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    “一次函數(shù)”核心概念解讀

    2016-09-10 07:22:44楊燕華
    初中生世界·八年級 2016年2期
    關(guān)鍵詞:一次函數(shù)正比例概念

    楊燕華

    函數(shù)是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型,也是處理和解決實際問題的有力工具,具有廣泛應(yīng)用性.下面針對本章概念進行多角度、多層次的分析,便于大家逐步深化認識,幫助大家正確掌握學(xué)習(xí)函數(shù)的基本方法.

    一、 本章概念的橫向細化

    第1節(jié)“函數(shù)”.大家在初學(xué)時會感到比較抽象,不易理解.對于函數(shù)概念的學(xué)習(xí),剛開始大家往往只關(guān)注關(guān)系式、自變量的取值范圍或函數(shù)值這些顯性的知識,而忽略了認識問題的變化過程這個隱性的內(nèi)涵.我們可以通過教科書中的實例“勻速行駛的火車”、“水庫的水位變化”、“水滴激起的波紋”感受變量與變量之間的關(guān)系,并運用函數(shù)的三種表達方式(列表法、圖像法和解析式法)揭示實際問題的變化規(guī)律.

    在學(xué)習(xí)中,我們要始終圍繞“(1) 在上述變化過程中不變的量是什么?(2) 變化的量有幾個?(3) 它們之間有什么關(guān)系?(4) 當一個變量確定時,另一個變量能確定嗎?”這幾個問題思考,進而真正理解函數(shù)的概念.即“一般地,在一個變化的過程中有兩個變量x和y,如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應(yīng),那么我們稱y是x的函數(shù),x是自變量”.

    對于函數(shù)的概念,我們要抓住“兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系”這個本質(zhì).即每個變化的過程中,都有兩個變量,并且這兩個變量之間相互依存、相互制約.

    第2節(jié)“一次函數(shù)”.通過對生活中一些實例的研究,我們可以從中抽象出一次函數(shù)的概念.即“一般地,形如y=kx+b(k、b為常數(shù),且k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).特殊地,當b=0時,y=kx(k為常數(shù),k≠0),y叫做x的正比例函數(shù)”.

    該概念可分為三個層次理解,第一層次:上述一次函數(shù)的概念是通過一種表達式給出的,要求我們能夠根據(jù)具體問題的表達式判斷函數(shù)是否為一次函數(shù)(正比例函數(shù)),并能說明理由.第二層次:正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例,也就是一次函數(shù)包含了正比例函數(shù),不能理解為兩個單獨的概念.第三層次:該表達式揭示了變量與變量間的關(guān)系,可根據(jù)函數(shù)值求與之對應(yīng)的自變量的值,也可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的關(guān)系式.

    第3節(jié)“一次函數(shù)的圖像”.我們首先要學(xué)會按“列表、描點、連線” 三步來畫函數(shù)圖像的方法,對于一次函數(shù),通常利用與坐標軸的兩交點,0、(0,b)來畫,其圖像是一條直線.在此基礎(chǔ)上,進一步感受一次函數(shù)圖像直線的上升、下降與解析式中k的關(guān)系,進而認識其性質(zhì),千萬不可死記一次函數(shù)的性質(zhì),我們可以借助圖像,利用數(shù)形結(jié)合的思想方法理解記憶其性質(zhì).

    第4節(jié)“用一次函數(shù)解決問題”.一次函數(shù)的實際應(yīng)用是用一次函數(shù)的解析式或圖像來解決問題,需要我們首先從問題中找到函數(shù)解析式或從函數(shù)圖像直觀地找出實際問題中變量之間的關(guān)系;其次,將簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的數(shù)學(xué)問題;最后,用一次函數(shù)的知識解決實際問題.

    第5節(jié)“一次函數(shù)與二元一次方程”、第6節(jié)“一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”.這兩節(jié)內(nèi)容主要是研究“一次函數(shù)”與“一次方程”“一次不等式”三者之間一般與特殊的關(guān)系,它們在某些特定情況下可以相互轉(zhuǎn)換,學(xué)習(xí)時可以充分借助一次函數(shù)圖像的直觀特點,溝通三者之間的聯(lián)系,進而解決問題.

    二、 本章概念的縱向深化

    第1節(jié)研究了一般函數(shù)的定義、自變量的取值范圍、函數(shù)的圖像及圖像的一些直觀性質(zhì),為第2、3、4節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)鋪墊,一次函數(shù)屬于函數(shù)中的一種,一次函數(shù)與函數(shù)是特殊與一般的關(guān)系.所以,建議大家在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時可以采用類比、對比的方法,從定義、圖像、性質(zhì)三方面全面認識.利用前后知識的關(guān)聯(lián),有利于把已學(xué)的知識納入原有知識體系中,整體建構(gòu)知識框架.這樣的研究思路和學(xué)習(xí)方法,也為我們初二下學(xué)期和初三進一步學(xué)習(xí)新的函數(shù)打好基礎(chǔ).

    第5、6節(jié)的學(xué)習(xí),是本章內(nèi)容的難點,許多同學(xué)比較容易厘清知識之間的關(guān)系,但到了“運用”階段,無法理解一次函數(shù)與二元一次方程,一次函數(shù)與一次方程、一次不等式之間的相互關(guān)系,下面我們就對這兩個關(guān)系作一下分析.

    對于“一次函數(shù)與二元一次方程”的相互關(guān)系,從形式上看,通過移項,可以將一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)寫成kx-y+b=0的形式,因此從左往右看,一次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程的形式.反過來,二元一次方程也可以化為一次函數(shù)的形式.從一次函數(shù)圖像上的點與方程的解來看,一次函數(shù)圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程的一個解;反之,二元一次方程的解為坐標的點都在一次函數(shù)的圖像上.二元一次方程和一次函數(shù)之間的這種對應(yīng)關(guān)系,便可實現(xiàn)兩個一次函數(shù)與二元一次方程組在形式與內(nèi)容上的完美統(tǒng)一,這既是一種解二元一次方程組的新方法,也是一次函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的運用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和方程思想.

    對于“一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式”的相互關(guān)系,將一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)中的y分別取大于0、等于0、小于0的值,就可以得到一元一次不等式和一元一次方程.從圖像上看,與x軸交點的橫坐標就對應(yīng)著一元一次方程的解,在x軸上方、下方的點集y的值大于0、小于0,其橫坐標對應(yīng)著一元一次不等式的解集.

    三、 本章概念的學(xué)習(xí)建議

    在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時,我們一定要有以下幾個方面的思考:一是每個概念都不是獨立的個體,要把所學(xué)的知識點連成線,線狀的知識結(jié)成塊,體會數(shù)學(xué)知識的完整板塊及相互關(guān)聯(lián),這樣學(xué)習(xí)有利于知識的存儲和提取.二是在學(xué)習(xí)知識或解決問題中及時使用數(shù)學(xué)的思想方法,這樣就有利于我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).三是善于自主歸納課堂基本知識,積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程,逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.因為本章內(nèi)容是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的起始章,掌握研究函數(shù)“定義、圖像、性質(zhì)、運用和應(yīng)用”的基本思路及“數(shù)形結(jié)合”等重要的思想方法,有利于今后新函數(shù)學(xué)習(xí)的對比和類比,如果能夠做到舉一反三,對所學(xué)知識及時遷移,就為今后函數(shù)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

    (作者單位:江蘇省無錫市新城中學(xué))

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