“庖丁解牛”談教學(xué)

☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)平望中學(xué) 吳建琴

“庖丁解?！闭劷虒W(xué)

☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)平望中學(xué) 吳建琴

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化、無(wú)窮無(wú)盡，但細(xì)想一下數(shù)學(xué)成績(jī)好壞的本質(zhì)不正是能否解決問(wèn)題嗎？這讓筆者想起了美國(guó)著名數(shù)學(xué)家波利亞的一句名言：“數(shù)學(xué)的最核心部分就是問(wèn)題，它就如人體的心臟一般重要”，“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？那就是善于解題.”學(xué)生的學(xué)習(xí)技能并沒(méi)有很大的提高，邏輯推理分析思維能力及幾何中的推理論證能力下降，解題技巧大大變?nèi)?，這些問(wèn)題都是從解題中來(lái)，那么就應(yīng)該想辦法更好地應(yīng)用到解題中去，使得我們的學(xué)生解題時(shí)得心應(yīng)手，做題時(shí)處之泰然、逆轉(zhuǎn)厭學(xué)心理，創(chuàng)造出從成功到成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn).

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要核心，學(xué)好數(shù)學(xué)就意味著解好數(shù)學(xué)問(wèn)題.無(wú)可否認(rèn)，解題能力標(biāo)志著學(xué)生的數(shù)學(xué)水平高低的一個(gè)很重要因素.但是如何去解好數(shù)學(xué)問(wèn)題？如何理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)？如何站在系統(tǒng)的高度認(rèn)識(shí)問(wèn)題反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)呢？筆者認(rèn)為能否提高數(shù)學(xué)能力，與學(xué)習(xí)中是否清晰地理清上述關(guān)系、認(rèn)知問(wèn)題的循序漸進(jìn)有很直接的關(guān)系.當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是以問(wèn)題的解決為重心的應(yīng)試教學(xué)中，學(xué)生應(yīng)該積極更新學(xué)習(xí)觀念、改進(jìn)學(xué)習(xí)法、創(chuàng)新學(xué)習(xí)方式、努力實(shí)踐、提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力.

一、知識(shí)理解中的“庖丁解?！?/h2>

數(shù)學(xué)知識(shí)的理解是課堂教學(xué)的關(guān)鍵，很多中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)隨著難度的深入，無(wú)法形成一步到位的理解，這就需要教師在教學(xué)中加強(qiáng)課堂知識(shí)如何用非形式化手段進(jìn)行演繹的本領(lǐng)和能力.筆者以大家熟知的函數(shù)概念為例，這是上百年才形成的數(shù)學(xué)抽象概念，教師如何在短短的四十五分鐘之內(nèi)讓學(xué)生做淺顯的了解呢？以往傳統(tǒng)的做法是將函數(shù)概念首先簡(jiǎn)單介紹一下，然后用特殊的例題介紹，然后對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行解讀，這樣的教學(xué)一直堅(jiān)持了很多年.但是我們也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的本質(zhì)依舊沒(méi)能完全理解和掌握，比如在解決很多挖掘概念問(wèn)題的時(shí)候，其并沒(méi)有理解函數(shù)概念，說(shuō)明我們的教學(xué)指向性依舊很有問(wèn)題.來(lái)看下面的問(wèn)題：存在函數(shù)滿足，對(duì)任意x∈R都有______________.

這是筆者給學(xué)生做的函數(shù)本質(zhì)挖掘題，但是幾乎沒(méi)有學(xué)生可以看透問(wèn)題背后的本質(zhì)：函數(shù)是一種一對(duì)一或多對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，只要取x=0和x=-4就能驗(yàn)證（1），其余問(wèn)題類似可以驗(yàn)證，得（1）是正確的選項(xiàng).這也凸顯了教學(xué)中學(xué)生并未理解知識(shí).如何來(lái)實(shí)施函數(shù)概念教學(xué)呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)該庖丁解牛的方式分為三個(gè)層次來(lái)教學(xué)：

案例1函數(shù)概念教學(xué)的庖丁解牛.

層次1：用生活實(shí)例引入教學(xué)，筆者是這樣引入介紹的：黃豆是加工任何豆制品的原料，通過(guò)不同的材料加工機(jī)，我們發(fā)現(xiàn)黃豆被加工成各種生成品，比如豆腐、豆腐花、千張結(jié)、腐竹等等一系列產(chǎn)品.請(qǐng)同學(xué)們思考一下，這與我們今天要講的函數(shù)有什么類似嗎？（目的：讓學(xué)生明白，函數(shù)中自變量x相當(dāng)于是情境中的黃豆，使用不同加工機(jī)相當(dāng)于每一個(gè)不同函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，可以得到不同的函數(shù)值，這是非形式化手段對(duì)形式化概念較好的使用體現(xiàn)）

層次2：給出一系列函數(shù)概念對(duì)應(yīng)圖形（圖略），對(duì)比加深概念的理解和認(rèn)知.這里的圖形可以是集合形態(tài)的、函數(shù)圖像形態(tài)的等等，主要目的是掌握函數(shù)所表示的兩種特殊的對(duì)應(yīng)：一對(duì)一和多對(duì)一.

層次3：給出具備函數(shù)概念特征的問(wèn)題，進(jìn)一步加深函數(shù)的概念.首先給出文中問(wèn)題1，請(qǐng)學(xué)生從函數(shù)是特殊的對(duì)應(yīng)的角度加深對(duì)函數(shù)概念的理解，其次是研究一些簡(jiǎn)單的抽象函數(shù)，看學(xué)生是否對(duì)于函數(shù)概念以及相關(guān)的三要素有深刻的認(rèn)知，將函數(shù)概念分步教學(xué)，層層深入、循序漸進(jìn)、螺旋式上升，從特殊形態(tài)到一般形態(tài)，從而達(dá)到抽象認(rèn)知的層面.總之，對(duì)于抽象性的概念采用庖丁解牛式的分解教學(xué)，有助于學(xué)生對(duì)新知從里到外、逐步理解，使其對(duì)知識(shí)的掌握程度有了長(zhǎng)足的進(jìn)步.

二、解題教學(xué)中的“庖丁解?！?/h2>

知識(shí)的理解是問(wèn)題解決的前提，但是僅僅有知識(shí)理解還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，學(xué)生對(duì)于知識(shí)最終的表象依舊是從數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中體現(xiàn)出來(lái)，因此如何在解題教學(xué)中掌控才是最關(guān)鍵的.我們知道，單一的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用問(wèn)題往往只出現(xiàn)在高一、高二新知教學(xué)階段，這種孤立的、不連續(xù)的知識(shí)使用對(duì)于學(xué)生而言往往是輕松的，隨著教學(xué)難度的加深和知識(shí)綜合性運(yùn)用程度的提升，數(shù)學(xué)問(wèn)題變得愈來(lái)愈復(fù)雜，知識(shí)運(yùn)用的多重性也表露出來(lái)，此時(shí)如何在解題教學(xué)中更上一層樓成為教師教學(xué)的關(guān)鍵.筆者以高三復(fù)習(xí)教學(xué)《函數(shù)的奇偶性》為例，層層深入地給出復(fù)習(xí)教學(xué)中對(duì)于奇偶性函數(shù)判斷的設(shè)計(jì)：

層次1：①f（x）=2x2+1，x∈R；②f（x）=2x2+1，x∈［-2，2］；③f（x）=2x2+1，x∈［-2，2）；④f（x）=2x2+1，x∈（0，+∞）.

說(shuō)明：概念層面的回顧，定義域能否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷的第一準(zhǔn)則.

層次2：①（fx）=0，x∈［-6，-2］∪［2，6］；②f（x）=|x-2|+|x+2|；③（fx）=|x-2|-|x+2|；④（fx）=lg（+x）.

說(shuō)明：對(duì)于定義域有意義的前提下，鞏固如何判斷奇偶函數(shù)的主要方式方法.

層次3：①f（x）=g（4+x）+g（4-x）（x∈R）；

說(shuō)明：抽象函數(shù)和分段函數(shù)的奇偶性如何處理，是奇偶性復(fù)習(xí)教學(xué)的難點(diǎn)，如何解決這一內(nèi)容成為奇偶性復(fù)習(xí)教學(xué)的關(guān)鍵.對(duì)于層次3，首先先驗(yàn)證函數(shù)定義域的對(duì)稱性，再考察（f-x）是否等于（fx）或-（fx）.

①它具有對(duì)稱性，因?yàn)椋╢-x）=g（4-x）+g（4+x）=（fx），所以（fx）是偶函數(shù)，不是奇函數(shù).

綜上可知，在（-∞，0）∪（0，+∞），g（x）是奇函數(shù).

三、問(wèn)題反思中的“庖丁解?！?/h2>

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只理解知識(shí)、只學(xué)會(huì)做題，還需要學(xué)會(huì)反思.反思才是教學(xué)最啟發(fā)學(xué)生思維、最觸及學(xué)生心靈的教學(xué).筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)問(wèn)題還需在反思環(huán)節(jié)做一些庖丁解牛.一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考僅限于“這題我做對(duì)了沒(méi)有？”“為什么錯(cuò)了？”“這個(gè)知識(shí)的使用是否不熟練？”“下次要記??！”等等非常淺顯的表面思考.教師教學(xué)正是在此基礎(chǔ)上的挖掘，要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到為什么錯(cuò)？這還不夠，還需要引導(dǎo)學(xué)生反思為什么考這樣的問(wèn)題？基于什么目的？這一錯(cuò)誤的背后往往還有哪些常見(jiàn)的考法？鼓勵(lì)其不斷地積累總結(jié)，才能有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷進(jìn)步.

案例2設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，集合A=｛x|f（x）= x｝，且f（x）在區(qū)間［-2，2］上的最大值與最小值分別為fmax和fmin.若A=｛1｝，且a≥1，則min（fmax-fmin）的值__________.

本題作為測(cè)試中的稍難題，有很多學(xué)生不理解問(wèn)題的含義，根本無(wú)從下手.問(wèn)題的表述較為抽象，學(xué)生也不能理解和接受，因此筆者認(rèn)為這樣的問(wèn)題值得教師思考和引導(dǎo)學(xué)生做庖丁解牛：

分析：本題求最值的前提條件是找出二次函數(shù)的三個(gè)系數(shù)間的關(guān)系.深入挖掘函數(shù)零點(diǎn)的實(shí)質(zhì)：“方程f（x）= 0有實(shí)根?函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)”.故二次函數(shù)f（x）-x=a（x-1）2，利用兩個(gè)函數(shù)相等對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可得到a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而討論函數(shù)f（x）的最值，這是反思的第一層次，其次是抽象符號(hào)語(yǔ)言的認(rèn)識(shí)，min（fmax-fmin）所表達(dá)的含義是函數(shù)f（x）最大值與最小值用a表示出來(lái)，進(jìn)而求解以a為自變量有關(guān)的最小值，這是反思問(wèn)題抽象性表述的第二層次.

反思類題（2）：已知函數(shù)（fx）=2x2+bx+c（b，c∈R）的定義域是［0，2］，記|（fx）|的最大值為M，則M的最小值是__________（.答案：1，解決過(guò)程同上）

反思類題（3）：已知函數(shù)（fx）=-x2+2bx+c，設(shè)函數(shù)g（x）=|（fx）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值為M.若M≥k對(duì)任意的b，c恒成立，試求出k的最大值（.答案：，解決過(guò)程同上）

反思類題（4）：已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的零點(diǎn)為x1，x2（x1＜x2），函數(shù)f（x）的最小值為y0，且y0∈［x1，x2），則函數(shù)y=f（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是____________.

分析：函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），則可利用二次函數(shù)f（x）的零點(diǎn)式將其轉(zhuǎn)化為f（x）=a（x-x1）（x-x2），（a＞0），要求y=f（f（x））=a（f（x）-x1）（f（x）-x2）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，實(shí)際就是求a（f（x）-x1）（f（x）-x2）=0（a＞0）的根的個(gè)數(shù)，因此f（x）=x1或f（x）=x2，結(jié)合條件y0∈［x1，x2），利用數(shù)形結(jié)合思想解決即可.

總之，當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)需要層層遞進(jìn)的設(shè)計(jì)，這種設(shè)計(jì)是符合學(xué)生認(rèn)知心理學(xué)的，也能讓學(xué)生對(duì)于問(wèn)題做到“庖丁解牛”的來(lái)看，使得教學(xué)簡(jiǎn)潔有效.筆者建議，教師要做精細(xì)的思考、多角度的設(shè)計(jì)、形象與抽象的結(jié)合、具體與一般的穿插，讓數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)得更為通俗易懂，使更多學(xué)生做到理解數(shù)學(xué)、掌握知識(shí).

1.宋衛(wèi)東.從生“動(dòng)”到生動(dòng)，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（5）.

2.方石.數(shù)學(xué)教學(xué)詮釋思維品質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2014（4）.

3.柴賢亭.數(shù)學(xué)教學(xué)中的函數(shù)問(wèn)題設(shè)計(jì)［J］.教學(xué)與管理，2012（10）.

猜你喜歡

庖丁解牛奇偶性概念

Birdie Cup Coffee豐盛里概念店

現(xiàn)代裝飾(2022年1期)2022-04-19 13:47:32

函數(shù)的圖象、單調(diào)性和奇偶性

新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考)(2021年9期)2021-11-24 01:14:34

函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考)(2020年9期)2021-01-04 00:25:10

幾樣概念店

現(xiàn)代裝飾(2020年2期)2020-03-03 13:37:44

學(xué)習(xí)集合概念『四步走』

中學(xué)生數(shù)理化·高一版(2018年9期)2018-10-09 06:46:48

新校長(zhǎng)(2018年7期)2018-07-23 02:58:34

函數(shù)的奇偶性常見(jiàn)形式及應(yīng)用

中學(xué)生數(shù)理化·高一版(2018年1期)2018-02-10 05:20:01

聚焦集合的概念及應(yīng)用

中學(xué)生數(shù)理化·高一版(2017年9期)2017-12-19 12:15:14

例析函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

中學(xué)生數(shù)理化·高一版(2017年9期)2017-12-19 12:15:12

庖丁解牛：牛和馬的較量

中國(guó)汽車界(2016年1期)2016-07-18 11:13:35