數(shù)學活動經(jīng)驗在抽象概念教學中的作用

【摘 要】在經(jīng)歷將近20年高中數(shù)學教學后， 筆者又開始了初中數(shù)學的教學，教學理念和教學方法發(fā)生了很大的變化，尤其對抽象概念的教學有了更深刻的認識。筆者從借助學生的活動經(jīng)驗實現(xiàn)新舊知識的順利對接、實現(xiàn)新概念的自然同化、促進新范式的自然形成等方面闡述了對函數(shù)概念教學的一些體會。越是抽象的概念，越應當從學生的活動經(jīng)驗出發(fā)，把根扎在已有的認知體系上。

【關鍵詞】函數(shù)；活動經(jīng)驗；抽象概念；自然對接

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）06-0000-00

【作者簡介】張華，南京市科利華中學（南京，210008）副校長，六合區(qū)棠城學校校長，中學高級教師。

中學里從初二用變化的觀點引入函數(shù)概念，到高中用對應的觀點重新表達，其間的邏輯發(fā)展和抽象度有所提高，可以作為抽象概念教學的一個典型樣本。在2009年之前筆者多次教過高中的函數(shù)內容，但是始終覺得函數(shù)是“難教也難學”的內容。在2010年，本人接觸到了一些初中老師函數(shù)教學的課例后，才得以對函數(shù)教學從源頭上開始思考。不久以后《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》頒布，增加了“基本的數(shù)學活動經(jīng)驗”，使本人對函數(shù)概念的教學有了一些體會，并進而考慮推廣到抽象概念的教學問題。我認為，抽象概念的教學關鍵在于利用學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，降低抽象概念的教學難度。

一、在引入概念時借助學生的活動經(jīng)驗實現(xiàn)新舊知識的順利對接

學習的過程就是要實現(xiàn)“新知”與“舊知”的順應或同化。對于抽象概念而言，“新知”與“舊知”的距離較大，在同化或順應的過程中要完成較大的跨度。因此，其學習的難度是客觀存在的。教師的任務不是避開或隱瞞這個跨度，而是盡量縮小這個跨度，在舊知識和新知識之間構建一個順利對接的通道，使得新知識的出現(xiàn)不再突然。怎樣才能實現(xiàn)這一目標呢？我認為一個行之有效的方案是：利用學生已有的數(shù)學活動經(jīng)驗，縮小他們和新知識之間的能力差距和心理距離。

以“函數(shù)”概念的教學為例。雖然“函數(shù)”這個概念學生從初二就開始學習，并一直貫穿高中的全過程，前后歷時5年，但由于此概念的抽象度高、層次性強，學習的困難始終存在。初二時的首次接觸，是從常量數(shù)學到變量數(shù)學的飛躍；高一的再度相逢，是從變化到對應（隱含著連續(xù)變量到離散變量）的飛躍。再加上學生一進入高中首先碰到的集合內容就已足夠抽象，在集合內容還沒有完全弄懂的時候，緊接著就來了函數(shù)，這容易打擊學生學習數(shù)學的信心，影響他們對數(shù)學的情感態(tài)度。

初中學習函數(shù)概念的最大難點是函數(shù)這部份知識的主要思想特點體現(xiàn)于一個“變”字。即研究的主要是“變量”與“變量”之間的關系，要求用運動變化的觀點去看侍和接觸相關問題。中學生的認知發(fā)展水平是以具體形象思維為主，形式邏輯思維不強，他們看問題往往是靜止的、割裂的，不能很好地把抽象的概念與具體事例聯(lián)系起來，導致學生在學習函數(shù)概念時遇到很大的困難。比如，在老師眼里，x-y=1和y=x-1的意義是非常明顯的，前者是一個方程，后者是一個函數(shù)。既可以認為它們有完全不同的含義，也可以認為它們是可以相互轉化的。但是對初二學生而言，這兩個都是等式或者說都是方程，沒有“函數(shù)”的概念。想讓初二學生認識到y(tǒng)=x-1是一個函數(shù)，絕不是老師一句話的告知就能解決的。因為在初二學生的經(jīng)驗里，有代數(shù)式、有等式、有方程，絲毫沒有函數(shù)的影子。那些等式和方程，都被認為是表示確定的值，而沒有“變化”的含義。因此，“變化”以及“隨之而變化”的觀點是全新的，必須重新建立。怎么建立呢？從學生的經(jīng)驗開始。

學生已經(jīng)有了求“代數(shù)式的值” 的經(jīng)歷，并積累了豐富的相關經(jīng)驗。比如對于y=x-1，給定一個x值就可以算出一個y值。由此出發(fā)，可以讓他們多求出幾對（x，y）來（做這樣的事情他們的興致很高）?？梢苑攀肿屗麄兦?，一直到他們自己認為“不需要求了”為止。所謂“不需要求了”，就是他們能說出這樣的話：“你隨便給一個x值，我都能求出y來”。到這時，“變化”以及“隨之而變化”的觀點就已經(jīng)基本確立了。老師只要順水推舟，加以明確和強化并給出規(guī)范的表述即可（初始的表述可以讓學生嘗試，最終的表述必須老師給出），至此函數(shù)的概念已自然生成。

二、在鞏固概念時借助學生的活動經(jīng)驗實現(xiàn)新概念的自然同化

在上面用數(shù)式運算的經(jīng)驗促使“概念自然生成”后，就要變換角度鞏固概念，我認為還是要從學生的經(jīng)驗出發(fā)。學生早已有了解二元一次方程的經(jīng)驗（那經(jīng)驗是豐富的），可以據(jù)此設計如下的教學過程：

老師問：方程x-y=1有解嗎？

學生在思考、討論后一般會回答有解，比如x=2，y=1就是解。

老師再追問：有多少解？（以下回歸到y(tǒng)=x-1）……

在這里，由x值代入都可以求出相應x-y值，且在x的變化過程中，對于任意一個x值，y都有唯一確定的值與之對應，學生在此可以清晰地體驗到“對應”的含義。這正是函數(shù)概念的核心所在。學生能把用“求值”來領會“對應”，就是實現(xiàn)了對函數(shù)概念的同化，在原有認知結構中加入了函數(shù)概念。

仔細盤點一下，初中學生曾經(jīng)經(jīng)歷過的“隨之而變化”經(jīng)驗還有一些，比如兩個角互余、互補、互為相反數(shù)、互為倒數(shù)、平方、平方根，以及實際問題中的時間與行程、數(shù)量與總價、速度與用時等等，這些都是學生寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，都可以選來作為函數(shù)概念的生長點。如果教師能注意把這些用起來，讓函數(shù)概念從學生的經(jīng)驗中自然生成，學生生就不會感到陌生和突然，也就能順利地接受函數(shù)概念，并把函數(shù)知識盡快地內化到自己已有的知識結構中去。

三、在概念的發(fā)展中借助學生的活動經(jīng)驗促進新范式的自然形成

教材在處理函數(shù)概念時，把函數(shù)概念分為兩個階段：初中階段和高中階段。常常遇到的疑問是：初中已經(jīng)有了函數(shù)概念，而且花了很大的力氣去學習它。到了高中為什么又要重新學這個概念？這樣的學習有意義嗎？

經(jīng)過分析我們發(fā)現(xiàn)，高中與初中教材上的函數(shù)定義，其本質上是一致的，最大的區(qū)別在于兩點：其一，用“集合”取代了“某一范圍”；其二，用“對應”取代了“變化”。這樣一來，教師就能把其中的奧妙看得清清楚楚了。第一，“范圍” 是個習慣說法，基本上是指一個連續(xù)的區(qū)域，而“集合”則是規(guī)范的數(shù)學名詞，既可以是連續(xù)集，也可以是離散集，更加規(guī)范也更加寬泛了。第二，“變化”并不是函數(shù)的本質特征（比如常函數(shù)中的y值就沒有變化），新定義剝離了這個非本質特征以后，“隨之變化”的說法也自然去除。

另一個疑問是：函數(shù)的表示法中為什么要有個列表法？它有用嗎？

在而我多年的教學中，對列表法是很不在乎的。多數(shù)的學生也認為它“太小兒科”，有點不屑一顧。再想象我們在研究單調性、奇偶性、反函數(shù)時對解析式的重視，以及在利用數(shù)形結合思想時對圖象法的重視，用“判若云泥”來形容也不為過。

難道列表法真的就這么沒有價值嗎？

其實不然，比如：

：y是x函數(shù)嗎？

如果沒有老師的講解，初中學生很可能感到莫名其妙，或者去設法求一個表達式。只有高中的而且思維品質比較好的學生，才會想到用定義。與解析式法和圖像法相比，列表法更直接地展現(xiàn)了“對應關系”，與集合和對應的觀點最為接近，也與學生的生活經(jīng)驗最為接近。特別是把上面表格給出的函數(shù)辨認清楚以后，可以形成一個認知模式，對于理解常函數(shù)、分段函數(shù)、定義域為離散數(shù)集的函數(shù)、周期函數(shù)（多對一）等等都有重要的借鑒作用。對于后面這些復雜函數(shù)而言，前述表格給出的函數(shù)就可以看做是一個重要的經(jīng)驗。

再比如研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質時，都可以從前面研究函數(shù)性質的經(jīng)驗出發(fā)，類比地去研究函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性等等。如果不利用前面研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的經(jīng)驗，則無疑是對數(shù)學認知體系的人為割裂。不但是浪費了學生的學習資源，也影響了他們完整的認知結構的形成，是很不應該的。

波利亞曾說過，教學要從最簡單的做起；奧蘇泊爾也說過，教育者最重要的事情是弄清楚學生已經(jīng)知道了什么。因此，了解學生的實際水平，了解他們已有的經(jīng)驗，就是教師必須做好的工作。越是抽象的概念，越應當從學生的活動經(jīng)驗出發(fā)，把根扎在已有的認知體系上。

【參考文獻】

[1]陶維林，“函數(shù)的概念”的教學設計.《中小學數(shù)學（高中版）》 2009年Z2期.

[2][美]莫里斯.克萊因著，張祖貴譯，西方文化中的數(shù)學.北京：商務印書館，2013.

[3]中華人民共和國教育部，義務教育數(shù)學課程標準（修訂版）.北京：人民教育出版社，2011.