追求數(shù)學(xué)課堂真善美的境界

【摘 要】美麗數(shù)學(xué)課堂應(yīng)以促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展為基點(diǎn)，應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。課程形態(tài)的數(shù)學(xué)文化只有走進(jìn)中小學(xué)課堂，滲入以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、問(wèn)題為引領(lǐng)，學(xué)生主動(dòng)積極參與的實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)之中，成為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)文化，才能真正發(fā)揮其功能與效應(yīng)。以“極坐標(biāo)系”的教學(xué)為例，展示引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值的過(guò)程，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)不僅內(nèi)容美，而且形式美；不僅思想美，而且方法美、技巧美。

【關(guān)鍵詞】美麗課堂；探究活動(dòng)；數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)美

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）46-0016-03

【作者簡(jiǎn)介】劉飚，江蘇省張家港市暨陽(yáng)高級(jí)中學(xué)（江蘇張家港，215600）教師，高級(jí)教師，蘇州市學(xué)科帶頭人。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)理念

數(shù)學(xué)課應(yīng)以促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展為基點(diǎn)。教學(xué)中，筆者采用“自主、合作、探究”的教學(xué)方式，以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、問(wèn)題為引領(lǐng)，力圖使學(xué)生主動(dòng)積極參與到“極坐標(biāo)系”的建立過(guò)程中。在教學(xué)過(guò)程中注重激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象概括能力、推理能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問(wèn)題的習(xí)慣。通過(guò)豐富的實(shí)例引進(jìn)“極坐標(biāo)系”，讓學(xué)生感受坐標(biāo)系的作用，感受曲線的美和數(shù)學(xué)的魅力。

坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)。建立了坐標(biāo)系，我們就可以把幾何圖形用代數(shù)式表示出來(lái)，為用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題提供了基礎(chǔ)。本節(jié)課是蘇教版《高中數(shù)學(xué)》（選修4-4）中的內(nèi)容，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生了解在不同的坐標(biāo)系中相同的幾何圖形有不同的表示形式，它為我們研究一些復(fù)雜的曲線（螺線、玫瑰線等）提供了工具。

二、教學(xué)片段

1.問(wèn)題情境。

師：在我們的生活中到處都有一些優(yōu)美的幾何圖形與曲線。如，植物葉子形狀與嫩芽藤尖，特別是嫩芽藤尖與我們學(xué)習(xí)過(guò)的一些曲線不同，我們稱它為“螺線”。

一動(dòng)點(diǎn)沿一直線作等速移動(dòng)，它的軌跡是什么？

生1：動(dòng)點(diǎn)的軌跡是直線。

師：直線上一點(diǎn)繞另一點(diǎn)O作等角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

生2：動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓。

師：一動(dòng)點(diǎn)沿一直線作等速移動(dòng)的同時(shí)，該直線又繞線上一點(diǎn)O作等角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

生3：動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線。

（教學(xué)意圖：讓學(xué)生體會(huì)到生活中到處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們的身邊，數(shù)學(xué)蘊(yùn)藏在生活中的每個(gè)角落。數(shù)學(xué)不僅是冷冰冰的數(shù)字、符號(hào)、法則、公式，數(shù)學(xué)還與歷史文化相勾連，讓我們看到數(shù)學(xué)的美。研究曲線從直線到圓，再到兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的疊加，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，逐步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。）

2.學(xué)生活動(dòng)。

師：大家想一想，以前我們是如何研究曲線的？

生4：建立坐標(biāo)系后找到軌跡方程，可以通過(guò)方程研究曲線的性質(zhì)。

師：很好！下面我們看一個(gè)具體的阿基米德螺線問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)沿一直線以2cm/s作等速移動(dòng)的同時(shí)，該直線又繞線上一點(diǎn)O以1rad/s作等角速度旋轉(zhuǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是什么？

生5：首先，建立直角坐標(biāo)系。

師：很好！下面請(qǐng)同學(xué)們分組建立直角坐標(biāo)系求出具體的阿基米德螺線問(wèn)題中動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

（教學(xué)意圖：引導(dǎo)學(xué)生了解直角坐標(biāo)系的建立過(guò)程，理解建立直角坐標(biāo)系的方法，為極坐標(biāo)系建立做好準(zhǔn)備。）

師：有沒(méi)有哪組同學(xué)能在直角坐標(biāo)系中求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程？

（學(xué)生感到有困難）

師：在小組討論中我們發(fā)現(xiàn)直角坐標(biāo)系里很難求出軌跡方程。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)原點(diǎn)在O點(diǎn)時(shí)，t時(shí)刻動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為多少？距離記作ρ。

生6：ρ=2t。

師：直線又繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的角度為多少？角度記作θ。

生6：θ=t。

師：曲線上任意一點(diǎn)距離與角度的關(guān)系式是什么？

生6：ρ=2θ。

（教學(xué)意圖：設(shè)計(jì)這樣一個(gè)特殊的問(wèn)題情境，讓學(xué)生體會(huì)用直角坐標(biāo)系很難求出軌跡方程，從而思考有沒(méi)有其他的解決方案，引出曲線上任意一點(diǎn)還可用距離與方向表示。）

師：在生活中有這樣用一點(diǎn)的位置來(lái)表示的實(shí)例嗎？比如說(shuō)，有人在校門(mén)口問(wèn)你人民醫(yī)院怎么走？

生7：門(mén)口向西400米。

師：向西是角度，400米是距離。

師：大家想一想，在某些軍事題材的影視劇中狙擊手與觀察手是如何確定目標(biāo)位置的？

生8：用幾點(diǎn)鐘方向加距離來(lái)表示位置。

（教學(xué)意圖：通過(guò)豐富的實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)曲線上任意一點(diǎn)位置可用距離與方向表示，甚至有時(shí)候用距離與方向表示更簡(jiǎn)潔，讓學(xué)生體會(huì)建立極坐標(biāo)系的必要。）

3.概念建構(gòu)。

師：類似于直角坐標(biāo)系，我們用距離與方向也可以建立一個(gè)坐標(biāo)系，稱為極坐標(biāo)系。大家思考一下，如何建立極坐標(biāo)系呢？

生9：類比直角坐標(biāo)系的建立，要表示距離就必須在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O。

師：定點(diǎn)記作O，叫作極點(diǎn)。

師：方向怎么表示呢？

生9：方向可以用角度表示，要有角度必須有初始位置，引一條射線。

師：射線記作Ox，叫作極軸。這樣極坐標(biāo)系建好了嗎？

生10：再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度單位以及它的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?。這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。

師：那極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)如何規(guī)定呢？

生11：對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用 ρ表示線段OM的長(zhǎng)度，用θ表示從Ox到OM的角度，有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）就叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo)。

師：ρ叫作點(diǎn)M的極徑，θ叫作點(diǎn)M的極角。

（教學(xué)意圖：概念教學(xué)的核心是“概括”，要將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)打開(kāi)。教師通過(guò)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)把概念中隱藏的自然性生態(tài)還原出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生分析各事例的屬性，抽象概括其共同的本質(zhì)屬性，以及歸納得出數(shù)學(xué)概念。）

師：那極點(diǎn)坐標(biāo)如何表示呢？大家可以想一想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有沒(méi)有遇到過(guò)類似的問(wèn)題？是如何解決的？

生12：零向量。極點(diǎn)坐標(biāo)（0，θ），θ是任意角。

師：如果極徑為負(fù)值，例如H（-2，■），則H（-2，■）的位置在哪里呢？

生12：向量前面加負(fù)號(hào)表示相反方向。這里也可以作類似處理。

師：如果OM的長(zhǎng)度為2，那么極角θ=■的點(diǎn)有沒(méi)有其他表示方法？

生眾：（2，2kπ+■），（k∈Z）或（-2，2kπ+π+■），（k∈Z）。

師：這些極角有何關(guān)系？

生13：這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說(shuō)，它們是終邊相同的角。

師：在極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)情況是怎樣的？為什么？

生14：給定（ρ，θ），就可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)M。但是，給定平面上一點(diǎn)M，卻有無(wú)數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對(duì)應(yīng)。這主要是因?yàn)闃O角有無(wú)數(shù)個(gè)。

師：一般地，若（ρ，θ）是某點(diǎn)的極坐標(biāo)，那么有沒(méi)有其他的表示方法？

生15：一般地，若（ρ，θ）是某點(diǎn)的極坐標(biāo)，則（ρ，θ+2kπ）或（-ρ，θ+π+2kπ）都可以作為它的極坐標(biāo)。

師：如何規(guī)定才可以使平面內(nèi)的點(diǎn)和它的極坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)呢？

生16：如果限定ρ>0，0≤θ<2π或-π<θ≤π，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對(duì)應(yīng)了。

（教學(xué)意圖：通過(guò)設(shè)問(wèn)，與以前學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)想、類比來(lái)解決問(wèn)題，逐步完善極坐標(biāo)的概念，從而加深學(xué)生對(duì)概念的理解。）

4.課后閱讀。

相關(guān)數(shù)學(xué)史：（1）貝努利于1691年在《教師學(xué)報(bào)》上最先發(fā)表了有關(guān)極坐標(biāo)系的理論；（2）關(guān)于極坐標(biāo)系的建立，牛頓完成于1671年，于1736年發(fā)表論著，把極坐標(biāo)看成是確定平面上點(diǎn)的位置的方法，并與其他坐標(biāo)進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化；（3）介紹在極坐標(biāo)系下的一些曲線圖形，如螺線、心形線、玫瑰線等。

（教學(xué)意圖：在數(shù)學(xué)課堂上傳授的知識(shí)是具有開(kāi)放性的。除了強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)書(shū)本里的知識(shí)以外，還應(yīng)重視生活知識(shí)和社會(huì)知識(shí)，要求在擴(kuò)展學(xué)生書(shū)本知識(shí)的基礎(chǔ)上提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用技能，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。）

三、教學(xué)感悟

1.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱“標(biāo)準(zhǔn)”）強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀?！睒?biāo)準(zhǔn)還要求，“通過(guò)在高中階段數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，學(xué)生將初步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值，開(kāi)闊視野，尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，激發(fā)對(duì)于數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動(dòng)力的認(rèn)識(shí)，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，從而提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)”。但是，課程形態(tài)的數(shù)學(xué)文化只有走進(jìn)中小學(xué)課堂，滲入實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)之中，成為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)文化，才能真正發(fā)揮其功能與效應(yīng)。

那么，如何才能更有效地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化魅力呢？筆者認(rèn)為，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與思考能力的培養(yǎng)，以及由于思考而帶來(lái)的智力愉悅，恰恰體現(xiàn)了更為本質(zhì)的數(shù)學(xué)文化的魅力，因?yàn)閿?shù)學(xué)最內(nèi)在的文化感受應(yīng)該是數(shù)學(xué)本身，即數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思考的靈動(dòng)。如果數(shù)學(xué)課堂使得學(xué)生真正感受到了思維的快樂(lè)，并且思考的方式方法與思維的能力得到提升，那么數(shù)學(xué)文化的張力也就得到了真正的實(shí)現(xiàn)。

2.在教學(xué)行為層面上開(kāi)展探究活動(dòng)。

標(biāo)準(zhǔn)指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造’過(guò)程?！痹谏鲜鼋虒W(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，體會(huì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，從而構(gòu)建學(xué)生自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。例如，讓學(xué)生通過(guò)回憶直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)理解極坐標(biāo)系的建立過(guò)程，進(jìn)而探索在極坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定方法。這既能鞏固直角坐標(biāo)系這一重要的幾何知識(shí)，同時(shí)也能讓學(xué)生體會(huì)建立極坐標(biāo)系的必要性。進(jìn)一步地，教師還注重培養(yǎng)學(xué)生的“應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)”，使學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，形成在生活和工作中應(yīng)用數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣。例如，教師讓學(xué)生扮演狙擊手和觀察手，以游戲的方式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)極坐標(biāo)系在平面定位中的作用。這充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指向與要求。

3.感受數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)潔性和奇異性。

數(shù)學(xué)美具有科學(xué)美的一切特性。數(shù)學(xué)不僅內(nèi)容美，而且形式美；不僅思想美，而且方法美、技巧美，簡(jiǎn)潔、勻稱、奇異到處可見(jiàn)。要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美，就要善于捕捉數(shù)學(xué)美的因素，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵。在上述教學(xué)過(guò)程中，筆者著重從數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)潔性和奇異性入手，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。例如，通過(guò)在直角坐標(biāo)系中研究阿基米德螺線問(wèn)題中動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)極坐標(biāo)系在描述某些曲線圖形時(shí)的簡(jiǎn)潔和實(shí)用；同時(shí)，在觀察極坐標(biāo)系下點(diǎn)與極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)情況時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其與在直角坐標(biāo)系中的情況完全不一樣，幫助學(xué)生理解這種變化產(chǎn)生的原因，由此培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的創(chuàng)造性。

數(shù)學(xué)課堂的眼界，從純粹的數(shù)與形以及狹義的概念與定理提升到追求數(shù)學(xué)的真善美，數(shù)學(xué)便不再是枯燥抽象的，而是很有用。我們更應(yīng)該通過(guò)聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)的教學(xué)，實(shí)現(xiàn)“追求美麗課堂”這一理想境界。