“圖形的性質(zhì)”復(fù)習(xí)精講

曹松峰

4.1 命題和證明 圖形認(rèn)識(shí)初步尺規(guī)作圖 相交線和平行線

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

本節(jié)內(nèi)容涉及余角、（鄰）補(bǔ)角、對(duì)頂角、垂直、距離、平行、“三線八角”等基本概念，以及相交線垂直的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)與判定等諸多基本事實(shí)及定理.如果我們對(duì)一些基本概念缺乏全面深刻的理解，不能迅速準(zhǔn)確地識(shí)別相交線中的“三線八角”，抑或?qū)ζ叫芯€的性質(zhì)與判定方法等一命題的條件、結(jié)論和適用范罔分辨不清，就會(huì)在使用時(shí)張冠李戴，使得運(yùn)算推證的依據(jù)不足、理由不充分或根本錯(cuò)誤；如果我們還沒(méi)有接納推理的思想，缺乏說(shuō)理的自覺(jué)，習(xí)慣于想當(dāng)然辦事，那么思路不周嚴(yán)、思維不順暢等現(xiàn)象就還會(huì)時(shí)有發(fā)生.

重要考點(diǎn)題型方法點(diǎn)撥

一、余角、補(bǔ)角的概念

點(diǎn)撥：解答此題的關(guān)鍵是要正確地理解和運(yùn)用“等角的補(bǔ)角相等，等角的余角相等”等相關(guān)性質(zhì).

二、平行線的性質(zhì)線八角”的概念和平行線的性質(zhì)小能正確理解可能導(dǎo)致錯(cuò)誤.

三、原命題與逆命題

其中原命題與逆命題均為真命題的是（）.

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

解析：先對(duì)原命題進(jìn)行判斷，再根據(jù)互逆命題的定義寫出逆命題，然后判斷逆命題的真假.①②③中的原命題、逆命題均為真命題：而在④中，若|-x|=-x，則-x≥O，解得x≤0，原命題是假命題.故選A.

點(diǎn)撥：主要考查原命題與逆命題的概念.需要注意：原命題與逆命題不一定同真同假，

四、角平分線概念

五、作圖（線段的垂直平分線）

例5 （2015.北京）閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：

尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線.

已知：線段AB求作：線段AB的垂直平分線，

小蕓的作法如下：

如圖3，分兩步進(jìn)行：（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于1/2AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD.直線CD就是所求作的垂直平分線.

老師說(shuō)：“小蕓的作法正確.”

請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是____.

解析：依據(jù)是：（1）到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；（2）兩點(diǎn)確定一條直線，

點(diǎn)撥：本題考查線段垂直平分線的尺規(guī)作圖.本題的作圖依據(jù)是線段垂直平分線的相關(guān)結(jié)論和關(guān)于直線的基本事實(shí).當(dāng)然，以上所列作圖依據(jù)并不唯一.不少同學(xué)失分的原因在于沒(méi)有理解題意，只是把作圖的過(guò)程重述了一遍，沒(méi)有將其中的緣由描述清楚，或者根本就不清楚作圖的理由，

六、平行線的性質(zhì)與其他知識(shí)的綜合

4.2 三角形及其全等

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

三角形中的三條邊、三個(gè)內(nèi)角、邊與角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，這是我們處理所有三角形問(wèn)題時(shí)應(yīng)牢記的隱含條件.如果題目沒(méi)有給出圖形，抑或未將文字?jǐn)⑹雠c圖形一一對(duì)應(yīng).在畫出圖形或?qū)⒃仃P(guān)系用圖形表示時(shí)，不得人為地把問(wèn)題特殊化，如，不能只想到銳角三角形或直角三角形，而忽略鈍角三角形的情形：不能把一般的三角形畫成等腰三角形、直角三角形等，在判定三角形全等時(shí)必須注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)會(huì)析取“基本圖形”，善于發(fā)掘隱含的元素關(guān)系，靈活運(yùn)用“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”等判定方法.切忌杜撰“角角角”或“邊邊角”等所謂的判定定理.

重要考點(diǎn)題型方法點(diǎn)撥

一、三角形高的概念

點(diǎn)撥：解法一的實(shí)質(zhì)是用同一面積的不同表達(dá)形式推求有關(guān)數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)系，由此時(shí)?？梢员荛_繁雜的運(yùn)算簡(jiǎn)便求解.解法二則運(yùn)用了人教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第56頁(yè)第12題中的一個(gè)十分簡(jiǎn)單有用的結(jié)論.

四.全等三角形的判定

點(diǎn)撥：添加條件推斷三角形全等的題目，大多具有開放性，求解時(shí)需將已知條件與全等的判定條件比對(duì)，增添缺失的邊或角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

點(diǎn)撥：本題主要考查正方形、全等三角形的性質(zhì)和判定方法，在第（2）問(wèn)中也考查了通過(guò)全等找出和GE相等的線段，從而證得關(guān)系成立.推證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在的三角形全等，這種思想應(yīng)用廣泛，讀者朋友一定要熟練掌握.

7.問(wèn)題提出：學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.

4.3等腰三角形和直角三角形

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，等邊對(duì)等角，“三線合一”等是其主要特性，在題目沒(méi)有明確給出腰和底角的情況下，尤其要考慮周全，實(shí)施必要的分類討論.在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理等都是我們處理相關(guān)問(wèn)題的重要工具，解題時(shí)一定要注意定理的適用條件，厘清一般和特殊、性質(zhì)與判定的聯(lián)系與區(qū)別.

點(diǎn)撥：本題考查了等腰三角形的概念、解一元二次方程、三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用等知識(shí)，如果忽略構(gòu)成三角形的條件，或者不分類討論，就可能會(huì)錯(cuò)選D或B.

二、直角三角形的性質(zhì)

點(diǎn)撥：此題主要考查了等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定方法、勾股定理的應(yīng)用等，解決此類問(wèn)題的著眼點(diǎn)是根據(jù)折疊的性質(zhì)來(lái)探求和利用折疊前后的全等圖形.

四、等腰三角形、直角三角形與其他知識(shí)酌綜合

點(diǎn)撥：該題直接考查學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移能力，如果能在解決問(wèn)題（1）（2）時(shí)用心體悟思路，就能夠在面對(duì)問(wèn)題（3）時(shí)，自覺(jué)地以AB為邊，向外作等腰直角三角形，把求線段BE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求線段CD的長(zhǎng)，再結(jié)合所給條件，在Rt△DBC中順利求解.追根溯源，該題是課本上一道經(jīng)典幾何題目（人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第83頁(yè)第12題）的改造和延伸.

值得注意的是，這個(gè)課本原題的許多變式頻繁地出現(xiàn)在近幾年各地的中考試卷中，如.2013年江西卷的第23題、2014年沈陽(yáng)卷的第24題.2015年臨沂卷的第25題等，有興趣的同學(xué)不妨拿來(lái)做一做，這些考題共同反映了中考的一種重要命題動(dòng)向：全等三角形作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，不但被用于考查學(xué)牛的邏輯推理能力，而且在考查學(xué)生的類比、歸納等合情推理能力時(shí)也可以派上用場(chǎng).

4.4多邊形和特殊四邊形

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

本節(jié)的重點(diǎn)難點(diǎn)足平行四邊形以及矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形的概念、性質(zhì)和判定方法，關(guān)涉這些圖形的命題之間重疊交錯(cuò)，容易混淆，應(yīng)下氣力弄清它們的共性、特性及其包含關(guān)系，判定特殊的平行四邊形時(shí)，應(yīng)在真正理解題意的基礎(chǔ)上，合理確定一種判定方法，既要避免出現(xiàn)推理沒(méi)有根據(jù)，理由不充分的邏輯錯(cuò)誤，也不能思路混亂，重復(fù)使用條件，或者循環(huán)論證，以確保運(yùn)算推證的精準(zhǔn)性、嚴(yán)密性、順暢性.

點(diǎn)撥：本題考查多邊形的內(nèi)角和公式及其推淪.

二、平行四邊形的判定

例2 （2015.廣州）下列命題中，真命題有（）.

①對(duì)角線互相平分的四邊彤足平行四邊形；②兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.

A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè)

D.0個(gè)

解析：由平行四邊形的判定方法易知①②正確，一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形也可以是等腰梯形，③錯(cuò)誤，故選B.

點(diǎn)撥：本題考查平行四邊形的判定.熟悉各種基本圖形的本質(zhì)特征，避免以偏概全的錯(cuò)誤，就可以正確迅速地作出判斷.

三、菱形的性質(zhì)

四、矩形的判定

例4 （2015.資陽(yáng)）若順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，得到的圖形是一個(gè)矩形，則四邊形ABCD一定是（）.

A.矩形

B.對(duì)角線相等的四邊形

C.菱形

D.對(duì)角線互相垂直的四邊形

點(diǎn)撥：本題考查三角形的中位線定理以及矩形的判定.可能會(huì)有同學(xué)誤選B，造成錯(cuò)誤的原因：受“判斷平行四邊形、菱形、正方形的各邊中點(diǎn)所連成的四邊形的形狀”問(wèn)題思維定式的影響；抑或?qū)忣}不細(xì)，未能完全理解題意，

五、正方形的性質(zhì)與判定

例5 （2015.甘孜、阿壩）已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，當(dāng)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)時(shí)，

試探究下列問(wèn)題：

（1）如圖3（1），若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn).F不是邊CD的中點(diǎn)，但CE=DF，上述結(jié)論①②是否仍然成立？（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”，不需要證明）

（2）如圖3（2），若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)，上述結(jié)論①②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

點(diǎn)撥：本題主要考查正方形的性質(zhì)與判定和類比推理能力，“題根”是人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第68頁(yè)第8題.

應(yīng)當(dāng)指出，此課本原題的變式較多，并且備受中考命題者的青睞.如，中考試卷中2014年內(nèi)江卷的第18題、衢州卷的第23題、煙臺(tái)卷的第25題、2015年廣州卷的第18題等，都可以看作它的拓展和延伸，

另外，正方形與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題也是一類重要題型，如2015年綿陽(yáng)市中考題第25題，它可以看作由人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第69頁(yè)第14題的“題根”生發(fā)而成.翻看近幾年的中考試卷，不時(shí)可以看到該課本原題圖形的影子，不再一一列舉.

4.5圓

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

本節(jié)知識(shí)的重點(diǎn)難點(diǎn)：一是對(duì)圓的基本概念、基本性質(zhì)的理解及運(yùn)用，特別是垂徑定理、圓周角定理及其推論的應(yīng)用；二是直線與圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)為切線的判定與性質(zhì).在提及圓中一條弦所對(duì)的圓周角時(shí)，要考慮到該弦所刈的圓周角有兩種類型.在辨認(rèn)圓心角、圓周角、弦、弦心距、弧等的關(guān)系時(shí)，要注意是否要求在同圓或等圓中，在運(yùn)用垂徑定理的推論“平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧”時(shí)，不能忽略括號(hào)中的三個(gè)字，在求解關(guān)涉垂徑定理、切線性質(zhì)與判定的問(wèn)題時(shí)，往往要添加適當(dāng)?shù)妮o助線實(shí)現(xiàn)思路貫通，在求解網(wǎng)與三角形、平行四邊形的綜合性題目時(shí)，積極發(fā)掘和利用圓的特殊性質(zhì)和圓中眾多的不變量是順利求解的關(guān)鍵所在.

重要考點(diǎn)題型方法點(diǎn)撥

一、圓周角的性質(zhì)

解析：要使四邊形為菱形，只需滿足兩條對(duì)角線互相垂直平分的條件，題設(shè)中已有OCIAB，由垂徑定理知A D=BD，再添加條件OD=CD即可，故選B.

點(diǎn)撥：本題考查垂徑定理及菱形的判定方法.如果對(duì)相關(guān)知識(shí)含糊不清，可能會(huì)錯(cuò)選其他選項(xiàng)，

四、求扇形的面積

例4 （2015.廣東）如圖4，某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長(zhǎng)為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細(xì)），則所得的扇形DAB的面積為（）.

A.6

B.7

C.8

D.9

解析：根據(jù)圖形觀察可知，扇形DAB的半徑等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)，扇形DAB的弧長(zhǎng)等于正方形的邊長(zhǎng)BC與CD的和，易得所求面積為1/2×6×3=9.故選D.

點(diǎn)撥：本題考查扇形的面積計(jì)算和正方形性質(zhì)的運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)扇形DAB的弧長(zhǎng)等于正方形邊長(zhǎng)的2倍是解答本題的關(guān)鍵.

五、切線長(zhǎng)定理

例5 （2015.南京）如圖5，在矩形ABCD中，AB=4，

點(diǎn)撥：本題考查正方形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)，解題的基本思路是：先連接圓心和切點(diǎn)，再充分運(yùn)用切線長(zhǎng)定理確定部分線段的長(zhǎng)度，然后在關(guān)涉未知量的直角三角形中利用勾股定理求解.