讓算理在計(jì)算教學(xué)中清晰起來

陳娟梅

一直以來，同分母分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算法則就是：分母不變，分子相加減。學(xué)生容易記住，也能很好地進(jìn)行簡單計(jì)算。但對算理的理解，對法則的理解都是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。學(xué)生對分?jǐn)?shù)加減法的算理總是難以表達(dá)。

一、教學(xué)前，對算理的分析思考

思考一：何為算理

顧名思義，算理就是計(jì)算過程中的道理，是指計(jì)算過程中的思維方式，是解決為什么這樣算的問題。整數(shù)加減的算理算法學(xué)生已掌握得比較熟練，但算理往往是在算法之前懂了即棄的東西，而算法在后繼學(xué)習(xí)中反復(fù)使用，形成了技能，達(dá)到比較熟練的程度，所以對于算理學(xué)生往往難以表達(dá)，不習(xí)慣表達(dá)，也無須表達(dá)，因?yàn)槌Ｓ玫氖羌寄芏皇撬憷?，它不具有操作性?/p>

思考二：如何看待算理

對于算理的理解是不是每個學(xué)生都要掌握，是不是在同一個時間內(nèi)同時掌握的，筆者不這樣認(rèn)為，因?yàn)橛?jì)算是程序性的知識，可以允許有些學(xué)生不理解算理，但一定要掌握算法。當(dāng)然也允許有些學(xué)生遲一些悟到算理，因?yàn)樗憷硖橄罅?，連教師都難以弄明白的東西讓學(xué)生在一節(jié)課里搞明白確實(shí)有點(diǎn)高要求。

思考三：+=，學(xué)生會從哪些方面思考

對于這一式子，學(xué)生可能會從分?jǐn)?shù)的意義這一角度思考，這是為什么？第一，它是沒有錯的。因?yàn)闉槭裁吹扔?，學(xué)生很自然會從表示什么意思來表達(dá)，或者多說一點(diǎn)，把2份和3份合起來是5份，5份就是。因?yàn)殡x學(xué)生最接近的分?jǐn)?shù)知識是分?jǐn)?shù)的意義，根據(jù)上面的分析，學(xué)生無法從分?jǐn)?shù)單位這個角度來解釋加法。那么教材為什么非要從分?jǐn)?shù)單位這一角度來思考分?jǐn)?shù)的加、減法？筆者認(rèn)為原因有兩個：第一，分?jǐn)?shù)加、減法是小學(xué)階段最后一種數(shù)的加、減法運(yùn)算，它與前面的整數(shù)、小數(shù)加減法算理一樣。學(xué)習(xí)的過程有積累成多，又要走向化歸找本，把小學(xué)階段的加、減法壓縮成一個包，便于記憶。第二，為下一節(jié)課找到計(jì)算的方法作鋪墊。只有把分?jǐn)?shù)加、減法納入到相同計(jì)數(shù)單位相加、減，異分母分?jǐn)?shù)相加、減，才能找到計(jì)算的方向。

思考四：要引導(dǎo)學(xué)生明白什么

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，要讓大部分學(xué)生明白分?jǐn)?shù)單位也是計(jì)數(shù)單位，它同個、十、百、千一樣。只要分?jǐn)?shù)單位一樣，就直接把個數(shù)相加、減。+=從2份、3份、5份過渡到2個、3個、5個，理解5份怎么就是，因?yàn)?份是1個，5份就是5個。5個是怎么來的，就是2個和3個合起來的。其實(shí)這些知識學(xué)生已儲備充足，前面已經(jīng)學(xué)過分?jǐn)?shù)意義、分?jǐn)?shù)單位、分?jǐn)?shù)的組成等。但不知道從這個角度來分析分?jǐn)?shù)加法，如果不從這個角度分析分?jǐn)?shù)加法也不影響學(xué)生對本節(jié)課同分母分?jǐn)?shù)的計(jì)算。但是我們還需要把分?jǐn)?shù)的加、減法納入到整數(shù)、小數(shù)的加減法中，讓學(xué)生明白它們的算理是相通的。這樣，既減輕了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，又發(fā)展了學(xué)生的抽象思維。那么如何使學(xué)生在知道結(jié)果的基礎(chǔ)上明白法則背后的算理呢？

二、教學(xué)中，對算理的分析理解

（一）形式上遷移，初顯算理

遷移在心理學(xué)中，它指的是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響，指在一種情境中獲得的技能、知識或態(tài)度對另一種情境中技能、知識的獲得或態(tài)度的形成的影響。整數(shù)加、減法的學(xué)習(xí)對于學(xué)生來講過去已久，因?yàn)樗憷硗窃谒惴ㄖ岸思礂壍臇|西，而算法在后繼學(xué)習(xí)中反復(fù)使用，形成了技能，達(dá)到比較熟練的程度。所以課始先安排自主練習(xí)。

【片段一】復(fù)習(xí)舊知

200+300 0.6-0.2 +

各等于幾？你是怎么想的？

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下回憶了整數(shù)、小數(shù)加減法的算理。

200+300=500 2個百+3個百=5個百

0.6-0.2=0.4 6個0.1-2個0.1=4個0.1

+= 2個+3個=5個=

在回顧整數(shù)和小數(shù)的算理之后，學(xué)生很順利地說出了分?jǐn)?shù)加法的算理。但此刻完整準(zhǔn)確的算理表達(dá)并非是學(xué)生對算理充分理解后的高度概括。更多的是模仿，也就是說，教學(xué)到這里還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

（二）多元化思考，詮釋算理

根據(jù)教材將分?jǐn)?shù)加、減法內(nèi)容安排在分?jǐn)?shù)的意義、通分等之后，按照現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，學(xué)生往往會根據(jù)最近的知識經(jīng)驗(yàn)來解決新的問題。所以在教學(xué)中學(xué)生還是會自然而然地用分?jǐn)?shù)的意義來解釋+=，而教材編排教學(xué)目標(biāo)是根據(jù)分?jǐn)?shù)單位來理解同分母分?jǐn)?shù)加、減法。為了了解學(xué)生的原生態(tài)現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，要求學(xué)生把自己的思考過程畫出來。

【片段二】+=，你是怎么想的？用圖表示出來。

反饋：畫3個圓的學(xué)生上來匯報。

生：把一個圓平均分成8份，取其中的2份，再把一個圓平均分成8份，取其中的3份，合起來就是。

師：合起來應(yīng)該是5份，5份跟有什么關(guān)系？5份為什么就是？

生：因?yàn)?份就是1個，5份就是5個。

師：數(shù)一數(shù)是不是5個，5個是怎么來的？

生：就是2個和3個合起來的。

反饋：畫一個圓的學(xué)生上來匯報。

生：把一個圓平均分成8份，先取其中的2份，再取其中的3份，合起來就是。

師：2份、3份和題目+有什么關(guān)系？

生：2份就是，3份就是。

師：2份和3份合起來是5份沒錯，那一份到底有多大，能否用一個數(shù)來表示？

生：一份就是一個。

師：誰能結(jié)合圖用上說說+是多少？你是怎么想的？

生：2個+3個=5個=。

反饋：畫一條線段的學(xué)生上來匯報。

生：2個+3個=5個=。

師：不管是畫一個圓，還是畫了多個圓，都表示把2個+3個=5個。當(dāng)然，不僅可以畫圓，還有線段，其他圖形都可以。

面對不同班級不同學(xué)生極其相似的想法，我們的教學(xué)不能回避，而要正視學(xué)生的想法有沒有道理，思考為什么會不約而同。千萬不要急于統(tǒng)一到書上的那種想法。學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義來理解分?jǐn)?shù)很正常，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的意義學(xué)習(xí)時間離學(xué)生最近。再者，學(xué)生往往會根據(jù)表示的意義來替代加法的算理。

回顧教學(xué)，我們不難發(fā)現(xiàn)課始的教學(xué)實(shí)例，學(xué)生一開始對+的解釋是2個+3個=5個純屬是一種模仿，在真正探究的時候又會把真實(shí)的想法表露出來。所以我們要放慢教學(xué)腳步，站在學(xué)生的角度跟他們同時思考共同前進(jìn)。

（三）全方位溝通，化歸算理

分?jǐn)?shù)的計(jì)算是小學(xué)階段最后一種數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生對小學(xué)階段的所有計(jì)算需要有個整體認(rèn)識。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加、減法之前，學(xué)生從最簡單的整數(shù)加、減法逐步學(xué)習(xí)多位數(shù)加、減法及小數(shù)的加、減法等。隨著年級的升高其學(xué)習(xí)內(nèi)容也不斷豐富，而算理只有一條。因此，這節(jié)課肩負(fù)著溝通化歸、減輕記憶負(fù)擔(dān)、融會貫通的重任。

【片段三】

200+300 0.6-0.2 +

師：計(jì)算這三道題目，你發(fā)現(xiàn)有什么共同點(diǎn)？

生：每一道題目的加數(shù)、減數(shù)、和或差的計(jì)數(shù)單位是一樣的。

師：在計(jì)算的過程中，什么變了，什么沒變？

生：計(jì)數(shù)單位不變，個數(shù)相加減。

師：重新算一算這三道題目。

生：200+300，0+0=0、0+0=0、2+3=5，等于500；

0.6-0.2，6-2=4、0-0=0，等于0.4。

師：+=，2+3=5，8怎么就不用計(jì)算就可以呢？

生：8是分母，分母不變。

師：分母也是一個數(shù)，為什么可以不參加計(jì)算呢？

生：表示的是分?jǐn)?shù)單位，也就是計(jì)數(shù)單位，它不參與計(jì)算。

師：那么你們覺得分?jǐn)?shù)加、減法與整數(shù)、小數(shù)加、減法到底一樣還是不一樣？

生：不一樣，整數(shù)、小數(shù)每個數(shù)都要參與計(jì)算，而分?jǐn)?shù)就不是這樣了。

生：其實(shí)是一樣的，都是計(jì)數(shù)單位不變，計(jì)數(shù)單位個數(shù)相加減。

師：真棒，我們能把小數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減法進(jìn)行很好的比較溝通，明白了算理，那么有關(guān)分?jǐn)?shù)的其他加、減法題目是不是也具有這樣的特點(diǎn)呢？

【片段四】

嘗試計(jì)算：+ - -

師：等于幾？你是怎么想的？

生：發(fā)現(xiàn)所有的分母都沒有參與計(jì)算，也就是說分母是不變的。

師：誰來說說同分母分?jǐn)?shù)加減的方法？簡單點(diǎn)。

生：分?jǐn)?shù)單位不變，個數(shù)相加減。

生：分母不變，分子相加減。

師：講得很有道理，打開書看看，書上是怎么說的？一起讀讀。

【片段五】

1.算一算。

-= += += 1-=

-= += -= -=

2.連一連。

+ 3÷5-2÷5 -

+ - +

在練習(xí)設(shè)計(jì)注重新知鞏固的同時，又要涉及知識的延伸點(diǎn)，如3÷5-2÷5、+。

除法與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系、異分母分?jǐn)?shù)的加法等，把課堂教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的整體性。

學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固和深化。在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。同分母分?jǐn)?shù)加、減法算理是教學(xué)難點(diǎn)，算理的理解不是某個環(huán)節(jié)的任務(wù)，當(dāng)然也不是某一個問題就能化解的事情，它的出現(xiàn)、發(fā)展到理解需要一個過程，在復(fù)習(xí)、新課展開、練習(xí)等環(huán)節(jié)中算理與算法始終同時并進(jìn)，使?jié)撛诘乃憷砺‖F(xiàn)、清晰。通過對整節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生明白了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加、減法的實(shí)質(zhì)及它們之間的關(guān)聯(lián)，體會到局部知識與整體知識的關(guān)系，最終深刻理解算理。

（浙江省永嘉縣教師發(fā)展中心 325100）