馬建民 李斌
3.1 函數(shù)的概念與圖象
重點難點易混易錯點剖析
復(fù)習(xí)重點:自變量的取值范圍的確定.從函數(shù)圖象中讀取相關(guān)的信息,或者由相關(guān)的信息削斷給定的函數(shù)圖象是否正確.
復(fù)習(xí)難點:函數(shù)內(nèi)容的兩個重要數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想,主要方法有待定系數(shù)法和配方法.
掌握本部分知識的關(guān)鍵在于要處理好新舊知識聯(lián)系,以盡可能地減少接受新知識的困難,函數(shù)內(nèi)容是以學(xué)過的數(shù)、式、方程等知識為基礎(chǔ)展開的,因此學(xué)習(xí)這些知識時,應(yīng)對前面學(xué)過的知識進(jìn)行復(fù)習(xí),掃清學(xué)習(xí)本部分知識的障礙.
易混易錯點:
(1)坐標(biāo)軸上的點不屬于任何象限,x軸上的點縱坐標(biāo)為0,y軸上點的橫坐標(biāo)為0.
(2)自變量的取值范圍的確定.如果函數(shù)的解析式是整式,那么自變量的取值范圍是全體實數(shù):如果函數(shù)的解析式是分式,那么自變量的取值范圍是使分母不為0的實數(shù);如果函數(shù)的解析式中禽有零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,自變量的取值范圍是使底數(shù)不為0的實數(shù);實際問題中,函數(shù)自變量的取值范圍除以上要求外還同時必須使實際問題有意義,如不能取負(fù)值或小數(shù)等.
重要考點題型方法點撥
一、行程問題的函數(shù)圖象
例1 (2015.自貢)小剛以400 m/min的速度勻速騎車5 min,在原地休息了6 min,然后以500 m/min的速度騎回出發(fā)地,下列函數(shù)圖象(v表示速度,t表示時間,x表示到出發(fā)地的距離)能表達(dá)這一過程的是().
解析:本題抓住函數(shù)的圖象表達(dá)的是到出發(fā)地的距離s(km)與時間t(min)之間的關(guān)系;主要根據(jù)在時間變化的情況下,到出發(fā)地的距離遠(yuǎn)近來分析圖象的變化趨勢.
騎車前5分鐘s(km)是隨時間t(min)增大而增大,直至距離出發(fā)地400x5=2000m(即2km)處,這一段圖象是由左至右呈上升趨勢的一條線段,線段末端點的坐標(biāo)為(5,2);原地休息的6分鐘內(nèi)都是距離出發(fā)地2km(即縱坐標(biāo)為2不變),這一段圖象表現(xiàn)出來是平行于x軸的一條線段,休息6分鐘之后s(km)是隨時間t(min)增大而減小,直至距離出發(fā)地為0 km(回到出發(fā)地),線段末端點的坐標(biāo)為(15,0),這一段圖象是由左至右呈下降趨勢的一條線段.故選C.
點撥:本題主要考查的是函數(shù)的概念和圖象,掌握相關(guān)過程的分析方法和對橫軸、縱軸含義的理解是解題的關(guān)鍵.休息時到I葉:發(fā)地的距離不變,這是易出錯的地方.
二、動點問題的函數(shù)圖像
例2 (2015.十堰)如圖1,一只螞蟻從O點出發(fā),沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行一周,當(dāng)螞蟻運動的時間為t時,螞蟻與O點的距離為s,則s關(guān)于t的函數(shù)圖象大致是().
解析:根據(jù)螞蟻在AB上運動時,隨著時間的變化,距離不發(fā)生變化,得出這一段圖象是與x軸平行的線段,即可得出結(jié)論.
一只螞蟻從O點出發(fā),沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行,在開始時經(jīng)過半徑OA這一段,螞蟻到O點的距離隨運動時間t的增大而增大;到弧AB這一段,螞蟻到O點的距離s不變,圖象是與x軸平行的線段;走另一條半徑OB時.s隨t的增大而減小.故選B.
點撥:本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象.根據(jù)隨著時間的變化,到弧AB這一段,螞蟻到O點的距離s不變,得到圖象的特點是解決本題的關(guān)鍵,解答這類問題,應(yīng)注意:要徹底弄清楚動點從何處開始出發(fā),運動到何處停止,整個運動過程分為幾段,何點(時刻)是特殊的.
2.如圖2,是張老師出門散步時離家的距離y與時間戈之間的函數(shù)關(guān)系的圖象,若用黑點表示張老師家的位置,則張老師散步行走的路線可能是().
3.在一次自行車越野賽中,甲、乙兩名選手行駛的路程y(km)隨時間x(min)變化的圖象(全程)如圖3.根據(jù)圖象判定下列結(jié)論不正確的是().
A.甲先到達(dá)終點
B.前30分鐘,甲在乙的前面
C.第48分鐘時,兩人第一次相遇
D.這次比賽的全程是28 km
4.如圖4,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動點P從A點出發(fā),按A→B→C的方向在AB和BC上移動,記PA=x,點D到直線PA的距離為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是().
5.一列快車從甲地駛往乙地,一列慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發(fā),設(shè)慢車行駛的時間為x(h),兩車之間的距離為y(km),圖5中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.
根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究:
(1)甲、乙兩地之問的距離為____km.
(2)請解釋圖中點B的實際意義.
(3)求慢車和快車的速度.
(4)求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
(5)若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地,速度與第一列快車相同,在第一列快車與慢車相遇30分鐘后,第二列快車與慢車相遇,第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時?
3.2 一次函數(shù)
重點難點易混易錯點剖析
復(fù)習(xí)重點:一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì).
復(fù)習(xí)難點易混易錯點:一次函數(shù)圖象的應(yīng)用.
掌握本部分內(nèi)容必須具備的知識:一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì),待定系數(shù)法,解方程(組).在復(fù)習(xí)中要注意函數(shù)思想的運用,通過構(gòu)造一次函數(shù)模型,利用一次函數(shù)的增減性及自變量的取值范圍解決實際問題中的最大值、最小值問題.
重要考點題型方法點撥
一、一次函數(shù)圖象與幾何變換
例1 (2015.南平)直線y=2x+2沿y軸向下平移6個單位后與x軸的交點坐標(biāo)是().
A.(-4,0)
B.(-1,0)
C.(0,2)
D.(2,0)
解析:根據(jù)平移可得直線y=2x+2沿y軸向下平移6個單位后解析式為y=2x+2-6=2x-4.當(dāng)y=0時,x=2,因此與x軸的交點坐標(biāo)是(2,0),故選D.
點撥:此題主要考查了一次函數(shù)與幾何變換,關(guān)鍵是得出平移后的直線解析式,
二、一次函數(shù)的應(yīng)用
例2 (2015.河南)某游泳館普通票價為20元/張,暑假為了促銷,新推出兩種優(yōu)惠卡:
①金卡售價600元/張,每次憑卡不再收費.
②銀卡售價150元/張,每次憑卡另收10元.
暑假普通票正常出售,兩種優(yōu)惠卡儀限暑假使用,不限次數(shù).設(shè)游泳x次時,所需總費用為y元.
(1)分別寫出選擇銀卡、普通票消費時,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)在同一坐標(biāo)系中,若三種消費方式對應(yīng)的函數(shù)圖象如陶1所示,請求出點A、B、C的坐標(biāo).
(3)請根據(jù)函數(shù)圖象,直接寫出選擇哪種消費方式更合算.
解析:(1)由題意可知,選銀卡消費時y=10x+150,選普通票消費時y=20.
(2)利用函數(shù)圖象交點坐標(biāo)求法分別得…即可.由題意可得:當(dāng)10x+150=20x時,解得x=15,則y=300,故B(15,300).當(dāng)y=10x+150,x=0時,y=150,故A(0,150).由y=10x+150=600,解得x=45,而v=600.故C(45,600).
(3)利用(2)的點的坐標(biāo)以及結(jié)合函數(shù)圖象得出答案,如圖1所示,由A,B,C的坐標(biāo)可得:當(dāng)0
點撥:此題主要考查了一次函數(shù)的英語,數(shù)形結(jié)合得出自變量的取值范圍是解題關(guān)鍵.這類題目內(nèi)容往往與生活實際相貼近,與社會的熱點問題相聯(lián)系,根據(jù)題意找到相應(yīng)的關(guān)系式是關(guān)鍵,注意分情況討論解決實際問題,第(3)問中,金卡、銀卡、普通票三種消費方式作比較,與同學(xué)們平時做題常見到的兩種方案選擇問題有所不同,在臨界點的劃分和數(shù)值計算上容易出現(xiàn)算錯或者漏解的情況.
中考命題預(yù)測
1.關(guān)于函數(shù)y=-x-2的圖象,有如下說法:①圖象過點(0,-2);②圖象與x軸的交點是(-2,0);③由圖象可知y隨x的增大而增大;④圖象不經(jīng)過第一象限;⑤圖象是與直線y=-x+2平行的直線.其中正確說法有().
A.5個 B.4個 C.3個 D.2個
2.某公司準(zhǔn)備與汽車租賃公司簽訂租車合同,以每月用車路程x km計算,甲汽車租賃公司每月收取的租賃費為y元,乙汽車租賃公司每月收取的租賃費為y元,若y、y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示,其中x=0對應(yīng)的函數(shù)值為月固定租賃費,則下列判斷錯誤的是().
A.當(dāng)月用車路程為2000km時,兩家汽車租賃公司的租賃費用相同
B.當(dāng)月用車路程為2300km時,租賃乙汽車租賃公司的車比較合算
C.除去月固定租賃費,甲租賃公司每公里收取的費用比乙租賃公司多
D.甲租賃公司平均每公里收取的費用比乙租賃公司少
3.如圖3,直線l:y=x+1與直線l:y=mx+n相交于點P(a,2),則關(guān)于x的不等式x+1≥mx+n的解集為____.
4.一次函數(shù)y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行且經(jīng)過點A(1,-2),則kb=
.
5.如圖4,直線y=kx-6經(jīng)過點A(4,0),直線y=-3x+3與x軸交于點B,且兩直線交于點C.
(1)求k的值.
(2)求△ABC的面積.
6.某校接受了大型網(wǎng)體操表演任務(wù).為此,學(xué)校需要采購一批演出服裝,A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應(yīng)商.經(jīng)了解:兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價都相同,即男裝每套120元,女裝每套100元,經(jīng)洽談J辦商:A公司給出的優(yōu)惠條件是全部服裝按單價打七折,但校方需承擔(dān)2200元的運費:B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按每套100元打八折,公司承擔(dān)運費.另外根據(jù)大會組委會要求,參加演出的女生人數(shù)應(yīng)是男生人數(shù)的2倍少100人,如果設(shè)參加演出的男生有x人.
(1)分別寫出學(xué)校購買A、B兩公司服裝所付的總費用y(元)和y(元)與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)該學(xué)校購買哪家制衣公司的服裝比較合算?請說明理由.
3.3 反比例函數(shù)
重點難點易混易錯點剖析
復(fù)習(xí)重點:反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),
復(fù)習(xí)難點:反比例函數(shù)圖象的特征和規(guī)律:通過對反比例函數(shù)圖象的研究,建立反比例函數(shù)模型,加強(qiáng)其實際應(yīng)用,提高運用代數(shù)方法解決問題的能力.
易混易錯點:求反比例函數(shù)比例系數(shù)的值或反比例函數(shù)的解析式,比例系數(shù)的幾何意義以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合的問題,反比例函數(shù)與四邊形問題相結(jié)合.
建議在復(fù)習(xí)中注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的運用,注意利用圖形的直觀性解題.
重點考點題型方法點撥
一、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義
例1 (2015.寧德)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y=k/x(x>0)的圖象交矩形OABC的邊AB于點D,交邊BC于點E,且BE=2EC.若四邊形ODBE的面積為6,則k=
解析:連接OB,由矩形的性質(zhì)和已知條件得出△OBD的而積=△OBE的面積=四邊形ODBE的面積的一半=3,在求出△OCE的面積后,即可得出k的值為3.
點撥:本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積的計算、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義與解析式的求法,熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式的求法是解決問題的關(guān)鍵.
二、反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題
例2 (2015.黃岡)如圖2,反比例函數(shù)y=k/x的圖象經(jīng)過點A(-1,4),直線y=-x+b(b≠0)與雙曲線y=k/x在第二、四象限分別相交于P,Q兩點,與x軸、y軸分別相交于C,D兩點.
(1)求k的值.
(2)當(dāng)b=-2時,求△OCD的面積.
(3)連接OQ,是否存在實數(shù)b,使得S=S?若存在,請求出b的值;若不存存,請說明理由.
點撥:本題是反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題的典型題目.求反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo),把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解,若方程組有解則兩者有交點,若方程組無解則兩者無交點,本題也考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和三角形面積公式,最后求b的值時注意取舍.
解析:(1)根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征易得k=-4.
(2)當(dāng)b=-2時,直線解析式為y=-x-2,則利用坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征可求出C(-2,0),D(0,-2),然后根據(jù)三角形面積公式可得△OCD的面積為2.
(1)根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計算:①喝酒后幾小時血液巾的酒精含量達(dá)到最大值?最大值為多少?②當(dāng)x=5時,y=45,求k的值.
(2)按國家規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬丁“酒后駕駛”,不能駕車上路.參照上述數(shù)學(xué)模型,假設(shè)某駕駛員20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否駕車去上班?請說明理由.
3.4 二次函數(shù)
重點難點易混易錯,
復(fù)習(xí)重點:二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應(yīng)用,二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系.
復(fù)習(xí)難點:求二次函數(shù)的解析式,求拋物線的對稱軸、頂點坐標(biāo),能夠構(gòu)造二次函數(shù)模型解決實際中的最值問題.
易混易錯點:二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,由拋物線y=axbx+c的開口方向和對稱軸確定a、b的符號,由拋物線與y軸的交點位置確定c的符號,由拋物線與x軸的交點個數(shù)確定b-4ac的符號.
點撥:本題主要考查二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì),利用二次函數(shù)圖象的對稱性、函數(shù)增減性,對不等式和等式進(jìn)行熟練的變形是解決此類問題的關(guān)鍵.判斷②、⑤的正誤時易出錯,注意靈活運用拋物線的對稱性,認(rèn)真觀察圖象中的特殊點問的位置關(guān)系.
3.5 函數(shù)的綜合問題
重點難點易混易錯點剖析
復(fù)習(xí)重點:一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應(yīng)用,
復(fù)習(xí)難點:函數(shù)的應(yīng)用題,用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想和方法解決函數(shù)與幾何的綜合問題.
易混易錯點:本部分易錯點有兩個:一是代數(shù)式的表達(dá),通常壓軸題中需要用字母表示點的坐標(biāo)、線段長、圖形的周長、面積等,考生常因計算、審題而出錯;二是不等式、方程與函數(shù)的關(guān)系.
點撥:本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,三角形的面積公式,相似三角形的判定與性質(zhì),一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,綜合性強(qiáng),難度適中,正確求出一次函數(shù)的解析式,結(jié)合圖象進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵,注意在實際應(yīng)用問題中,兩種函數(shù)圖象的交點的實際意義往往是分析問題的切入點,同時要考慮自變量的取值范圍.
二、二次函數(shù)的實際應(yīng)用(最值問題)
例2 (2015.南京)某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品,假沒銷售量與產(chǎn)量相等.圖2中的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成
點撥:本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用中的最值問題,掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值的求法是解題的關(guān)鍵.從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型,分兩種情況討論是難點也是易錯點,
點撥:本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,利用軸對稱解決最短路線問題等.確定點P的位置是難點也是易錯點,軸對稱思想的運用是解答本題的關(guān)鍵.
中考命題預(yù)測
1.在一條直線上依次有A、B、C三個港口,甲、乙兩船同時分別從A、B港口出發(fā),沿直線勻速駛向C港,最終到達(dá)C港.設(shè)甲、乙兩船行駛x(h)后,與B港的距離分別為y(km)、y(km),y、y與x的函數(shù)關(guān)系如圖4所示.
(1)A、C兩港口間的距離為____km,a=____.
(2)求圖中點P的坐標(biāo),并解釋該點坐標(biāo)所表示的實際意義.
(3)若兩船的距離不超過10 km時能夠相互望見,求甲、乙兩船可以相互望見時x的取值范圍.
2.某商店經(jīng)營一種小商品,進(jìn)價為每件2.5元,據(jù)市場調(diào)查,銷售單價是13.5元時平均每天銷售量是500件,而銷售價每降低1元,平均每天就可以多售出100件.
(1)假定每件商品降價x元,商店每天銷售這種小商品的利潤是y元,請寫出y與x間的函數(shù)關(guān)系式,并注明x的取值范圍.
(2)每件小商品銷售價是多少元時,商店每天銷售這種小商品的利潤最大?最大利潤是多少?