以不變的“本質(zhì)”應(yīng)對萬變的“形式”
——記一道高考題的解題教學(xué)與思考

☉安徽省和縣第三中學(xué) 范世祥

以不變的“本質(zhì)”應(yīng)對萬變的“形式”
——記一道高考題的解題教學(xué)與思考

☉安徽省和縣第三中學(xué) 范世祥

題目千千萬，解法萬萬千；年年都考試，今年又不同.在解答看似陌生的“新題”時，要相信一個基本的道理：千變?nèi)f變，本質(zhì)不變.很多高考試題只是對以前的問題稍加“化妝”，以一個嶄新的面目出現(xiàn)在我們面前，如果能揭開題目的“神秘面紗”就可以看穿題目的“真面目”，使問題獲得解決.

2016年高考剛結(jié)束，趁著高二學(xué)生對最新高考試題的熱情期盼，筆者就為我校高二學(xué)生開設(shè)了幾節(jié)“高考試題探究課”.期間筆者努力做到三個精心：精心設(shè)計評講方案、精心組織評講內(nèi)容、精心實施課堂教學(xué).這樣的課上完之后，學(xué)生總是發(fā)出感慨：“原來高考題是這樣出的啊”，“高考題也不過如此，我也會解啊”，……的確，高考題也并非那么神秘，學(xué)生堅定了信念，各個摩拳擦掌，迎接高三一輪復(fù)習(xí)的到來.

下面，筆者就以一道高考解析幾何大題的講評設(shè)計談?wù)勛约旱狞c滴體會，不當(dāng)之處，敬請批評指正.

一、問題呈現(xiàn)

題目 設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C、D兩點，過點B作AC的平行線交AD于點E.

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M、N兩點，過點B且與l垂直的直線與圓A交于P、Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

這是2016年高考數(shù)學(xué)全國卷I理科第20題，解答結(jié)果顯示第（Ⅰ）問正確率比較高，但第（Ⅱ）問還是讓很多學(xué)生“望題興嘆”，“進(jìn)不去和出不來”，且做且嘆息！下面就本題的背景和立意作簡要的說明.

解析幾何主要研究兩個方面的內(nèi)容：一方面是從曲線到它的軌跡方程，另一方面是從方程到曲線.此題的第（Ⅰ）問考查了動點軌跡方程的求法，利用相似知識容易得到|EA|+|EB|是定值，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義可求出其軌跡方程，這是我們求軌跡方程的一種常見且重要的方法——定義法.本題命題者為降低難度，要求先證明|EA|+|EB|是定值，相當(dāng)于對解題進(jìn)行提示.第（Ⅱ）問考查了方程研究曲線及其性質(zhì).從知識層面看，此題的考點覆蓋了解析幾何的核心知識點，包括直線方程的選取，直線、圓、橢圓位置關(guān)系的處理方法，一元二次方程判別式，韋達(dá)定理，點到直線的距離，弦長公式，四邊形面積公式，求函數(shù)最值等；從思想方法層面看，本題考查了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想；從能力要求層面看，需要學(xué)生熟悉通性通法和基本公式，具備較高的轉(zhuǎn)化問題的邏輯思維能力，以及處理復(fù)雜表達(dá)式的運算求解能力，還要有穩(wěn)定的心理素質(zhì).

二、教學(xué)設(shè)計

第（Ⅱ）問對沒有經(jīng)歷過高三復(fù)習(xí)的高二學(xué)生來說肯定有難度，該如何更好地講評此題？首先肯定不能“就題論題”，為了給學(xué)生預(yù)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，筆者決定順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的需求，有針對性地進(jìn)行如下逐次深入的問題情境教學(xué).給足學(xué)生思考交流的時間，讓其充分參與，逐步揭開難題的神秘面紗.

（一）拿下制高點

環(huán)節(jié)一：設(shè)計意圖

解答綜合題時，“卡殼”是常有的現(xiàn)象.若想突破“卡殼”走完全程，就需要引導(dǎo)學(xué)生回歸到已經(jīng)解決過的問題.在圓錐曲線解答題中，往往最后一步就是要計算函數(shù)的值域，為此先設(shè)計兩道下面這樣的試題來幫助學(xué)生拿下制高點.

環(huán)節(jié)二：問題探究

自變量分別選取θ及k，且給定了自變量的范圍，第（1）題根據(jù)0≤cos2θ＜1即可得函數(shù)值域為［12，8），第（2）題屬分式函數(shù)的值域問題，因為分子分母同為2次，采用分離常數(shù)法即可.

環(huán)節(jié)三：教法建議

因為這些問題在高一、高二教學(xué)中有所涉及，這里采用“學(xué)生先行、交流在中、歸納在后”，給足學(xué)生思考的時間，給學(xué)生說出自己想法的機會.學(xué)生自我反思要注意自變量的范圍等.根據(jù)學(xué)生掌握的程度及課堂中的對話情況，給出下面兩個變式類題.

環(huán)節(jié)四：類題再練

（4）（2012年山東卷）求函數(shù)y=（1+k2）（4k2+2）+］的最小值.

趁熱打鐵，加強刺激.經(jīng)過前面兩個小題訓(xùn)練后，有的學(xué)生感覺意猶未盡，有的學(xué)生感覺做得不夠好，希望老師再出類似的題目，給他一次證明自己的機會.換元、消元、分離、求導(dǎo)等都是學(xué)生在解決問題中提煉出的關(guān)鍵詞.

（二）第一粒紐扣

環(huán)節(jié)一：設(shè)計意圖

在解決解析幾何解答題時，往往第一步很重要，即從哪里開始下手設(shè)元是關(guān)鍵，直接影響到解答是否簡潔與能否成功，相當(dāng)于第一粒紐扣，一旦未知量設(shè)好了，后面的解答都順利成章了.

過橢圓C：+=1的右焦點F作直線交橢圓C于A、B兩點，求弦長|AB|.

這是圓錐曲線中的一道常規(guī)問題，求直線與橢圓的相交弦長，而且這條弦具有一定的特殊性，直線經(jīng)過焦點，所以我們稱之為焦點弦.擬定計劃時，學(xué)生給出了不同的設(shè)元，因為直線過右焦點，未知的是直線的傾斜程度，自然聯(lián)想設(shè)斜率，有的學(xué)生是設(shè)直線的傾斜角，這兩個量都是刻畫直線的傾斜程度，自然都是沒有問題，接下來分組進(jìn)行實施計劃.

對于大部分學(xué)生來說，設(shè)斜率k的相對多些，這與教材中的做法也是一致的，當(dāng)然，有的學(xué)生為了避免討論斜率的存在與否，可將直線設(shè)成：x=my+1，其本質(zhì)和做法是一致的.用傾斜角θ來表示弦長也有著獨特的優(yōu)勢，尤其對于焦點弦更為方便簡潔.

環(huán)節(jié)三：教法建議

關(guān)于焦點弦長的計算問題，學(xué)生已有一些解題經(jīng)驗，本節(jié)課借此機會讓學(xué)生探究和梳理.先讓學(xué)生選擇方法自主嘗試，再將選擇同一方法的學(xué)生分組交流探討，最后選擇各組的學(xué)生代表展示交流，并比較優(yōu)劣，通過該環(huán)節(jié)使學(xué)生實現(xiàn)“學(xué)會選擇、學(xué)會調(diào)控、學(xué)會借鑒、學(xué)會欣賞”.

環(huán)節(jié)四：探究深入

針對部分學(xué)生用直線的傾斜角θ來表示焦點弦長，深入探究其解法，為了使得結(jié)論更具一般性，提出下面問題：過橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點F且傾斜角為θ的直線交橢圓C于A、B兩點，請用θ來表示弦長|AB|.

學(xué)生自主探究，然后進(jìn)行解法匯報總結(jié)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要有以下幾種解法.思路1：利用橢圓第二定義，轉(zhuǎn)化到直角三角形中，可以表示出焦半徑，再求和得到焦點弦；思路2：在焦點三角形中，結(jié)合橢圓定義使用余弦定理可求出焦半徑，同理可得另外一條焦半徑，殊途同歸；思路3：過點F（c，0），傾斜角為θ的直線參數(shù)方程為（t為參數(shù)），然后代入橢圓方程得到關(guān)于t的方程，借助參數(shù)t的幾何意義可知|AB|=|t1-t2|，進(jìn)而得到同樣的結(jié)果；思路4：利用橢圓的極坐標(biāo)方程，以右焦點F為極點，以x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓 的 極 坐 標(biāo) 方 程 為（e為橢圓的離心率，p為橢圓的焦準(zhǔn)距，即p=），設(shè)A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+π），代入橢圓極坐標(biāo)方程可得，|AB|=.以上四種解法既有橢圓第一定義，又有第二定義，既有參數(shù)方程，又有極坐標(biāo)方程，解法有簡有繁，學(xué)生在交流對比中思維得到了提升.

說到這里，學(xué)生不免要推廣到雙曲線及拋物線中的焦點弦長也有類似的表達(dá)式，留作課后讓學(xué)生自主探究.

環(huán)節(jié)五：類題再練

C：+=1的右焦點F作直線交橢圓C于A、B兩點，已知|AB|=8，試求直線AB的方程.

這道競賽題其實就是前面常規(guī)題的逆向考查，給定焦點弦長，反過來要求直線方程.方法再運用，促進(jìn)理解，加強刺激.

類題2過點F（1，0）且傾斜角為θ的直線與圓C：（x+1）2+y2=16交于A、B兩點，求弦長|AB|.

直線與圓的相交弦長計算方法無需使用橢圓的那種方法，直接使用公式|AB|=2（r是圓的半徑，d為圓心到直線的距離）.同樣在求弦長時，方法有區(qū)別，在比較中學(xué)會選擇，學(xué)會借鑒.

（三）原來是你

環(huán)節(jié)一：設(shè)計意圖

有了前期的焦點弦長的計算方法，接下來的工作就是以焦點弦為背景，組裝成一道道高考綜合題.讓學(xué)生識破解答題的命制思路，力爭讓學(xué)生懂一題、會一類.環(huán)節(jié)二：題組探究

=1的左、右焦點分別為F、F，過點12F1的直線交橢圓C于A、B兩點，過點F2的直線交橢圓C于M、N兩點，且AB⊥MN，求四邊形ABMN面積的取值范圍.

（2）（2013年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科第20題）過橢圓M：

（3）直線l過點F（21，0）且與x軸不重合，l交橢圓C：+

1 于M、N兩點，過點B且與l垂直的直線與圓F1：（x+1）2+y2=16交于P、Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

這三道試題均以橢圓的焦點弦為背景，考查對角線相互垂直的四邊形的面積最值問題.首先我們知道對角線相互垂直的四邊形的面積就是兩條對角線長的乘積的一半，故將問題轉(zhuǎn)化為求這兩條弦長.第（1）題兩條對角線都是橢圓的焦點弦，第（2）題一條是確定的焦點弦，另外一條并非焦點弦，第（3）題一條是焦點弦，另一條是直線與圓的相交弦.

環(huán)節(jié)三：教法建議

由學(xué)生先討論交流，教師再引導(dǎo)總結(jié).關(guān)注兩個方面：求弦長時，學(xué)生調(diào)用了哪一個公式（是設(shè)斜率還是設(shè)傾斜角）；求最值時，又調(diào)用了哪些方法，處理過程的繁與簡，選擇方法的笨與拙，引導(dǎo)學(xué)生開闊視野，比較優(yōu)劣，領(lǐng)悟真諦.

環(huán)節(jié)四：類題再練

變式題 （2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第21題）已知橢圓C：+y2=1，過點P（0，1）作互相垂直的兩條直線l1、l2，其中l(wèi)1交圓O：x2+y2=4于A、B兩點，l2交橢圓C于另一點D.求三角形ABD面積取最大值時直線l1的方程.

解析：由題意知直線AB的斜率存在，令其為k，則直線AB的方程為y=kx-1，則直線PD的方程為y=-x-1，解

形式改變了，雖然已經(jīng)不是過焦點的弦，但是方法本質(zhì)不變，關(guān)鍵還是如何求出這兩條弦長（AB與PD），然后建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

變式訓(xùn)練是中國基礎(chǔ)教育的特色和經(jīng)驗，合理地改變條件和命題的求解目標(biāo)，有利于提升學(xué)生全面把握問題核心的能力，多角度看待所求解的問題，有利于思維品質(zhì)的提升，這就需要教師平時講題之前需要精選好題，深入剖析，合理變式，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生動靈活的課堂氛圍，而不是教師的滿堂灌、一言堂.此設(shè)計僅供參考，歡迎提出寶貴意見.

三、教學(xué)思考

1.一個中心——基于學(xué)生立場

一切學(xué)習(xí)本質(zhì)上是自我學(xué)習(xí).教學(xué)要基于學(xué)生，同樣一道題目，不同學(xué)校、不同年級，講解時都是有區(qū)別的，因為學(xué)習(xí)的內(nèi)容不同，認(rèn)知理解不同，所以有螺旋式上升之說.再說，教師的資源是有限的，而學(xué)生自主性是無限的.習(xí)題講評課不能單純地將正確解法灌輸給學(xué)生，而是要充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，從解題思維起點入手，對題目相關(guān)知識和方法進(jìn)行解剖、提煉，引導(dǎo)學(xué)生探尋解題途徑，力爭讓學(xué)生懂一題、會一類.

2.兩個基本點——慢、自然

課堂是一個充滿變數(shù)的場域，常有不可預(yù)知的情境出現(xiàn).倘若教師只顧完成預(yù)定的教案而不顧學(xué)情一味趕進(jìn)度，勢必導(dǎo)致教師唱“獨角戲”，學(xué)生成了課堂上的“看客”，抑或亦步亦趨地“追”著教師的思維.其實，課堂是師生生命活動的場所、情感交匯的舞臺、思維碰撞的地方.教師應(yīng)秉持一種“慢”的心境，步入課堂，時刻關(guān)注學(xué)生的表現(xiàn)，洞察其細(xì)微之舉.學(xué)生質(zhì)疑時，我們不妨放慢腳步傾聽，甚至引導(dǎo)其展開辯論，就會聆聽花開的聲音；學(xué)生皺眉時，不妨俯下身子，親切詢問一聲，也許會解開其心中的糾結(jié)；學(xué)生心不在焉，心神不寧，甚至伏桌而眠時，不妨靠近一點，細(xì)語問候兩句，及時調(diào)整教學(xué)策略，重新點燃學(xué)習(xí)興趣.一句話，有限的課堂，需要我們放慢匆匆的步履，密切關(guān)注學(xué)生的細(xì)微舉動，讀懂一個眼神，一絲微笑，知其心，明其心，方能導(dǎo)其行.

世間萬事萬物，自然就是最美的，數(shù)學(xué)解題亦是如此，大道至簡，師法自然.“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的”，用最簡單的方法說明最深刻的道理，才是數(shù)學(xué)的精髓.正如數(shù)學(xué)家加德納所說：“數(shù)學(xué)的真諦在于不斷尋求越來越簡單的方法證明定理和數(shù)學(xué)問題.”值得指出的是，這里所謂的“簡單”，并不是指什么特殊的技巧和書寫過程的簡潔，而是解決這個問題的思維過程是自然的、簡單的，所用的知識是基礎(chǔ)的，讓解題思路來得更自然一些.解題只依賴自然與合理，順其自然的思路，才是學(xué)得會、用得上的好方法.

3.三個關(guān)鍵詞——對話、生成、思想

教重要的在于聽，學(xué)重要的在于講.教學(xué)是對話而不是獨白，解題過程中教師通過恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問和追問與學(xué)生進(jìn)行對話，尤其在擬定計劃和解后反思這兩個解題環(huán)節(jié)，通過對話暴露學(xué)生的思維過程，有助于教師稚化自己的思維，與學(xué)生實現(xiàn)同頻共振.誠然，教學(xué)可以是顯性的對話，也可以是緘默的對話，課堂有熱鬧的互動交流，也要有安靜深度的思考.

生成的東西才是真正的擁有，生成的東西才會永久.重視知識的生成過程，注意對問題本質(zhì)的探究，讓學(xué)生親自經(jīng)歷知識的生成過程.面對多元的基礎(chǔ)知識及其相互聯(lián)系，靠死記硬背肯定不行，平時的教學(xué)中，教師要重視知識的發(fā)生發(fā)展過程，幫助學(xué)生建立和領(lǐng)會知識體系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生領(lǐng)略和體會主干知識的常見交匯處.同時，“萬變不離其宗”，基礎(chǔ)知識是支撐任何一道題目的根本，所以教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生對知識和問題本質(zhì)進(jìn)行研究的習(xí)慣.比如：求動點軌跡方程的方法，圓錐曲線的焦點弦長度的計算等.

教學(xué)要給學(xué)生以思想的啟迪，深度的課堂一定是有思想的.能力訓(xùn)練的同時一定要注重學(xué)生的自我反思和自我感悟，其實，學(xué)生解題能力的提高是在學(xué)習(xí)過程中通過不斷地分析問題、轉(zhuǎn)化分解問題，通過不斷地聽懂、反思、感悟、領(lǐng)會、內(nèi)化、遷移和運用達(dá)成的.所以教學(xué)中，教師要從道與術(shù)兩個層面引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷困惑、反思、理解、內(nèi)化的思維過程，只有學(xué)生用心去悟、去品，才能體味其中的精髓，達(dá)到“讀書百遍，其義自現(xiàn)”的境界，才能達(dá)到以不變應(yīng)萬變的目的，這個領(lǐng)悟的過程正是數(shù)學(xué)思維能力提升的過程.

四、結(jié)束語

進(jìn)入高三復(fù)習(xí)以后，教師應(yīng)適當(dāng)安排時間解決一些綜合問題.通過這些問題的解決，把零散的知識點或知識片組合成知識鏈、方法鏈、思想鏈，建立完善的知識方法體系，以提高學(xué)生的解題能力.正如波利亞說過：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一名解題者的重要資本.”所以教師應(yīng)該讓學(xué)生明確解題本身不只是尋求其解，還需以解題為手段，去掌握知識和運用知識.教師在習(xí)題講評課的設(shè)計和實施中要突出學(xué)生的主體性，引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中自主矯正、聯(lián)系、拓展與創(chuàng)新，以不變的“本質(zhì)”應(yīng)對萬變的“形式”，做到以“一”當(dāng)“十”.

1.波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

2.程武軍，薛恒.一道數(shù)學(xué)競賽題引發(fā)的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（12）.

3.范世祥.基于“問題串”的探究式習(xí)題設(shè)計——以2015年安徽卷理科壓軸題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（5）.