從折疊與展開視角看立體幾何問題的解答

☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 黃文韜

從折疊與展開視角看立體幾何問題的解答

☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 黃文韜

折疊與展開問題是立體幾何的兩個重要問題，這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn).處理這類題型的關(guān)鍵是抓住兩圖的特征關(guān)系.平面圖形通過折疊變成立體圖形；立體圖形通過展開變成平面圖形.這類問題的解決主要是弄清它們之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系.要善于將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

例1 （2016年浙江卷）如圖1，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是_________.

圖1

常規(guī)解答：△ABC中，因為AB=BC=2，∠ABC=120°，所以∠BAD=∠BCA=30°.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=22+22-2×2×2cos120°=12，所以AC=2

在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2-2AD· ABcosA=x2+22-2x·2cos30°=x2-2x +4.故BD=

在△PBD中，PD=AD=x，PB=BA=2.

設(shè)PO與平面ABC所成角為θ，則點P到平面ABC的距離h=dsinθ.

因為1≤t≤2，所以V′（t）＜0，所以函數(shù)V（t）在區(qū)間［1，2］上單調(diào)遞減，故V（t）≤V（1）=

由以上可知，函數(shù)V（t）在（1，2］上單調(diào)遞減，故

空間問題平面化是處理立體幾何問題的有效策略，對于某些特殊的幾何體可將其視為由平面幾何圖形通過旋轉(zhuǎn)或翻折得到的，解題中即可利用相應(yīng)平面幾何圖形的性質(zhì)求解，可化繁為簡.

優(yōu)化解答：根據(jù)題目特征，本題可以理解為△PBD是由△ABD繞著BD旋轉(zhuǎn)得到的，對于每段固定的AD，底面△BCD的面積為定值，要使體積最大，則△PBD⊥面ABC，此時高最大，體積也最大.具體解析過程如下：

圖2

圖3

一、借助菱形的翻折變換

例2 如圖4，四面體ABCD的一條棱長為x，其余棱長均為1，記四面體ABCD的體積為F（x），則函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是_________；最大值為__________.

解析：根據(jù)四面體的結(jié)構(gòu)特點，四面體ABCD可視為∠CAD=60°的菱形ABCD，沿對角線CD折疊而成.

圖4

隨著x值的增大，四面體ABCD的體積逐漸增大，并且當(dāng)面ACD⊥面BCD時，體積達(dá)到最大值，此時易求得，故

評注：本題求解中根據(jù)題目特征，將已知幾何體平面化，再借助平面圖形即菱形的翻折變換，得到已知幾何體，再根據(jù)翻折過程中相關(guān)量的變化趨勢，實現(xiàn)了對問題的簡潔求解.

二、借助正方形翻折變換

解析：根據(jù)題目特征，已知四面體相當(dāng)于將邊長為1的正方形ABCD沿著對角線BD折疊而成.如圖5所示，則長為a的棱即為AC，而0＜AC＜.故正確選項為A.

圖5

評注：本題的求解中將空間問題平面化，尋找特殊的平面幾何圖形，即正方形，通過正方形的翻折變換，得到滿足條件的幾何體.再借助正方形相關(guān)量的變化范圍得到所求幾何體相關(guān)量的范圍.

三、以翻折變換為條件

例4 （2015年陜西卷理）如圖6所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖7所示.

圖6

圖7

（1）證明：CD⊥平面A1OC；

（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.

分析：這是一個將平面圖形通過翻折得到空間圖形，進而論證空間圖形形成過程中的位置關(guān)系，計算空間角等問題.我們在解決此題時，一定要抓住圖形在翻折過程中，保持不變的關(guān)系和不變的量.因為△ABE沿BE折起，這個過程中，不變的是△ABE，四邊形BCDE.在圖6中，我們易于發(fā)現(xiàn)四邊形ABCE是正方形，AC⊥BE，在圖7中有BE⊥AO，BE⊥CO，可得BE⊥平面A1OC，再由CD∥BE，第（1）問得證，對于第（2）問，我們可能建立直角坐標(biāo)系，用向量的方法通過代數(shù)運算求解.

解：（1）在圖6中，因為AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，∠BAD=，所以BE⊥AC，BE∥CD.即在圖7中，BE⊥OA1，BE⊥OC.又OA1∩OC=O，OA1?平面A1OC，OC?平面A1OC，從而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.

（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，AO?平面A1BE，平面A1BE∩平面BCDE=BE，所以A1O⊥平面BCDE.因為OC?平面BCDE，所以A1O⊥OC.

又由（1）知，BE⊥A1O，BE⊥OC，所以，以O(shè)為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖8所示.

因為A1B=A1E=BC=ED=1，BC∥ED，所以

圖8

設(shè)平面A1BC的法向量n1=（x1，y1，z1），平面A1CD的法向量n2=（x2，y2， z2），平面A1BC與平面A1CD的夾角為θ，則得，取=（1，1，1）.

從而 θ=|cos〈n1，n2〉|=，即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為

評注：折疊問題是?？汲Ｐ碌囊活悊栴}.本題以翻折變換為條件，充分考查考生的空間想像能力、推理論證能力與運算求解能力，以及向量的方法的運用等.若本題第（2）問改為求二面角B-A1C-D的余弦值，則需判斷二面角B-A1C-D是否為銳角.