掌握知識的思維特征是學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵

張鶴

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問題呢？提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵在哪里？在當(dāng)前，普遍存在的依賴大題量的數(shù)學(xué)練習(xí)，以此提高數(shù)學(xué)成績的做法是不是違背數(shù)學(xué)教育的目的呢？

我們知道，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教育的基本目標之一。新課標指出：數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、不可替代的作用。數(shù)學(xué)教師的教學(xué)任務(wù)很大的程度上是要通過你的教學(xué)活動，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)科的思維特征，并能夠用這種學(xué)科的思維方法理解數(shù)學(xué)問題，并解決數(shù)學(xué)問題。對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高起決定作用的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平的提高，在這一點上，作為數(shù)學(xué)教師要有充分的認識。

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，常定位為重點內(nèi)容、核心內(nèi)容、主軸內(nèi)容，它是由常量數(shù)學(xué)進入變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點，由此確立起運動變化的觀念，并為研究兩個變量間的相互依賴的變化規(guī)律，建立起一套基本理論的基本方法。函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的紐帶，運用函數(shù)觀點，可以站在一個統(tǒng)一、較高的角度上去處理其中的許多基本問題。函數(shù)又是解決許多數(shù)學(xué)問題以及生產(chǎn)、生活中的實際問題的常用數(shù)學(xué)模型，還是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的必備基礎(chǔ)。

函數(shù)在我們數(shù)學(xué)教學(xué)中盡管是講的比較多的內(nèi)容，但這部分內(nèi)容對于學(xué)生來說，不管是高一的學(xué)生還是高三的學(xué)生，學(xué)習(xí)的效果總是不佳，原因何在呢？教學(xué)中筆者經(jīng)常能看到一些教師在講授函數(shù)的時候，講不出函數(shù)這部分的味道。函數(shù)的學(xué)習(xí)之所以最令學(xué)生們頭疼，關(guān)鍵是學(xué)生們在學(xué)習(xí)函數(shù)的時候，沒有掌握學(xué)習(xí)方法，沒有學(xué)會用函數(shù)的思維去思考問題。這種現(xiàn)象的出現(xiàn)，教師有很大責(zé)任。

在函數(shù)的教學(xué)中如何體現(xiàn)函數(shù)的思維特征呢？其關(guān)鍵是要在教學(xué)中揭示出函數(shù)的自變量是如何引起其對應(yīng)的因變量的變化的。教師要指導(dǎo)學(xué)生研究函數(shù)性質(zhì)時掌握以下思維方法：在明確函數(shù)的自變量是誰的前提下，分析函數(shù)的自變量是如何變化的，也就是自變量的代數(shù)特征是什么，再分析自變量所對應(yīng)的函數(shù)值之間有什么關(guān)系。教學(xué)中對學(xué)生的要求是首先能用描述性語言把函數(shù)性質(zhì)表達出來，這是最重要的。因為這種自然語言的描述是反映學(xué)生的思維的，只有真正明白的學(xué)生，才能夠依據(jù)函數(shù)的思維特征用函數(shù)的語言表達出函數(shù)的性質(zhì)。其次就是要能夠用數(shù)學(xué)的符號語言表達出剛才所敘述的函數(shù)性質(zhì)，這是為后面進行數(shù)學(xué)的推導(dǎo)、演算做準備的，這個能力要求對學(xué)生來說也是最難的。當(dāng)然，作為學(xué)生還要有能力讀懂別人寫的數(shù)學(xué)符號語言，這種讀懂也是依據(jù)函數(shù)的思維特征去分析用數(shù)學(xué)的符號表達出來的函數(shù)性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，要能夠通過函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)特征及其數(shù)學(xué)的符號語言形式，揭示出這個函數(shù)的圖像特征。在有關(guān)函數(shù)的問題中，已知條件常常是先給出這個函數(shù)的圖像特征或用抽象的數(shù)學(xué)符號語言表達出函數(shù)性質(zhì)。教學(xué)中要防止那種沒有函數(shù)思維含量的結(jié)論性或操作性的教學(xué)，如根據(jù)函數(shù)的圖像特征去畫圖像;或從已知的函數(shù)圖像中僅是能夠直觀地讀出和計算求值有關(guān)的性質(zhì)，而不會從函數(shù)思維的層面上去理解函數(shù)的圖像所承載的函數(shù)的性質(zhì);或?qū)τ脭?shù)學(xué)符號語言所表達的函數(shù)性質(zhì)看不出來、看不懂，只是會給函數(shù)的自變量代一些特殊值去求值，作出比較粗糙的判斷。實際上，遵循函數(shù)思維特征的教學(xué)應(yīng)該是如果給出某個函數(shù)的圖像特征，就要能夠把幾何特征轉(zhuǎn)化為函數(shù)的代數(shù)特征。如函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點（a，b）為中心對稱，其代數(shù)特征是這個函數(shù)的自變量取和為2a的兩個值的時候，對應(yīng)的兩個函數(shù)值的和為2b，并據(jù)此用符號語言寫出這條性質(zhì)，即f（x）+f（2a-x）=2b;如果是用數(shù)學(xué)的符號語言表達函數(shù)的性質(zhì)，就應(yīng)該讓學(xué)生先讀懂符號語言，在說出其圖像的幾何特征。如函數(shù)y=f（x）滿足f（x-1）+f（3-x）=2，這個等式就意味函數(shù)y=f（x）取了和為2的兩個自變量，對應(yīng)的函數(shù)值的和為2，從幾何的角度看，就是函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點（1，1）中心對稱。

平面解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)中獨具特色的一個部分，它的核心思想是用代數(shù)方法解決幾何問題。學(xué)生在解決有關(guān)解析幾何的問題時，最大的困難是在思維層面上還沒有真正理解和掌握平面解析幾何的思維特征，對這門學(xué)科在思維層面的認識存在著誤區(qū)。如很多學(xué)生認為平面解析幾何的用代數(shù)方法解決幾何問題就是計算。我們也的確常?？吹胶芏鄬W(xué)生在解決有關(guān)平面解析幾何問題的時候，只要有兩個曲線方程，如直線方程和圓錐曲線方程，就要聯(lián)立，代入消元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個變量的一元二次方程，再計算判別式的值、寫出根與系數(shù)的關(guān)系等，一直做到做不下去為止。在一些教師的指導(dǎo)中，給學(xué)生們傳授的得分“秘籍”也是將已知條件中的方程能“聯(lián)立”就“聯(lián)立”，能算到哪里就是哪里，總可以得到一些分數(shù)等。

實際上，解決平面解析幾何問題首先要做的就是要將幾何對象代數(shù)化。平面解析幾何研究的對象是幾何元素，而依據(jù)幾何學(xué)的學(xué)科觀點、學(xué)科思想，也就決定了研究問題的思維特征：就是在用代數(shù)方法解決幾何問題之前，要研究幾何對象的幾何特征。而所謂的幾何特征就是單個幾何對象的幾何性質(zhì)或兩個及以上幾何對象之間的位置關(guān)系。由于我們面對的幾何對象的形式是多種多樣的，有的是以方程的面目出現(xiàn)，有的是以圖形的形式表達。為此，我們正是通過幾何對象的方程、圖形或數(shù)據(jù)等，來完成幾何對象的幾何特征的研究，并在此基礎(chǔ)上進行將幾何特征的代數(shù)化。這種代數(shù)化能否順利地進行，取決于對幾何對象的幾何特征的分析是否準確和全面。

如有這樣一個問題：直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my-4=0交于M、N兩點，且M、N關(guān)于直線x+y=0對稱，求m+k的值。這個問題不少的學(xué)生會在是否要將直線方程y=kx+1與圓方程x2+y2+kx+my-4=0聯(lián)立而躊躇不前，還有的同學(xué)利用直線y=kx+1與直線x+y=0垂直得出k=-1之后，為如何算出m而苦惱。這些學(xué)生的問題都源于要通過計算得出結(jié)果的想法，反而陷入到困境中.符合平面解析幾何思維特征的做法是：條件直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my-4=0交于M、N兩點告訴我們的是直線y=kx+1與圓的位置關(guān)系;條件“M、N關(guān)于直線x+y=0對稱”交待了直線y=kx+1與直線x+y=0的位置關(guān)系。即兩條直線垂直，而且直線x+y=0還平分直線y=kx+1上的一條線段，這樣確定直線x+y=0與圓x2+y2+kx+my-4=0的位置關(guān)系就成為思維的焦點，由于線段MN是圓的弦，弦MN被直線x+y=0垂直平分，由此進一步分析得出圓x2+y2+kx+my-4=0的圓心在直線x+y=0上。這就是這個問題最本質(zhì)的分析，此時對這個幾何特征的代數(shù)化就是將圓心坐標（，）代入到直線方程x+y=0，進而得到m+k=0。上述分析的思維主線遵循的就是平面解析幾何的學(xué)科思想，正是在對兩條直線及與圓之間位置關(guān)系研究的基礎(chǔ)上，才找到了將幾何對象代數(shù)化的本質(zhì)做法。

總之，教師的教學(xué)工作就是將人類歷史經(jīng)驗的精華即科學(xué)知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦里的精神財富，在客觀知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生的精神財富的過程中，教師“教的意識”就處于一個至關(guān)重要的地位。這種“教的意識”首先就體現(xiàn)在要教給學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題的方法。這里不是說學(xué)生不會思考問題，而是針對學(xué)生不會用數(shù)學(xué)的思維去理解數(shù)學(xué)問題和思考數(shù)學(xué)問題而言的。我們深知數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、不可替代的作用。教師的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)就是要通過教學(xué)活動，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的各個單元知識所承載的數(shù)學(xué)思維特征，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方法去理解數(shù)學(xué)問題。

（作者單位：北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校）

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