高中數(shù)學(xué)解題策略的思考*

☉江蘇省鹽城市第一中學(xué) 盧 敏

高中數(shù)學(xué)解題策略的思考*

☉江蘇省鹽城市第一中學(xué) 盧 敏

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)家存在的理由就是解題.因此，數(shù)學(xué)的真正組成總分就是問題和解；掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.

什么是解題？解題就是一個人對問題所持有的看法.波利亞說過：所謂解題就是將我們要解決的問題轉(zhuǎn)化為以往解決過的問題.他把解題分為四個步驟：（1）理清弄清題意；（2）擬定計劃；（3）實施計劃；（4）回顧問題.其中擬定計劃就是解題的決策，也就是解題行動的總方針.下面我就通過幾個問題談一下解題行動的策略.

一、以退為進策略

華羅庚先生曾經(jīng)指出：善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅.從簡單情況考慮，就是一種以退為進的一種解題策略.

例1 任給平面上5個點，記λ為5個點中任意兩點間的距離的最大值與最小值之比.求證：λ≥2sin54°.

分析：1.λ實質(zhì)是5個點中任意兩點間的距離之比的最大值，即λ=

2 “.λ≥2sin54°”，只要存在一對距離之比≥2sin54°就足矣.關(guān)鍵是5點的任意性使我們連圖都無法畫出.

步驟1：退——退到簡單的地方——5點共線，如圖1所示.

圖1

設(shè)A、B、C、D、E五個點共線，則任意兩點間的最長距離=|AE|，最短距離=min｛|AB|，|BC|，|CD|，|DE|｝≤因此λ≥

=4＞2sin54°.此結(jié)論并非題目要求.題中要求λ≥2sin54°，而2sin54°＜2，因此，5點中只要有三點A、B、C共線，就可得證λ≥=2＞2sin54°.

步驟2：任意三點都不共線.此時，又是一個難點.5點位置應(yīng)該怎樣？找最簡單的基本圖形——正五邊形的五個頂點，如圖2，

圖2

思考：上述問題的特征是“邊”不定，唯一定的是“角”.結(jié)論是“=”，而問題是要“≥”，怎樣放大？

步驟3：放大一個比值λ，可以放大分子，亦可以縮小分母.我們可以保持AB不動，拉長BE，如圖3，

圖3

步驟4：對任意三點都不共線的5點的分類：①若5點構(gòu)成一個三角形ABC及其內(nèi)部的兩點D、E.如圖4，此時∠ADB，∠BDC，∠CDA中最大角≥120°＞108°，問題得證.

圖4

圖5

②若5點構(gòu)成一個凸四邊形ABCD及內(nèi)部一個點E，如圖5，連接AC，則E必位于△ABC或△ACD內(nèi)，由①知，必存在一個＞108°的角，問題得證

③若5點構(gòu)成一個凸五邊形，則其最大內(nèi)角≥108°，問題得證.

以退為進策略，從最簡單情形或者最特殊的情形開始思考，發(fā)現(xiàn)遞推規(guī)律.對于一般情形成立的命題，考慮其特殊情形，一方面等于增加了一個條件，另一方面把復(fù)雜問題更加簡單，從而易于問題的解決.

二、回歸定義、概念的策略

解題貫徹于整個學(xué)科的學(xué)習和教學(xué)過程，要想解好數(shù)學(xué)題還必須學(xué)會程序化設(shè)計，要想更好地進行程序化設(shè)計，知道第一步該干什么，第二步該干什么，…，必須把那些陳述性知識的結(jié)構(gòu)，以及蘊含在其中的一些運算規(guī)律，即算律也都弄清楚才行.越是一些平時不多見的、較難的題目，越應(yīng)該回歸原有的定義、公式，包括定義和公式的一些推導(dǎo)過程，即它們的來龍去脈都要回顧一番，看能否找到解題的蛛絲馬跡，尋找突破口.

12P為橢圓在x軸的上方的定點，且滿足kPF2=-4，試求S△PF1F2.

0繁，幾乎到了你忍耐不了的地步.

圖6

若用橢圓的焦半徑公式：

|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及構(gòu)造直角三角形求出x0，進而很易得出y0：

評注：這道課本題目，如果用參考答案提示的方法，筆者曾經(jīng)作過比對，所需時間是以上介紹方法所用時間的十多倍，這足以顯現(xiàn)此法的優(yōu)越性.

喬治·波利亞（George Polya）指出：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么呢？這就是說善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且要善于解一些獨立思考、思路合理，見解獨到和有發(fā)明創(chuàng)造的題.”能對陳題新解，難題妙解，繁題簡解，大題小解.這種回歸定義順勢而為的解法才更符合學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生才樂于接受.

三、等價轉(zhuǎn)化策略

數(shù)學(xué)思維優(yōu)秀者之所以能有效的解題，無論是其推理論證方法之美妙，還是其計算方法之靈巧，都在于有意識或無意識地利用了各種轉(zhuǎn)化.這就是說：“他們往往不是對問題實行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，轉(zhuǎn)化問題的形式，從側(cè)面或反面尋找突破口，直到把它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)能夠得到解決的問題.

圖7

信息“c與a-b所成的角為120°”說明：∠ADC=120°，從而∠ODM0=60°；

將給定的題設(shè)條件逐條轉(zhuǎn)化也是解題常用的策略，上述每一個信息都進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)成一個轉(zhuǎn)化鏈，再借助于圖形，最終解決問題.

四、整體思維策略

整體思維是求解數(shù)學(xué)問題常用的一種思維方法，可以有效地避免在細小的枝葉問題上的糾纏，從而達到簡捷求解的目的.

例4 關(guān)于x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1，z2，m均是復(fù)數(shù)，且z-4z2=16+20i，設(shè)這個方程的兩個根α，β滿足|α-β|=2.求|m|的最大值和最小值.

所以（α-β）2=（α+β）2-4αβ=z-4z2-4m，

|α-β|2=|4m-（z-4z2）|=28，

這表明復(fù)數(shù)m在以A（4，5）為圓心、7為半徑的圓周上，如圖8所示.

圖8

連接OA，延長OA交⊙A于兩點B與 C，則|m|的最大值為|OB|max=|OA|+|AB|=的最小值為|OC|min=|CA|-|AO|=7-

本題運用了整體代入的思想，有效地避免求兩根的繁雜運算，根據(jù)題目條件直接建立等量關(guān)系.在求解數(shù)學(xué)問題時，如果能夠找準思維起點，也就找到了解題的佳徑，從而可以快速簡捷地解題.

五、模型辨別策略

在平時的解題過程中，常常會有一些基本圖形或基本題型，經(jīng)常將一些復(fù)雜不熟悉的題目轉(zhuǎn)化為熟悉的題型解決.

例5 已知x，y，z∈R+，且滿足求 xy+2yz+3zx的值.

分析：條件是一個三元二次方程組，按常規(guī)求解非常困難，甚至無法完成，怎么辦？觀察形式，方程①，③類似于余弦定理結(jié)構(gòu)，方程②是一個直角三角形的三邊關(guān)系.

圖9

【策略二】S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC.

則S△ABC=；而S△AOB=，化簡可得：xy+2yz+3zx=24

（限于篇幅，具體解答略）

解決問題是一個亙古常青的課題，數(shù)學(xué)家在解決問題時考慮的角度各有不同，因此對問題的解決往往會有好多種方法.本文所談的幾種策略僅是冰山一角，只要教師長期堅持以一個研究型教師的標準要求自己，提升自己的專業(yè)素養(yǎng)，必能提高學(xué)生的解題能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習境界和知識層次.

*本文為江蘇省教研室2015年度第十一期課題“基于數(shù)學(xué)學(xué)習理論的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計研究”的研究成果.