數(shù)學(xué)教學(xué)：站在思維的制高點上

【摘 要】數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重對知識背后的“知識”的構(gòu)建和重新“組織”，即注重在思維體系的構(gòu)建上做文章。數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重數(shù)學(xué)的思想和觀念，突出數(shù)學(xué)的思維和本質(zhì)，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)才是觸及事物本質(zhì)的學(xué)習(xí)，才是完整的、準(zhǔn)確的、豐富的、深刻的學(xué)習(xí)。學(xué)生也只有建立起了自己的思維體系，才能更好地駕馭知識的學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；教學(xué)案例

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）46-0024-03

【作者簡介】陳柏良，浙江師范大學(xué)特級教師工作流動站（浙江金華，321004）教師，浙江省紹興市高級中學(xué)（浙江紹興，312000）教師，浙江省特級教師。

一直以來，在數(shù)學(xué)課堂上，很多教師總是習(xí)慣于在知識體系的構(gòu)建上做文章，教學(xué)常常在一個知識平面上延展，追求寬泛的“知識面”，而不注重對知識背后的“知識”的構(gòu)建和重新“組織”。而眾所周知，每個學(xué)生都有自己的認知結(jié)構(gòu)，學(xué)到的知識都會儲存于自己的頭腦中，并按一定的方式排列。如果教師平時的教學(xué)習(xí)慣于做知識“堆砌”的文章，那么，學(xué)生儲存于頭腦中的知識，大多是按水平的方式進行排列，表現(xiàn)為儲存的知識顯得比較零散和孤立。

如果教師的教學(xué)注重對知識背后的“知識”的構(gòu)建和重新“組織”，即注重在思維體系的構(gòu)建上做文章，那么學(xué)生儲存于頭腦中的知識，大多是按層次的方式進行排列，儲存的知識有很清楚的條理性和邏輯性，既有原理、方法這種思維層面上的上層知識，又有具體例證的下層知識。顯然，數(shù)學(xué)教學(xué)，需要教師注重在思維體系上做文章。

一、對數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的認識

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重數(shù)學(xué)的思想和觀念，突出數(shù)學(xué)的思維和本質(zhì)。這里所說“數(shù)學(xué)的思想”，不同于我們一般在講的四種主要的數(shù)學(xué)思想方法（即函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想），而是指數(shù)學(xué)的基本思想，是數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展必須依賴的思想。

東北師范大學(xué)史寧中教授研究認為，數(shù)學(xué)的基本思想主要是抽象、推理和模型，這也是學(xué)過數(shù)學(xué)與沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的思維差異。所謂“抽象”，即從現(xiàn)實到數(shù)學(xué)，包括研究數(shù)量與數(shù)量關(guān)系和圖形與圖形關(guān)系。通過抽象得到研究對象的概念，研究對象的關(guān)系，運算方法和運算法則、度量方法。抽象體現(xiàn)數(shù)學(xué)具有一般性。學(xué)過數(shù)學(xué)的人抽象能力強。所謂“推理”，即從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)，得到并且驗證數(shù)學(xué)的結(jié)果：命題。推理體現(xiàn)數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)過數(shù)學(xué)的人推理能力強。所謂“模型”，即從數(shù)學(xué)到現(xiàn)實，用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實世界的故事。模型體現(xiàn)數(shù)學(xué)具有應(yīng)用的廣泛性。學(xué)過數(shù)學(xué)的人會理性思考。

這里提的數(shù)學(xué)的觀念，指數(shù)學(xué)的課程觀念?！坝^”即“看法”，“念”即“想法”，即對數(shù)學(xué)的“課程性質(zhì)：我教的是一門怎樣的課？課程目標(biāo)：它能發(fā)揮怎樣的育人功能，在學(xué)生發(fā)展中所起的不可替代的作用是什么？課程實施：如何教這門課？應(yīng)采取怎樣的教學(xué)策略？課程評價：這樣教在多大程度上實現(xiàn)了它的育人功能？”的看法和想法。

數(shù)學(xué)教學(xué)注重數(shù)學(xué)的思想，就是要求教師在課堂教學(xué)中主要完成三件事：抽象、推理和模型。對于推理，著名數(shù)學(xué)家波利亞強調(diào)既要教正規(guī)的演繹推理，也要教非正規(guī)的、似真的合情推理。他指出，數(shù)學(xué)思維不是完全“正規(guī)的”，它不僅涉及公理、定義和嚴(yán)格證明，而且還包含許多別的方面：從觀察到的情況得出結(jié)論、歸納推理、類比推理；在具體情況里辨認數(shù)學(xué)概念或從具體情況進行數(shù)學(xué)抽象。數(shù)學(xué)教師應(yīng)不失時機地使他的學(xué)生熟知這些相當(dāng)重要的“非正規(guī)的”思想方法。數(shù)學(xué)教學(xué)注重數(shù)學(xué)的觀念，就是要求學(xué)生除了獲得必要的數(shù)學(xué)知識，掌握必要的數(shù)學(xué)技能、原理和方法，體驗和發(fā)展必要的情感、態(tài)度、價值觀之外，還要獲得基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，會看問題、會想問題、會做事情。

數(shù)學(xué)教學(xué)突出數(shù)學(xué)的思維和本質(zhì)，就是要求教師在課堂教學(xué)中要重視教思維，包括思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、深刻性和創(chuàng)造性。要強調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，課堂教學(xué)要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)味”，就要充分關(guān)注數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程，數(shù)學(xué)思想方法的提煉，數(shù)學(xué)理性精神（依靠思維能力對感性材料進行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理，這種認識稱為理性認識。重視理性認識活動，以尋找事物的本質(zhì)、規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系，這種精神稱為理性精神）的體驗等方面。這樣的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生的學(xué)習(xí)才是觸及事物本質(zhì)的學(xué)習(xí)，才是完整的、準(zhǔn)確的、豐富的、深刻的學(xué)習(xí)，即深度學(xué)習(xí)。

二、我們需要怎樣的數(shù)學(xué)課堂

有這樣一個游戲：桌上放置三列牌，每列張數(shù)分別為3，5，7。甲乙兩人輪流在任一列中取任意張牌（每次只能在某一列中?。皇?張牌留給對方取時為勝。

我曾組織甲乙兩名學(xué)生玩這個游戲，任憑他們按規(guī)則隨機取牌，在取牌的過程中，雙方開始琢磨怎樣才能取勝，每悟出一點，我就及時鼓勵，讓他們繼續(xù)游戲，他們不斷地相互總結(jié)怎樣才能取勝，我不斷地肯定和鼓勵，他們不斷地表述各自的心得，列舉出了許多取勝的“殘局”。隨著參悟的增多，概括出了取勝的取牌方法和原理。

我突然想，我們的數(shù)學(xué)課堂不也應(yīng)該如此嗎？課堂上，教師將教學(xué)內(nèi)容作為一個活動過程來加以分析和設(shè)計，在這個活動過程中，學(xué)生始終處于一種積極的參與狀態(tài)，用內(nèi)心的體驗與創(chuàng)造來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，通過自己的思考建立起數(shù)學(xué)理解力，教師的任務(wù)就是為學(xué)生提供自由廣闊的天地，聽任各種不同思維、不同方法自由發(fā)展。在此過程中，教師以“明白了什么”“還有沒有其他發(fā)現(xiàn)”等來鼓舞學(xué)生不斷地“再創(chuàng)造”，讓學(xué)生把各種創(chuàng)造“成果”（哪怕只是一點點）都呈現(xiàn)出來，再與學(xué)生一一“分享”和“甄別”，豈不妙哉！即使未能完成既定的教學(xué)任務(wù)，在我看來，學(xué)生的思維得到了很好的“鍛煉”，也就不失為一堂好課。

一般來說，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計要考慮三條線索：其一，數(shù)學(xué)知識線索，即數(shù)學(xué)知識發(fā)生和發(fā)展的“演繹過程”，也即知識的“邏輯鏈”；其二，學(xué)生的認知線索，即學(xué)生對新知的“建構(gòu)過程”，也即學(xué)生的“思維鏈”；其三，教師的教學(xué)組織線索，即教師為實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)所采用的課堂教學(xué)“組織形式”。這三條線索或明或暗，交融在一起，其中教學(xué)組織線索應(yīng)成為一條主線索。教學(xué)的主體是學(xué)習(xí)的學(xué)生，而非教學(xué)的教師，教師要強化“幕后”意識，真正讓自主、探究、合作成為學(xué)生主要的學(xué)習(xí)方式。

三、數(shù)學(xué)課堂重思維構(gòu)建的案例

基于對數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)和課堂教學(xué)的認識，教師在教學(xué)中要注重在思維體系的構(gòu)建上做文章。如蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修5中關(guān)于“數(shù)列”的教學(xué)，教師可突出函數(shù)思想和類比方法，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建豐富的思維體系。

在對等差、等比數(shù)列的前n項求和公式的推導(dǎo)教學(xué)中，就應(yīng)抓住“如何實現(xiàn)運算方式的轉(zhuǎn)化”這一思維關(guān)鍵設(shè)計教學(xué)活動。在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的過程中，有兩種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法。一種是從特殊到一般的探究思想，另一種是從一般到特殊的化歸思想。教學(xué)從特殊到一般的探究思想，可基于教材，設(shè)計如下三個問題。

問題1：某倉庫堆放的一堆鋼管，最上面的一層有1根鋼管，下面的每一層都比上一層多1根，最下面的一層有100根，怎樣計算這堆鋼管的總數(shù)呢？

問題2：如果某倉庫堆放的一堆鋼管，最上面的一層有1根鋼管，下面的每一層都比上一層多2根，最下面的一層有2n-1根（n∈N*），怎樣計算這堆鋼管的總數(shù)呢？

問題3：求等差數(shù)列{an}的前n項和，即Sn=a1+a2+a3+…+an的值。

揭示從一般到特殊的化歸思想是本節(jié)課思維體系構(gòu)建的關(guān)鍵之處。不少教師常常只注意到“倒序相加”是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的關(guān)鍵，而忽視了對“為何要這樣做”的思考。同樣是求和，求1+2+3+…+100的值與“假設(shè)在這堆鋼管旁邊倒放著同樣一堆鋼管”來求和的本質(zhì)區(qū)別是什么？事實上，前者是“不相同的數(shù)”求和，后者是“相同的數(shù)”求和?！跋嗤臄?shù)求和”是一個極其簡單并且在乘法中早已解決了的問題，將“不相同的數(shù)求和”（一般）化歸為“相同的數(shù)求和”（特殊），這就是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的精髓。不僅如此，將一般的求和問題化歸為我們會求（特殊）的求和問題，這種思維方法還將在以后的求和問題中反復(fù)出現(xiàn)，這是一種具有普遍意義可遷移的思想。在等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程中，其實有這樣一個問題鏈：

為什么要在這堆鋼管旁邊倒放同樣一堆鋼管？（因為想轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和）

為什么“倒序相加”能轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和？（因為等差數(shù)列性質(zhì)）

由此可見，“倒序相加”只是一種手段和技巧，轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和才是解決問題的關(guān)鍵，等差數(shù)列自身的性質(zhì)是所采取的手段能達到目的的根本原因。

當(dāng)然，如果學(xué)生在解決問題1：求S100=1+2+3+…+100的值時，提出可采用“分組配對”的方法來求和，即1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）。那么，教師在肯定這一思維方法后，可不失時機地提出問題2：求Sn=1+2+3+…+n（n∈N*）的值，讓學(xué)生感覺到，此時的分組配對要分“項數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)”來討論，求解后，追問：怎樣才能避免對項數(shù)的討論，自然引出倒放鋼管的思維方法。

類比等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)也要抓住“如何實現(xiàn)運算方式的轉(zhuǎn)化”這一思維關(guān)鍵來設(shè)計教學(xué)。

教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生回顧思考“等差數(shù)列是如何求和的”？它是將“不相同的數(shù)求和”，通過“倒序”化歸為“相同的數(shù)求和”，實現(xiàn)運算方式的轉(zhuǎn)化，其中等差數(shù)列的性質(zhì)起了關(guān)鍵作用。類比等差數(shù)列求和的思維策略，求等比數(shù)列前n項和該如何實現(xiàn)運算方式的轉(zhuǎn)化，以達到化簡求和的目的呢？顯然，我們要將目光聚焦到等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征、項與項的關(guān)系上來。在這一教學(xué)活動的設(shè)計中，要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究的空間。如求S64=1+2+22+…+263的值，引導(dǎo)學(xué)生觀察等比數(shù)列中相鄰兩項存在的關(guān)系ak+1=akq，啟發(fā)學(xué)生如何消項求和：仿照等差數(shù)列倒序相加簡化運算的做法，等比數(shù)列求和該怎樣簡化運算呢？給學(xué)生思考時間，會有學(xué)生在上式兩邊同乘以公比2，得到新式子2S64=2+22+…+263+264，然后與原式作差，消去相同的項，達到化簡求和的目的；在教師的啟發(fā)下，也會有學(xué)生在原式兩邊同乘以，或乘以22等，來實現(xiàn)作差相消求和的目的；甚至?xí)袑W(xué)生采用兩邊同加上1，即1+S64=1+1+2+22+…+263=2+2+22+…+263，不斷從左往右加，得到1+S64=264；及S64=1+2（1+2+22+…+262）=1+2（S64-263）等處理方法，有效地實現(xiàn)運算方式的轉(zhuǎn)化，求出S64=264-1；等等。接著，從特殊到一般，提出問題：求等比數(shù)列{an}的前n項和，即Sn=a1+a2+a3+…+an的值，進一步領(lǐng)悟“錯位相減”這種“消項求和”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，認識它的普遍意義和遷移價值，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

像“數(shù)列”這樣蘊含著豐富數(shù)學(xué)思維的教學(xué)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)教材中俯拾皆是。教師要站在思維的制高點上進行課堂教學(xué)設(shè)計，幫助學(xué)生構(gòu)建完整、豐富的思維體系。如上述對“等差數(shù)列前n項求和公式”的推導(dǎo)中，從“特殊到一般”探究數(shù)學(xué)問題的思想方法和從“一般到特殊”解決數(shù)學(xué)問題的化歸思想方法就是兩種極其重要的思維策略。從等差數(shù)列前n項求和公式的推導(dǎo)思維歷程中“收獲”等比數(shù)列前n項求和公式，是研究數(shù)學(xué)問題的又一思維策略。

簡言之，教師要注重研究數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思維反映的是數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)及其規(guī)律性聯(lián)系，課堂教學(xué)要從重知識體系的構(gòu)建轉(zhuǎn)向重思維體系的構(gòu)建。思維一旦形成體系，即抓住了存在的知識本質(zhì)和規(guī)律性聯(lián)系，就沒有必要耗費過多的時間和精力去做知識堆砌上的文章；學(xué)生也只有建立起了自己的思維體系，才能更好地駕馭知識的學(xué)習(xí)。

【參考文獻】

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