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，研究方向: 巖石力學(xué)與工程.

O313.3

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