例談優(yōu)化解析幾何解題策略與方法

☉江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 唐 勇

例談優(yōu)化解析幾何解題策略與方法

☉江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 唐 勇

解析幾何綜合題常作為高考試卷的壓軸題，常常會(huì)涉及較復(fù)雜的一些計(jì)算題，綜合代數(shù)、幾何、三角等知識(shí)，運(yùn)算量大，方法與技能方面要求高，讓學(xué)生最頭痛的是計(jì)算，這就需要我們認(rèn)真分析題目，觀察已知和未知，認(rèn)真分析、觀察解答過程中的每一步以及題目要求，便可施以技巧，使問題得到簡(jiǎn)捷解答.從而達(dá)到優(yōu)化解題過程、提高思維品質(zhì)，使做題達(dá)到事半功倍之功效，下面舉例予以說明.

一、掌握?qǐng)A錐曲線基本性質(zhì)是解題的前提

要想熟練解決解析幾何綜合題，掌握其基本性質(zhì)是必要前提.例如，橢圓的第一定義：｛P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c｝，P點(diǎn)的軌跡；橢圓的第二定義：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F（c，0）的距離與到定直線：x=的距離之比為的點(diǎn)的軌跡；橢圓的焦半徑r1=a-ex，r1+r2=2a，得r2=a+ex；橢圓的一個(gè)重要結(jié)論：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），kPA·kPB=，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為等等.

（Ⅰ）求曲線W的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)F作互相垂直的直線l1，l2分別交曲線W于A，B和C，D，求四邊形ACBD面積的最小值.

圖1

（Ⅱ）如圖1，直線l，l的斜率存在12且不為0，設(shè)直線l1的方程為y=kx+

由l1⊥l2，得l2的方程y=

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=6k，x1x2=-9，

點(diǎn)評(píng)：第一小問考查到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的集合是拋物線（拋物線的定義）.第二小問考查的是對(duì)角線相互垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，弦長(zhǎng)公式，利用基本不等式求最值.通過典型例題的示范，學(xué)生做到心中有數(shù)，大多數(shù)學(xué)生能舉一反三，讓學(xué)生摸著石頭過河.

二、善于從整體思考問題是解題的關(guān)鍵

解析幾何運(yùn)算量較大，若能從整體考慮，例如經(jīng)常使用設(shè)而不求的方法，往往會(huì)取得事半功倍的效果.

解：如圖2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

圖2

得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0.

由題意知，Δ1=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-16）＞0，

即m2＜4+16k2.①

則x1+x2=

所以|x1-x2|=

由直線y=kx+m與y軸的交點(diǎn)為（0，m），

再將y=kx+m代入橢圓C，得

（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.

由題意知，Δ2=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-4）≥0，

即m2≤1+4k2.②

由①②可知，0＜t≤1.

所以，當(dāng)t=1時(shí)，S△OAB取得最大值為2

點(diǎn)評(píng)：求解解析幾何問題常用的方法是“設(shè)而不求”，該方法的關(guān)鍵是合理設(shè)置參數(shù)，從整體上抓住解題目標(biāo)，通過整體運(yùn)算、整體代換、整體換元等方法，如遇“中點(diǎn)弦問題”常用“點(diǎn)差法”，實(shí)現(xiàn)化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的.

三、優(yōu)化處理計(jì)算方法是解題的重要步驟

解析幾何題中如何優(yōu)化計(jì)算是解題的重要步驟，常用的方法有點(diǎn)差法、同解式中的類比代換，有效捕捉信息等等.

1.點(diǎn)差法

例3 已知雙曲線：x2-=1.過P（1，2）能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且P是線段AB的中點(diǎn)？

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x21-

①-②，得（x1-x2）（x1+x2）-

即（x1-x2）×2-

所求直線的方程為y-2=x-1，即x-y+1=0.

以上這題，先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再做差，求出所求直線的斜率，帶入點(diǎn)斜式直線方程，求出直線方程，根本沒有什么計(jì)算量，很簡(jiǎn)潔.

2.類比代換

面對(duì)問題，我們要認(rèn)真審題，選好解題的入手點(diǎn)，特別對(duì)于似曾相識(shí)的問題，要避免先入為主，選對(duì)解題方向，繞過非必要的運(yùn)算.

3.捕捉有效信息，避免“過分運(yùn)算”

例4 如圖3，已知A、B、C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓的中心O，且

圖3

（Ⅰ）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求橢圓的方程；

（Ⅱ）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使直線CP，CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否存在實(shí)數(shù)λ，使，請(qǐng)說明理由.

解：（Ⅰ）以橢圓中O為原點(diǎn)，兩對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，建立如圖3所示的坐標(biāo)系.于是可設(shè)橢圓的方程為，由此橢圓長(zhǎng)軸為4，于是a=2.

所以b2=，故橢圓的方程為，即x2+3y2=4.

此問題中運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)△OAC是以O(shè)A為斜邊的等腰直角三角形，進(jìn)而求得C點(diǎn)坐標(biāo)，這一點(diǎn)很關(guān)鍵.

（Ⅱ）由直線CP，CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，可知直線CP，CQ斜率存在且互為相反數(shù)，于是設(shè)直線CP的方程為y-1=k（x-1），即y=kx+1-k，則CQ的方程為y=-kx+1+k（只需將上式中的k換成-k即得），并設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）.

由韋達(dá)定理，得1+x1=-

于是x1=

，所以y1=

由于求Q點(diǎn)的坐標(biāo)與求P點(diǎn)坐標(biāo)過程完全相同，只需將-k替換P點(diǎn)坐標(biāo)中的k，就得Q點(diǎn)的坐標(biāo).

點(diǎn)評(píng)：由此可見，解題中隨時(shí)捕捉有用信息，力避“重復(fù)計(jì)算”“過分運(yùn)算”，縮短了解題的長(zhǎng)度，節(jié)約了寶貴的時(shí)間資源.

四、加強(qiáng)題型的模式辨別是優(yōu)化解題的捷徑

解析幾何綜合問題有很多共同點(diǎn)，大多都是由一些“基本題型”構(gòu)成.深入剖析這些“基本題型”，掌握解決這類問題的一般方法，進(jìn)而視為你解決其他新問題的工具，這是理解和掌握解析幾何的一種有效方法.解析幾何題的“基本模型”一般包括：弦長(zhǎng)、面積最值問題；定點(diǎn)、定值問題，對(duì)稱問題，取值范圍問題等等，下面僅僅闡述關(guān)于“弦長(zhǎng)、面積”的基本模型.

圖4

求一個(gè)量的最大值，首先考慮這個(gè)量的變化與哪個(gè)變量有關(guān)，這是函數(shù)思想的應(yīng)用.本題中△ABC面積的變化隨直線AB的斜率變化而變化，因此選擇斜率為變量表示面積.一般方法：S△ABC=，d是點(diǎn)C而且到直線AB的距離.分析本題直線AB過左焦點(diǎn)F（-1，0）且|CF|=1，所以S△ABC=S△ACF+

因此可設(shè)直線AB方程為x=my-1，引入?yún)⒆兞縨，預(yù)測(cè)得到S=（fm），應(yīng)用代數(shù)方法求最值，而且這種設(shè)法不用對(duì)斜率k是否存在進(jìn)行討論）.與橢圓方程聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程（3m2+4）y2-6my-9=0，可求得

以本題為基本模型，你可變換得到很多題目.

變式3 上題中記△ACD與△BCD的面積分別為S1和S2，求|S1-S2|的最大值.

點(diǎn)評(píng)：解決解析幾何題可以先分析題目規(guī)劃解題思路，找到相應(yīng)的基本模型.因此，分析基本題型，內(nèi)化成分析解決問題的工具，不僅在解析幾何中應(yīng)用，也是解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中難點(diǎn)的一種有效方法.

通過以上舉例我們可以看出掌握概念，抓住問題的核心，透視問題的實(shí)質(zhì)，優(yōu)化解題過程，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和簡(jiǎn)單美，使解題者進(jìn)一步認(rèn)知數(shù)學(xué)思想方法，使數(shù)學(xué)解題巧設(shè)巧解、以簡(jiǎn)馭繁是大有裨益的.