運(yùn)用數(shù)形結(jié)合提升學(xué)生思維能力

伍麗霞

重慶市謝家灣小學(xué)教師，重慶市數(shù)學(xué)特級教師、數(shù)學(xué)骨干教師、九龍坡區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。多次在市區(qū)級數(shù)學(xué)賽課中獲獎(jiǎng)；撰寫的多篇論文分別獲得國家、市、區(qū)級獎(jiǎng)勵(lì)，并在各級雜志發(fā)表；參與編寫《小梅花系列叢書—五年級數(shù)學(xué)樂園》教材（教育科學(xué)出版社出版），《小學(xué)升初中數(shù)學(xué)壓軸題全解題庫》（吉林教育出版社出版）等各類教學(xué)輔導(dǎo)書籍。

一、數(shù)形結(jié)合可使復(fù)雜問題簡單化

華羅庚先生曾說，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”。形象說明了數(shù)形結(jié)合的重要性，指出數(shù)學(xué)問題應(yīng)從數(shù)形相聯(lián)系入手。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過“以形助教”或“以數(shù)解形”，可使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決問題的能力作為重要目標(biāo)。這給教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中解決如何從具體事物中抽象出數(shù)學(xué)問題，如何從感性思維上升到理性思維提出了具體要求。而數(shù)形結(jié)合思想正是實(shí)現(xiàn)該類問題教學(xué)的有效例證之一。

長期以來，在教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，受到數(shù)學(xué)教師的重視，數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，容易被教師忽視。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師能有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想設(shè)計(jì)教學(xué)，將非常有利于學(xué)生從不同側(cè)面加深對問題的認(rèn)識(shí)和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。在教學(xué)三年級下冊第8單元《連乘法解決問題》時(shí)發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生特別是年齡較小的學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系還存在一定困難。為此，筆者經(jīng)過思考研究，結(jié)合數(shù)學(xué)課堂趣味性與思辨性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，在生活圖片和抽象數(shù)學(xué)問題中間設(shè)置了過渡數(shù)學(xué)幾何圖形（抽象圖形），既減小了學(xué)生思維跨度，便于數(shù)學(xué)問題的進(jìn)一步理解，又使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

二、數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐應(yīng)用

片段一：

用連乘法解決問題是人教版義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)課程三年級下冊8單元內(nèi)容，教材采用學(xué)生排隊(duì)做操的圖案作為引導(dǎo)新知識(shí)的開始。

如圖1，由于圖中沒有給出更多的數(shù)學(xué)信息，呈現(xiàn)的三個(gè)方陣不完整，所以當(dāng)教師問學(xué)生們從圖中可以發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息以及能提出什么數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生的回答千奇百怪，并且對方陣的數(shù)量產(chǎn)生了歧義。為什么會(huì)出現(xiàn)這些現(xiàn)象呢？設(shè)想只用兩三分鐘的主題切入?yún)s花費(fèi)了將近十分鐘時(shí)間，并且學(xué)生們出現(xiàn)爭論，在這里糾纏不清。

片段二：

學(xué)生們終于弄清楚主題圖的含義，提出合理的數(shù)學(xué)問題后，用三種方法解決了該問題。

方法一：10×8×3=240（人）

方法二：10×3×8=240（人）

方法三：10×（3×8）=240（人）

在理解三種方法的意思時(shí)，部分學(xué)生出現(xiàn)困難：方法二和方法三，先求的是什么？后求的是什么？看著抽象的數(shù)量，學(xué)生眉頭緊鎖，睜著茫然的眼睛看著黑板。

怎樣才能讓學(xué)生真正理解數(shù)量之間的關(guān)系呢？主題圖出示的生活圖片為什么不能解決學(xué)生的問題？

于是，筆者與同教研組的教師們進(jìn)行了研究，改進(jìn)，第二次又走進(jìn)課堂。

首先，將教材中不完整的主題圖修改，呈現(xiàn)了三個(gè)完整的方陣（見圖2），并將文字信息（三個(gè)方陣，每個(gè)方陣的行列人數(shù)等信息）滲透于圖中。這時(shí)孩子們發(fā)現(xiàn)，信息和收集信息的速度和準(zhǔn)確率非常高，很快切入教師預(yù)設(shè)的主題。

其次，教學(xué)中教師把主題圖換成了點(diǎn)子圖（圖3、圖4）發(fā)給每個(gè)學(xué)生，學(xué)生可以根據(jù)自己的要求擺放每張點(diǎn)子圖。通過點(diǎn)子圖的擺放，學(xué)生化靜為動(dòng)，通過擺放點(diǎn)子圖的位置，理解不同方法的含義。再通過對比尋找到三種方法的相同與不同，讓學(xué)生們更深刻理解每種方法，提升了學(xué)生的思維。在學(xué)生的臉上，教師看到了喜悅的笑容。

三、數(shù)形結(jié)合對學(xué)生思維提升的表現(xiàn)

課堂結(jié)束，筆者的腦海里不斷交互出現(xiàn)上課的情景。為什么即使是生活圖片，學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系還會(huì)出現(xiàn)困難？返回到班上問學(xué)生，方陣圖片和點(diǎn)子圖片誰更能讓你理解這三種方法。學(xué)生紛紛表示點(diǎn)子圖好理解一些，緣由是點(diǎn)子圖通過不同的擺放更能讓人感受到數(shù)量之間的關(guān)系。誠然，根據(jù)三年級學(xué)生的年齡特點(diǎn)和思維特點(diǎn)，生活圖片到抽象數(shù)學(xué)問題的跨度太大，學(xué)生興趣和思辨能力跨越該跨度存在不同程度困難。借助幾何圖形，以形助教，使抽象問題直觀化，有利于學(xué)生的思維提升。

1.引入圖形輔助教學(xué)，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)融入生活

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何，還是統(tǒng)計(jì)與概率等知識(shí)，處處蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想。教材借助幾何圖形的直觀來幫助學(xué)生理解抽象概念。生動(dòng)形象的圖形使得抽象的知識(shí)變得趣味化、直觀化，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，不再感到枯燥乏味，反而能從中獲得有趣的情感體驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)了主動(dòng)探索，把握了概念本質(zhì)。

2.抽象圖形輔助教學(xué)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)高于生活

本課中，學(xué)生借助點(diǎn)子圖，數(shù)形結(jié)合，化解了數(shù)學(xué)信息之間的不易理解的困難，通過點(diǎn)子圖的拼擺，讓抽象的思維形象地呈現(xiàn)，隱藏的數(shù)量關(guān)系通過“形”的表象顯露出來。學(xué)生理解了三種方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，加深了對每種方法思路的理解，體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的作用。用數(shù)形結(jié)合策略表示題中量與量之間的關(guān)系，可以達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的。“數(shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形（如統(tǒng)計(jì)圖）、符號(hào)和文字所做的示意圖，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。

3.凝練圖形輔助教學(xué)，形成問題解決教學(xué)模式

恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”在教學(xué)中，可以根據(jù)不同教學(xué)內(nèi)容充分利用數(shù)形結(jié)合思想，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。

（1）“以形助數(shù)”在直觀中理解數(shù)

在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中，借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算等形象化、簡單化，給學(xué)生以直觀感，讓學(xué)生以多種感官充分感知，在形成表象的基礎(chǔ)上理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，解決數(shù)學(xué)問題。

（2）“以數(shù)想形”幫助理解各種公式

在教學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)公式時(shí)，如果只讓學(xué)生死記公式，只會(huì)將知識(shí)學(xué)死。借助圖形充分理解公式的含義，可以使學(xué)生知其然，更知其所以然。

（3）“數(shù)形結(jié)合”借助表象發(fā)展空間觀念

兒童的認(rèn)知規(guī)律一般來說是從直接感知到表象，再到形成概念的過程。表象介于感知和形成概念之間，抓住中間環(huán)節(jié)，促使學(xué)生多角度靈活思考，大膽想象，對知識(shí)的理解逐步深化，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，具有十分重要的意義。

總之，通過引入生活實(shí)例，利用數(shù)形結(jié)合，合理設(shè)置數(shù)形跨度，既可提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也讓學(xué)生在不斷的訓(xùn)練中感悟數(shù)學(xué)思想，豐富思維活動(dòng)，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，又可以完成數(shù)學(xué)教學(xué)中趣味性與思辨性的實(shí)踐探索。

責(zé)任編輯：趙彩俠

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