“一次函數(shù)”核心概念解讀

楊燕華

函數(shù)是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，也是處理和解決實際問題的有力工具，具有廣泛應(yīng)用性.下面針對本章概念進行多角度、多層次的分析，便于大家逐步深化認識，幫助大家正確掌握學(xué)習(xí)函數(shù)的基本方法.

一、 本章概念的橫向細化

第1節(jié)“函數(shù)”.大家在初學(xué)時會感到比較抽象，不易理解.對于函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，剛開始大家往往只關(guān)注關(guān)系式、自變量的取值范圍或函數(shù)值這些顯性的知識，而忽略了認識問題的變化過程這個隱性的內(nèi)涵.我們可以通過教科書中的實例“勻速行駛的火車”、“水庫的水位變化”、“水滴激起的波紋”感受變量與變量之間的關(guān)系，并運用函數(shù)的三種表達方式（列表法、圖像法和解析式法）揭示實際問題的變化規(guī)律.

在學(xué)習(xí)中，我們要始終圍繞“（1） 在上述變化過程中不變的量是什么？（2） 變化的量有幾個？（3） 它們之間有什么關(guān)系？（4） 當一個變量確定時，另一個變量能確定嗎？”這幾個問題思考，進而真正理解函數(shù)的概念.即“一般地，在一個變化的過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，x是自變量”.

對于函數(shù)的概念，我們要抓住“兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系”這個本質(zhì).即每個變化的過程中，都有兩個變量，并且這兩個變量之間相互依存、相互制約.

第2節(jié)“一次函數(shù)”.通過對生活中一些實例的研究，我們可以從中抽象出一次函數(shù)的概念.即“一般地，形如y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫做一次函數(shù).特殊地，當b=0時，y=kx（k為常數(shù)，k≠0），y叫做x的正比例函數(shù)”.

該概念可分為三個層次理解，第一層次：上述一次函數(shù)的概念是通過一種表達式給出的，要求我們能夠根據(jù)具體問題的表達式判斷函數(shù)是否為一次函數(shù)（正比例函數(shù)），并能說明理由.第二層次：正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，也就是一次函數(shù)包含了正比例函數(shù)，不能理解為兩個單獨的概念.第三層次：該表達式揭示了變量與變量間的關(guān)系，可根據(jù)函數(shù)值求與之對應(yīng)的自變量的值，也可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的關(guān)系式.

第3節(jié)“一次函數(shù)的圖像”.我們首先要學(xué)會按“列表、描點、連線” 三步來畫函數(shù)圖像的方法，對于一次函數(shù)，通常利用與坐標軸的兩交點，0、（0，b）來畫，其圖像是一條直線.在此基礎(chǔ)上，進一步感受一次函數(shù)圖像直線的上升、下降與解析式中k的關(guān)系，進而認識其性質(zhì)，千萬不可死記一次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以借助圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法理解記憶其性質(zhì).

第4節(jié)“用一次函數(shù)解決問題”.一次函數(shù)的實際應(yīng)用是用一次函數(shù)的解析式或圖像來解決問題，需要我們首先從問題中找到函數(shù)解析式或從函數(shù)圖像直觀地找出實際問題中變量之間的關(guān)系；其次，將簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的數(shù)學(xué)問題；最后，用一次函數(shù)的知識解決實際問題.

第5節(jié)“一次函數(shù)與二元一次方程”、第6節(jié)“一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”.這兩節(jié)內(nèi)容主要是研究“一次函數(shù)”與“一次方程”“一次不等式”三者之間一般與特殊的關(guān)系，它們在某些特定情況下可以相互轉(zhuǎn)換，學(xué)習(xí)時可以充分借助一次函數(shù)圖像的直觀特點，溝通三者之間的聯(lián)系，進而解決問題.

二、 本章概念的縱向深化

第1節(jié)研究了一般函數(shù)的定義、自變量的取值范圍、函數(shù)的圖像及圖像的一些直觀性質(zhì)，為第2、3、4節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)鋪墊，一次函數(shù)屬于函數(shù)中的一種，一次函數(shù)與函數(shù)是特殊與一般的關(guān)系.所以，建議大家在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時可以采用類比、對比的方法，從定義、圖像、性質(zhì)三方面全面認識.利用前后知識的關(guān)聯(lián)，有利于把已學(xué)的知識納入原有知識體系中，整體建構(gòu)知識框架.這樣的研究思路和學(xué)習(xí)方法，也為我們初二下學(xué)期和初三進一步學(xué)習(xí)新的函數(shù)打好基礎(chǔ).

第5、6節(jié)的學(xué)習(xí)，是本章內(nèi)容的難點，許多同學(xué)比較容易厘清知識之間的關(guān)系，但到了“運用”階段，無法理解一次函數(shù)與二元一次方程，一次函數(shù)與一次方程、一次不等式之間的相互關(guān)系，下面我們就對這兩個關(guān)系作一下分析.

對于“一次函數(shù)與二元一次方程”的相互關(guān)系，從形式上看，通過移項，可以將一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）寫成kx-y+b=0的形式，因此從左往右看，一次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程的形式.反過來，二元一次方程也可以化為一次函數(shù)的形式.從一次函數(shù)圖像上的點與方程的解來看，一次函數(shù)圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程的一個解；反之，二元一次方程的解為坐標的點都在一次函數(shù)的圖像上.二元一次方程和一次函數(shù)之間的這種對應(yīng)關(guān)系，便可實現(xiàn)兩個一次函數(shù)與二元一次方程組在形式與內(nèi)容上的完美統(tǒng)一，這既是一種解二元一次方程組的新方法，也是一次函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的運用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和方程思想.

對于“一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式”的相互關(guān)系，將一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中的y分別取大于0、等于0、小于0的值，就可以得到一元一次不等式和一元一次方程.從圖像上看，與x軸交點的橫坐標就對應(yīng)著一元一次方程的解，在x軸上方、下方的點集y的值大于0、小于0，其橫坐標對應(yīng)著一元一次不等式的解集.

三、 本章概念的學(xué)習(xí)建議

在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時，我們一定要有以下幾個方面的思考：一是每個概念都不是獨立的個體，要把所學(xué)的知識點連成線，線狀的知識結(jié)成塊，體會數(shù)學(xué)知識的完整板塊及相互關(guān)聯(lián)，這樣學(xué)習(xí)有利于知識的存儲和提取.二是在學(xué)習(xí)知識或解決問題中及時使用數(shù)學(xué)的思想方法，這樣就有利于我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).三是善于自主歸納課堂基本知識，積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.因為本章內(nèi)容是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的起始章，掌握研究函數(shù)“定義、圖像、性質(zhì)、運用和應(yīng)用”的基本思路及“數(shù)形結(jié)合”等重要的思想方法，有利于今后新函數(shù)學(xué)習(xí)的對比和類比，如果能夠做到舉一反三，對所學(xué)知識及時遷移，就為今后函數(shù)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

（作者單位：江蘇省無錫市新城中學(xué)）