方案設計與決策型問題有效解決策略探微

馬志強

[摘 要] 方案設計與決策型問題是初中數(shù)學的重要題型，也是教學的重難點，更是中考的重要考點. 此類題主要與方程、不等式、函數(shù)等教學內容有一定的聯(lián)系，在解決過程中往往需要用到分類討論、建模等數(shù)學思想，難度大，綜合性強，題型靈活多樣，因此，認真探究方案設計與決策型問題的有效解決策略，有著重要的意義.

[關鍵詞] 方案設計；思想方法；方程；函數(shù)；模型

方案設計與決策型問題是探究最佳解決方案的一種題型，這種題型主要應用于工程問題中的調配、運輸成本最大（?。﹩栴}、商品銷售中的利潤問題等，其最大的特點是數(shù)量較為復雜，題型較為靈活，綜合性較強，難度較大，是中考的熱點問題. 本文結合近幾年中考出現(xiàn)的具體題目，通過詳細分類對之進行深入探究，力求找到解決此類問題的具體策略，以提高學生的數(shù)學學習效率.

利用不等式（組）進行方案設

計決策

不等式（組）是初中數(shù)學教學的重要內容，利用不等式（組）進行方案設計決策是一種重要的解決方法，能夠為學生提供解決此類問題的思路與方法.

例1 江蘇阜寧地震發(fā)生后，全國人民發(fā)揚“一方有難，八方支援”的精神，掀起了抗震救災的熱潮. 某地民政部門經(jīng)過一天的努力，募集到了30噸瓶裝飲用水和13噸方便面等食物. 現(xiàn)打算將其運輸?shù)綖膮^(qū)，需要租用A，B兩種型號的貨車進行運載. A型貨車每輛可運載5噸水和1噸食物，B型貨車每輛可運載3噸水和2噸食物，如果租用的貨車共有9輛，并且要求一次性將捐助物資運完，應如何選擇運輸方案？

分析 通過分析發(fā)現(xiàn)，運輸方案的選擇與車的數(shù)量有關，這就需要設一種貨車的數(shù)量，然后利用所設的未知數(shù)表示出所有的未知量，并根據(jù)題目要求建立適當?shù)牟坏仁浇M進行解決. 設租A型貨車x輛，則租B型貨車（9-x）輛. 根據(jù)這些捐助物資需要一次性運完可得一元一次不等式組5x+3（9-x）≥30，x+2（9-x）≥13， 解得x≥，x≤5， 所以不等式組的解集為≤x≤5. 因為x取整數(shù)，所以x可取2，3，4，5. 從而可得到運輸方案共有四種：①租用A型貨車2輛、B型貨車7輛；②租用A型貨車3輛、B型貨車6輛；③租用A型貨車4輛、B型貨車5輛；④租用A型貨車5輛、B型貨車4輛.

通過一元一次不等式組可以進行方案的設計和優(yōu)化并進行科學合理的決策，這是解決此種題型最常用的方法之一. 只要學生能夠熟練把握其中的各個數(shù)量，運用不等式建立不等關系，就能迅速解決問題. 因此，在教學過程中，教師要重視這種題型的教學，并進行科學的方法指導.

利用方程進行方案設計決策

方程是初中數(shù)學教學的重要內容，應用也較為廣泛，在應用方程解決實際問題中，大多是利用等量關系求出具體的數(shù)值從而解決問題，而利用方程進行方案設計與決策的題型則相對較少，這種類型的題目往往需要先進行簡單分類，采用分類討論與建模思想解決問題，運算量不大，運算也相對簡單，大都需要與實際相聯(lián)系，才能順利解決問題.

例2 里約奧運會期間，一球迷俱樂部150人打算租A，B，C三種型號的車去看籃球決賽，這三種型號的車的載客量不同，A，B，C三種型號的車的載客量分別是50人、30人、10人，并且要求每輛車必須滿員，A種型號的車最多租2輛，試求一次性載完這150名球迷的租車方案.

分析 通過分析發(fā)現(xiàn)，要想解決這一問題，需要先確定A型車的數(shù)量，然后設租用B或C型車的數(shù)量，接著用所設未知數(shù)表示其他未知量，建立方程進行化簡，最后通過討論解決問題. 由于A型車最多租2輛，所以可設租B型車x輛，租C型車y輛，然后分兩種情況進行討論：①當租A型車1輛時，根據(jù)題意，可列出方程30x+10y+50×1=150，化簡得3x+y=10，因為x，y都為整數(shù)，所以滿足關系式的x，y有x=1，y=7或x=2，y=4或x=3，y=1. ②當租A型車2輛時，根據(jù)題意，可列出方程30x+10y+50×2=150，化簡得3x+y=5，因為x，y都為整數(shù)，所以滿足關系式的x，y只有x=1，y=2. 綜上可知，租車方案共有以下四種：方案一，租A型車1輛、B型車1輛、C型車7輛；方案二，租A型車1輛、B型車2輛、C型車4輛；方案三，租A型車1輛、B型車3輛、C型車1輛；方案四，租A型車2輛、B型車1輛、C型車2輛.

由此可見，利用方程結合實際情況也可以有效解決方案設計與決策型問題，但這種解決方案與分類討論數(shù)學思想有著密切的聯(lián)系，需要建立在學生對分類討論思想方法熟練掌握和運用的基礎之上.

利用函數(shù)進行方案設計決策

1. 利用一次函數(shù)進行方案設計決策

函數(shù)關系是一種重要的數(shù)量關系，利用函數(shù)關系通過計算得出的結果作為決策的依據(jù)是中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的題型，這種題型往往不會只是單一的函數(shù)問題，往往與不等式結合在一起，根據(jù)函數(shù)的性質和不等式的范圍，通過計算得出最省的方案，并以之作為決策的重要依據(jù).

例3 為了改善西部地區(qū)的教育面貌，東部城市A市打算支援西部400臺電腦，東部城市B市打算支援西部1000臺電腦. 為了資源均衡、節(jié)約費用，現(xiàn)打算從東部運800臺給C市，運600臺給D市. 已知從A市運往C市、D市的運費分別是3元/臺和5元/臺，從B市運往C市、D市的運費分別是4元/臺和8元/臺. 如何調運才能使費用最??？最省的方案是什么？

分析 通過審題可以發(fā)現(xiàn)，運費與所運的臺數(shù)有著密不可分的聯(lián)系，因此可以設從A市運往C市x臺，總費用為y元，則從A市運往D市（400-x）臺，從B市運往C市（800-x）臺，從B市運往D市（200+x）臺. 根據(jù)題意得y=3x+5（400-x）+4（800-x）+8（200+x），化簡得y=2x+6800. 因為2>0，所以y隨x的增大而增大，當x=0時，調運費用最低，為6800元，此時的調運方案為從A市運往C市0臺，從A市運往D市400臺，從B市運往C市800臺，從B市運往D市200臺.

從以上分析可以看出，利用一次函數(shù)進行方案設計與決策比利用不等式或不等式組解決問題更為簡單，但需要對一次函數(shù)的相關知識尤其是函數(shù)的性質掌握較好.

2. 利用二次函數(shù)進行方案設計決策

利用二次函數(shù)進行方案設計決策也是中考常見的題型，其大多與商品交易中的銷售利潤有關，數(shù)量復雜、綜合性強，是學生容易失分的題目，這種題型有時與方程、不等式結合在一起，有時獨立出現(xiàn)，通過將實際問題轉化為二次函數(shù)，將所列的函數(shù)解析式進行化簡，然后利用二次函數(shù)的性質求最值，從而解決問題.

例4 泰州市國美商城將進價為2000元的某品牌洗衣機以2400元售出時，每天可以賣出8臺，為了增加利潤，商城決定在“五一”期間搞一次降價促銷活動. 通過調查發(fā)現(xiàn)，洗衣機的售價每降低50元，平均每天就會多售出4臺. 試問這種洗衣機每臺降價多少元時，商城才能獲得最大的銷售利潤，最大銷售利潤是多少.

分析 要解決這一問題，必須搞清降價與銷售利潤之間的關系. 但降價和利潤都是未知量，這就需要學生先設元，然后根據(jù)題意得出兩者之間的關系. 設每臺洗衣機降價x元，商場每天銷售這種洗衣機的利潤是y元，由題意可得y=（2400-2000-x）8+x，化簡得y=-x2+24x+3200. 要想求出商場每天銷售這種洗衣機的最高利潤，還需將二次函數(shù)解析式化為頂點式，并利用頂點式坐標公式求出最值. 因為y=-x2+24x+3200=-（x-150）2+5000，根據(jù)二次函數(shù)的性質可知當x=150時，商場每天銷售這種洗衣機的利潤最大，最大利潤是5000元.

通過以上分析可以看出，利用二次函數(shù)解決方案設計與決策問題可以實現(xiàn)化繁為簡、化難為易，但需要注意的是，在利用二次函數(shù)的性質求最值時，一定要注意自變量的取值范圍，只有頂點坐標的橫坐標在自變量的取值范圍之內才能準確求解.

當然，方案設計與決策型問題在實際教學中并不是單一運用不等式、方程、函數(shù)就可以解決，大多是綜合以上兩種甚至三種方法，這就需要學生熟練掌握各種題型并靈活運用，不斷提高自身分析問題和解決問題的能力.

總之，方案設計與決策型問題是初中數(shù)學的重要問題，也是學生感覺較難的題型，因此，在實際教學過程中，教師要對學生進行解題方法的指導，積極探求有效解決此類題型的有效策略，不斷提高學生解決實際問題的能力，實現(xiàn)數(shù)學課堂教學的高效化.