“數(shù)與式”復(fù)習(xí)精講

王有令

1.1實(shí)數(shù)

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：一是實(shí)數(shù)的有關(guān)概念如數(shù)軸、倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值、平方根、算術(shù)平方根、立方根、無理數(shù)，以及實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算；二是平方根、算術(shù)平方根、無理數(shù)的意義及性質(zhì)；三是加強(qiáng)與生產(chǎn)、生活及科學(xué)研究方面的聯(lián)系，

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問題，準(zhǔn)確進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算，學(xué)會(huì)探索規(guī)律的方法，

易混易錯(cuò)點(diǎn)：在較復(fù)雜的運(yùn)算中，不注意運(yùn)算順序或者不合理使用運(yùn)算律，從而使運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤：掌握好平方根、算術(shù)平方根的區(qū)別；對(duì)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算要掌握好與實(shí)數(shù)有關(guān)的概念、性質(zhì)，靈活地運(yùn)用各種運(yùn)算律，關(guān)鍵是把好符號(hào)關(guān).

重要考點(diǎn)題型方法點(diǎn)撥

一、倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值的概念

例1 -2015的倒數(shù)是（）.

A.-1/2015 B.1/2015

C.-2015

D.2015

解析：本題考查倒數(shù)的概念，根據(jù)倒數(shù)的意義，乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此解答.選A.

點(diǎn)撥：本題主要考查了倒數(shù)的概念，解決本題的關(guān)鍵是熟記乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫作互為倒數(shù)，倒數(shù)、棚反數(shù)、絕對(duì)值的概念必須掌握，并且要區(qū)分清楚，中考題一般以選擇題或者填空題出現(xiàn)，題目不難，是每年中考必考題之一，解此類題的易錯(cuò)點(diǎn)是，求倒數(shù)以后改變了符號(hào)，如-2015的倒數(shù)寫成了-1/2015，切記不要出現(xiàn)這類錯(cuò)誤，弄清實(shí)數(shù)有關(guān)的概念，是避免此類錯(cuò)誤發(fā)生的關(guān)鍵，

二、科學(xué)記數(shù)法

例2 據(jù)統(tǒng)計(jì)，2014年我國(guó)高新技術(shù)產(chǎn)品出口總額40570億元，將數(shù)據(jù)40570億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）.

A.4.0570×10

B.0.40570×10

C.40.570×10

D.4.0570×10

解析：本題中40570億，有13位整數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法（形式為a×10）表示，10的指數(shù)為13-1=12.故40570億=4057000000000=4.0570×10（另法：1億=10，40570億=40570×10=4.0570×10）.故選D.

點(diǎn)撥：此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定“的值以及n的值.在確定n的值時(shí)，看該數(shù)是大于或等于1還是小于1.當(dāng)該數(shù)大于或等于1時(shí)，n為它的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)該數(shù)小于1時(shí)，-n為它第一個(gè)有效數(shù)字前0（含小數(shù)點(diǎn)前的那個(gè)0）的個(gè)數(shù)，解此題易錯(cuò)點(diǎn)是：把單位“億”錯(cuò)誤認(rèn)為是10，此類題是河南中考必考的內(nèi)容，多年來中考評(píng)卷都發(fā)現(xiàn)，此類題錯(cuò)誤點(diǎn)都是忘記或者不知道“1億=10”，避免出現(xiàn)這類錯(cuò)誤的關(guān)鍵是：一定要記牢“1億=10”.

三、有理數(shù)與無理數(shù)的意義

解析：無理數(shù)是無限不循環(huán)的小數(shù)，即非有理數(shù)的實(shí)數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比，若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無限多個(gè)，并是無理數(shù)，故選C.

點(diǎn)撥：解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握有理數(shù)、無理數(shù)及實(shí)數(shù)的概念，不能片面地從形式上判斷屬于哪一類數(shù)，對(duì)有關(guān)實(shí)數(shù)進(jìn)行歸類時(shí)，必須對(duì)已給出的某些數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)最簡(jiǎn)的結(jié)果進(jìn)行歸類，掌握常見無理數(shù)的三類形

四、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念

例4（2015.南京）4的平方根是____，4的算術(shù)平方根是____.

解析：根據(jù)平方根的定義，求數(shù)a的平方根，也就是求一個(gè)數(shù)x，使得x=a，則x就是a的平方根.因（±2）=4，故4的平方根是±2.根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是求一個(gè)正數(shù)x，使得x=a，則x就是a的算術(shù)平方根，特別地，規(guī)定0的算術(shù)平方根是0.因2=4.故4的算術(shù)平方根是2.

點(diǎn)撥：本題主要考查平方根、算術(shù)平方根的概念，解答這類題關(guān)鍵是弄清相關(guān)的概念，此題的易錯(cuò)點(diǎn)是錯(cuò)誤得到4的算術(shù)平方根為±2.產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是忘記了算術(shù)平方根必須為正數(shù)這個(gè)前提條件.

1.2代數(shù)式

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：列代數(shù)式、代數(shù)式的取值范圍、整體代入方法.

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：整體代入方法，整體思想的應(yīng)用，

易混易錯(cuò)點(diǎn)：整體代入方法、解釋代數(shù)式的實(shí)際背景或幾何意義.

重要考點(diǎn)題型方法點(diǎn)撥

一、列代數(shù)式

例1

一臺(tái)電視機(jī)原價(jià)是2500元，現(xiàn)按原價(jià)的8折出售，則購(gòu)買a臺(tái)這樣的電視機(jī)需要____元.

解析：現(xiàn)在以8折出售，就是現(xiàn)價(jià).與原價(jià)的80%，把原價(jià)看作單位“1”，根據(jù)一個(gè)數(shù)乘百分?jǐn)?shù)的意義得：2500a×80%=2000a（元）.故答案為2000a元.

點(diǎn)撥：本題主要考查了打折問題，找準(zhǔn)單位“1”，弄清各種量的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.此題的易錯(cuò)點(diǎn)是：易把打折優(yōu)惠的20%，當(dāng)成商家出售的價(jià)格，錯(cuò)誤認(rèn)為最終購(gòu)買a臺(tái)這樣的電視機(jī)需要2500a×0.2元，實(shí)際上2500a×0.2元是商家優(yōu)惠的部分.仔細(xì)分析題意，是避免發(fā)生錯(cuò)誤的關(guān)鍵.

例2 隨著服裝市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈，某品牌服裝專賣店一款服裝按原售價(jià)降價(jià)a元后，再次降價(jià)20%，現(xiàn)售價(jià)為b元，則原售價(jià)為（）.

A.（a+（5/4）b）元

B.（a+（4/5）b）元

C.（b+（5/4）a）元

D.（b+（4/5）a）元

解析：設(shè)原售價(jià)是x元，根據(jù)降價(jià)a元后再次下調(diào)了20%后是b元為相等關(guān)系列出方程，用含a，b的代數(shù)式表示x，則（x-a）（1-20%）=b，解得x=a+（5/4）b，故選A.

點(diǎn)撥：解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題日給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程.此題的易錯(cuò)點(diǎn)是：一款服裝按原售價(jià)降價(jià)a元后，“再次降價(jià)20%”易錯(cuò)誤理解為原售價(jià)設(shè)為x元，降價(jià)a元后按照20%的價(jià)格售出，即錯(cuò)解為：20%（x-a）=b.

二、依據(jù)代數(shù)式求未知數(shù)的取值范圍

點(diǎn)撥：（1）整式：未知數(shù)的取值范圍是全體實(shí)數(shù).（2）分式：未知數(shù)為滿足分母不為零的取值.（3）根式：開奇次方，未知數(shù)使被開方數(shù)為任意實(shí)數(shù)；開偶次方，未知數(shù)使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).依據(jù)代數(shù)式求未知數(shù)的取值范圍，就是使代數(shù)式中的各項(xiàng)式子同時(shí)有意義，易錯(cuò)點(diǎn)是：只考慮了部分式子有意義的條件，忽略了另一部分式子有意義的條件，如錯(cuò)選A就是只考慮了式子

點(diǎn)撥：求代數(shù)式的值時(shí)，采取的步驟是：先化簡(jiǎn)，再代入求值，化簡(jiǎn)后，首先要思考的就是看看能甭運(yùn)用整體思想來求值，本題就是將代數(shù)式化為含有a+b的代數(shù)式的形式，然后把a(bǔ)+

中考命題預(yù)測(cè)

1.為慶?？谷諔?zhàn)爭(zhēng)勝利70周年，某市某樓盤讓利于民，決定將原價(jià)a元/平方米的商品房降價(jià)10%銷售，降價(jià)后的售價(jià)為（）.

A.（a-10%）元/平方米

B.a·10%元/平方米

C.a（1-10%）元/平方米

D.a（1+10%）元/平方米

2.某企業(yè)今年1月份產(chǎn)值為x萬元，2月份比1月份減少了10%，3月份比2月份增加了15%，則3月份的產(chǎn)值是（）.

A.（1-10%）（1+15%）x萬元

B.（1-10%+15%）x萬元

C.（x-10%）（x+15%）萬元

D.（1+10%-15%）x萬元

1.3 整式與分式

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：整式與分式的化簡(jiǎn)及代入求值.

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：去括號(hào)與添括號(hào)時(shí)的符號(hào)與系數(shù)變化.

易混易錯(cuò)點(diǎn)：求分式值為零時(shí)易忽略分母不能為零：分式運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算法則和符號(hào)的變化：當(dāng)分式的分子分母是多項(xiàng)式時(shí)要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解為止，注意計(jì)算方法，把分式化為最簡(jiǎn)分式.

重要考點(diǎn)題型方法點(diǎn)撥

一、整式的概念和加、減、乘、除及乘方運(yùn)算

例1 （2015.恩施州）下列計(jì)算正確的是（）.

解析：選項(xiàng)A中原式利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則計(jì)算得到結(jié)果，原式=8x，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中原式不能合并，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中原式利用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得原式=-x，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D中原式利川完全平方公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，原式=a-2ab+b，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.

點(diǎn)撥：此題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，以及完全平方公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)足：x·x易錯(cuò)得到x，（a-b）易錯(cuò)得到a-b，熟練掌握乘法公式和有關(guān)整式的運(yùn)算法則，可以避免發(fā)生錯(cuò)解的現(xiàn)象.

二、因式分解

例2 （2015·黃岡）分解因式：x-2x+x=____.

解析：首先提取公因式x，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式，x-2x+x=x（x-2x+1）=x（x-1）.

點(diǎn)撥：對(duì)任意多項(xiàng)式分解因式，首先考慮提取公因式，此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.此題的中考失分點(diǎn)是提取公因式后.原式變成x（x-2x+1）就不再繼續(xù)分解F去了，錯(cuò)誤的原因是沒有分解完，這個(gè)結(jié)果不是本題的最終因式分解結(jié)果，因式分解的最終結(jié)果是分解到不能再分解為止，掌握這點(diǎn)可以避免出現(xiàn)類似錯(cuò)誤，

例3 （2015·南京）分解因式（a-b）（a-4b）+ab的結(jié)果是____.

解析：首先去括號(hào)，進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再利用完全平方公式分解因式，得（a-b）（a-4b）+ab=a-5ab+4b+ab=a-4ab+4b=（a-2b）.

點(diǎn)撥：顯然不能用提取公因式法，又不能直接用乘法公式，需要把（a-b）（a-4b），用多項(xiàng)式乘法法則展開，再與ab一起合并同類項(xiàng).此題主要考查了多項(xiàng)式乘法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

三、分式的概念及性質(zhì)

點(diǎn)撥：解分式值為零的問題時(shí)，學(xué)生易忽略分母不能為零這個(gè)隱含條件.要使分式的值為0，不僅需要分式的分子為0，而且需要分式的分母不能為0，這是分式有意義的條件.這兩個(gè)條件缺一不可.

解析：根據(jù)分式的性質(zhì)，分子分母都乘以-1，分式的值不變，可得答案1/（x-1）.故選D.

點(diǎn)撥：要熟練掌握分式的基本性質(zhì)，即分式的分子與分母同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)不為零的整式，分式的值不變.還要牢記分式的符號(hào)法則：分式的分子、分母及分式本身，三者的符號(hào)改變其中兩個(gè)分式的值不變，解此題的易錯(cuò)點(diǎn)足：只改變了分母的符號(hào)，原式錯(cuò)變成-1/（x-1）.

四、分式的運(yùn)算

點(diǎn)撥：此題考查了分式的加減法，把異分母的分式化成同分母的分式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.本題是最簡(jiǎn)單的異分母的分式加減，此題的中考失分點(diǎn)是：原式化成（x-1）/（x-1），錯(cuò)得到x-1，錯(cuò)誤的原因是對(duì)平方差公式掌握得不熟練.

1.4 數(shù)與式的綜合計(jì)算

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)，乘法公式的熟練運(yùn)用，計(jì)算的準(zhǔn)確性和快速檢驗(yàn).

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：去絕對(duì)值符號(hào)及分類討論問題，異分母分式加減問題.

易混易錯(cuò)點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)計(jì)算.

重要考點(diǎn)題型方法點(diǎn)撥

一、概念類綜合問題

點(diǎn)撥：根據(jù)使式子有意義的條件，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，且分母不為0，得出x的值，從而求出y的值及xy的值，此題的中考失分點(diǎn)是：易遺漏分式的分母不為零這個(gè)重要條件，從而得到錯(cuò)解x=±3.

解析：原式第一項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算，第三項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，最后一項(xiàng)利用立方根定義計(jì)算即可得到結(jié)果.

點(diǎn)撥：此題考查了絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、立方根等概念，是運(yùn)算類綜合計(jì)算題，重點(diǎn)考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵，解此題的易錯(cuò)點(diǎn)是：第

點(diǎn)撥：本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則，熟練掌握乘法公式是解答此題的關(guān)鍵，此類題是河南省歷屆中考必考的題，預(yù)計(jì)此類型題也是2016年河南省中考題之一，同學(xué)們一定要高度重視，解此題的中考失分點(diǎn)是：在進(jìn)行異分母的分式相加減時(shí)常常出錯(cuò).多做一些異分母的分式相加減的題并找出錯(cuò)誤的原因，可避免這類錯(cuò)誤的發(fā)生.

6.【問題提出】我們?cè)诜治鼋鉀Q某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小，而對(duì)于解決問題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所渭“作差法”，就是通過作差、變形，并利用差的符號(hào)確定它們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作m它們的差M-N，若M-N>O，則M>N；若M-N=0，則M=N；若M-N

【問題解決】如圖1，把邊長(zhǎng)為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是a、b的小正方形及兩個(gè)矩形，試比較兩個(gè)小正方形面積之和M與兩個(gè)矩形面積之和Ⅳ的大小.

【聯(lián)系拓廣】小剛在超市里買了一些物品，用一個(gè)長(zhǎng)方體的箱子“打包”，這個(gè)箱子的尺寸如圖4所示（其中b>a>c>0），售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進(jìn)行捆綁，哪種方法用繩最長(zhǎng)？請(qǐng)說明理由.