抽絲剝繭見真意踏雪留痕顯實效

陸永宏

[摘 要] 復(fù)習(xí)課是對已經(jīng)學(xué)過的知識再加工、再深化的過程，其最佳的效果是融知識技能、思想方法、創(chuàng)新能力于一體，讓學(xué)生復(fù)習(xí)知識、理清脈絡(luò)、凸顯思想方法. 本文從軸對稱復(fù)習(xí)課自然展開，分為四個過程，抓住共性特征，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的前提下，掌握整體結(jié)構(gòu)，提升能力.

[關(guān)鍵詞] 軸對稱；復(fù)習(xí)課；通式通法

眾所周知，復(fù)習(xí)課是對學(xué)過的知識再加工、再深化的過程. 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課最佳的效果是融知識技能、思想方法、創(chuàng)新能力于一體，學(xué)生在定義、定理、公式、法則學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，把原來新授課的知識點重新串聯(lián)起來，形成知識體系鏈狀結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生把沒有掌握到位的知識進行再加工和提煉. 這種重新建構(gòu)，是讓學(xué)生從更高的視野和角度俯視新授課的內(nèi)容，從轉(zhuǎn)化的角度去發(fā)現(xiàn)、思考、解決綜合性問題，在難點突破處做到“抓鐵留痕”；在通式通法處力求做到“踏雪留印’，這個“印記”不僅僅是一種舊知識的重現(xiàn)，更需要感悟數(shù)學(xué)本真，從知識的融會貫通中理解和思考通式通法的合理性和價值. 教師引導(dǎo)學(xué)生思考解法的理由和合理性，這樣的解法對于同一類問題有何啟發(fā)和指導(dǎo)意義？是否可以進行遷移和創(chuàng)新？這樣的復(fù)習(xí)課設(shè)計，不僅上出了新授課的味道，更能使學(xué)生在不斷的思辨中體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，悟道與體驗同時進行，在同與不同的思辨中得到能力的發(fā)展. 因此，教師應(yīng)該創(chuàng)造性地組織復(fù)習(xí)活動，不急于拋出自己的解法、觀點，而是在對話教學(xué)中享受“慢教育”，“留白”中讓學(xué)生通過獨立思考，表達對相同問題的個人見解. 雖然學(xué)生理解的程度不同，卻各具特色. 在不斷追求新知的過程中，學(xué)生的雙基能力不斷夯實，復(fù)習(xí)過程也呈現(xiàn)出了喜人的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造場面，發(fā)散徹底，聚焦到位，體驗實踐中結(jié)合教師進行的變式訓(xùn)練讓學(xué)生參與試講，教師則把握思維核心，立足于通法通式感知，充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，基于學(xué)情的試問試講技巧指導(dǎo)無一不彰顯執(zhí)教者的深厚功力！

軸對稱是數(shù)學(xué)中常見的圖形變換，也是中考常見考題，軸對稱圖形作為其中重要的考點之一，常常以不同的形式出現(xiàn)在我們的中考題中，下面以復(fù)習(xí)課的設(shè)計為綱要，以近年來各地的中考題為例，對難度和層次不斷深入，通過四個“一”的形式來實踐軸對稱復(fù)習(xí)課的一些做法，借以和同仁探討交流.

以題為基——關(guān)于軸對稱圖形

的基礎(chǔ)題

原題 如圖1，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC，BC于E，D兩點，EC=4，△ABC的周長為23，則△ABD的周長為（ ）

A. 13 B. 15 C. 17 D. 19

分析 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可以得出AD=CD，AE=CE，所以AC=8. 由△ABC的周長為23，EC=4，易得△ABD的周長.

解答 因為DE是AC的垂直平分線，所以AD=CD，AE=CE=4. 所以AC=8. 因為△ABC的周長為23，所以AB+BC+AC=23，所以AB+BC=15. 所以△ABD的周長=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故選B.

變式 如圖1，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABC的周長為19 cm，△ABD的周長為13 cm.

（1）求AE的長；

（2）若AD=BD，∠C=30°，求∠B，并探索此時AB與DE的位置關(guān)系.

以圖為主——關(guān)于軸對稱圖形

的作圖題

原題 如圖2，在10×10的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的位置如圖所示.

（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△ABC；

（2）將△ABC向左平移3個單位長度后得到△ABC，畫出△ABC.

分析利用軸對稱的性質(zhì)可得出三角形各頂點的對應(yīng)位置，再用平移的性質(zhì)可得出各對應(yīng)點的位置.

解答 如圖3，△ABC和△ABC即為所求.

變式 如圖2，在10×10的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的位置如圖所示.

（1）請求出圖中△ABC的面積；

（2）請在x軸上找一點P，使得PA+PB的值最??；

（3）在方格紙中找一點D（點C除外），使得△ABD為等腰三角形，請畫出所有符合條件的點D.

以法為本——關(guān)于軸對稱圖形

的綜合題

原題如圖4，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一條直線上，連接BE. 已知∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.

（1）求證：AD=BE；

（2）求∠AEB.

分析（1）證明兩條線段相等是中考常見題型，而通法是證這兩條線段所在的兩個三角形全等.

（2）結(jié)合（1）中所證的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通過角的計算即可算出∠AEB.

解答 （1）因為∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，所以∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°. 因為∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，所以∠ACD=∠BCE. 因為△ACB和△DCE均為等腰三角形，所以AC=BC，DC=EC. 在△ACD和△BCE中，因為AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，所以△ACD≌△BCE（SAS）. 所以AD=BE.

（2）因為△ACD≌△BCE，所以∠ADC=∠BEC. 因為A，D，E在同一條直線上，且∠CDE=50°，所以∠ADC=180°-∠CDE=130°. 所以∠BEC=130°. 因為∠BEC=∠CED+∠AEB，所以∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.

變式 如圖4，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一條直線上，連接BE.

（1）求證：AD=BE；

（2）若AD=CD，求∠ABE，并探索此時CD與BE的關(guān)系.

以綱為領(lǐng)——經(jīng)典問題反復(fù)研

究

原題 如圖5，在頂角∠BAC為120°的等腰三角形ABC中，底邊BC=2，DE垂直平分AB于點D，則△ACE的周長為（ ）

A. 2+2 B. 2+

C. 4 D. 3

分析 過點A作AF⊥BC于點F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠C=30°. 于是有AB=AC=2. 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得BE=AE，即可求得△ACE的周長.

解答 如圖6，過點A作AF⊥BC于點F，因為AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，BF=CF=. 所以AB=AC=2. 因為DE垂直平分AB，所以BE=AE. 所以AE+CE=BE+CE=BC=2. 所以△ACE的周長=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，選A.

點評 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，主要考查運用性質(zhì)進行推理的能力.

變式 如圖7，點D是△ABC的邊AC上一點（不含端點），AD=BD，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. AC>BC B. AC=BC

C. ∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC

分析 根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等，由AD=BD得∠A=∠ABD. 所以∠ABC>∠A. 則可對C，D選項進行判斷；根據(jù)大角對大邊可對A，B進行判斷.

解答 因為AD=BD，所以∠A=∠ABD. 所以∠ABC>∠A，所以選項C和選項D錯誤. 因為∠ABC>∠A，所以AC>BC. 所以選項A正確；選項B錯誤.

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等. 本題還考查了三角形中大角對大邊.

這樣的課，看似容量不大，但對學(xué)生思維的訓(xùn)練卻十分到位. 軸對稱復(fù)習(xí)課作為一種經(jīng)典的常態(tài)復(fù)習(xí)課，從四個“一”可以高度概括出學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)典方法. 當(dāng)然，教無定法、貴在得法！雖然復(fù)習(xí)課的模式是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容而確定的，不能一概而論，但是教師心里裝著孩子，帶著“新授課”的感覺，結(jié)合復(fù)習(xí)課的特點，從不同的角度切入，呈現(xiàn)思維的豐富多彩，就能使復(fù)習(xí)課教學(xué)之“路”走得更加精心、精彩（把握每一個知識點，所有可能考查的題型，細且實，基于中考必考，在看似會做、一做就錯處選題、練題，在師生合作講題中尋找復(fù)習(xí)課的出路），有“根”可依（復(fù)習(xí)課的內(nèi)容永遠是基礎(chǔ)），有“據(jù)”可循（真正實現(xiàn)思維在碰撞中激發(fā)），讓點、線、面縱橫交錯，編織成網(wǎng)，真正有效地促成復(fù)習(xí)課的質(zhì)量. 只有這樣，復(fù)習(xí)的效果才能真正落到實處.

敢問復(fù)習(xí)課的路在何方？四個“一”的復(fù)習(xí)思路指明了方向：復(fù)習(xí)過程中，牢牢抓住生情和學(xué)情，注意知識點之間的綜合聯(lián)系，連點成線、線連成面，形成系統(tǒng)的復(fù)習(xí)和訓(xùn)練內(nèi)容，在主體“試問試講”的充分參與中自我搭建所學(xué)的知識樹. 當(dāng)復(fù)習(xí)處于尾聲，教師引導(dǎo)學(xué)生概括一類問題的解決模式，于通式通法處再次強化方法，滲透數(shù)學(xué)思想，這是復(fù)習(xí)課能否達到目的的不二法門.