關(guān)于最優(yōu)資本配置模型研究的文獻(xiàn)綜述

【摘要】資本配置的優(yōu)化問題一直是學(xué)界研究的熱點(diǎn)，傳統(tǒng)的馬科維茨均值方差模型在提出之后，被廣泛的應(yīng)用于投資組合的選擇和資本配置。國(guó)內(nèi)外學(xué)者受其啟發(fā)，開始在該理論的基礎(chǔ)上對(duì)最優(yōu)資本配置模型進(jìn)行優(yōu)化與改良，得到了相當(dāng)豐富的研究成果。本文整理了最優(yōu)資本配置模型的研究文獻(xiàn)，涉及的較為典型的模型除了傳統(tǒng)的均值方差模型外，還有損失最小化模型、MV模型和尾均值-方差模型，在對(duì)這些模型進(jìn)行比較分析的基礎(chǔ)上本文提出了未來研究中仍需改進(jìn)的三個(gè)方面。

【關(guān)鍵詞】資本配置 尾均值-方差 模型優(yōu)化

一、引言

隨著證券市場(chǎng)的不斷規(guī)范化，資本配置在投資決策中的地位逐漸凸顯，越來越受到投資者的重視。很早之前國(guó)外的研究者就開始強(qiáng)調(diào)資本配置對(duì)投資收益的決定性作用：William Sharpe（1988）研究指出，資本配置是投資決策中最為重要的部分；Brinson，Hood和Beebower（1986）的研究也證明，資本配置在養(yǎng)老基金的投資總回報(bào)中有93.6%可以由資本配置來解釋。而在理論界，對(duì)優(yōu)化資本配置的模型探究一直以來也都是學(xué)者們關(guān)注的重點(diǎn)問題。針對(duì)這一研究熱點(diǎn)，由于國(guó)內(nèi)資本市場(chǎng)發(fā)展較慢，國(guó)外學(xué)者的研究成果和貢獻(xiàn)顯然要多于國(guó)內(nèi)的研究者。傳統(tǒng)的均值方差模型在1952年被提出之后，被廣泛的應(yīng)用于投資組合的選擇和資本配置。國(guó)內(nèi)外學(xué)者也紛紛打開思路，開始在該理論的基礎(chǔ)上對(duì)最優(yōu)資本配置模型進(jìn)行優(yōu)化與改良，得到了相當(dāng)豐富的研究成果。本文針對(duì)最優(yōu)資本配置模型的研究文獻(xiàn)進(jìn)行了梳理和綜述，涉及的較為典型的模型除了傳統(tǒng)的均值方差模型外，還有損失最小化模型、MV模型和尾均值-方差模型。在對(duì)這些模型分析比較的基礎(chǔ)上，本文希望能為最優(yōu)資本配置模型的改良和對(duì)資本配置的進(jìn)一步研究提供一種可供借鑒的思路。

二、關(guān)于最優(yōu)資本配置模型研究的文獻(xiàn)回顧

（一）傳統(tǒng)的均值-方差模型

關(guān)于最優(yōu)資本配置的研究，最早提出的理論模型是均值-方差模型，馬科維茨在Markowitz（1952）首次構(gòu)建了該模型，提出用期望收益和收益的方差來量化投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系。他認(rèn)為任何理性的投資者在面對(duì)給定的、具有相同收益率的兩個(gè)投資選擇時(shí)，都會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)小的那個(gè)，并把風(fēng)險(xiǎn)定義為期望收益率的波動(dòng)率。也就是說，投資者若要追求高回報(bào)，則必須承擔(dān)高風(fēng)險(xiǎn)，他們需要在期初從所有可能的證券組合中選擇一個(gè)最優(yōu)的組合，這就是資本配置優(yōu)化的最簡(jiǎn)化形式。而為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，投資者通常選擇將投資組合多樣化。具體形式如下：

其中，w=（w1，w2，…wn）表示一個(gè)投資N個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重向量；e表示N個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率；Ω表示N個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率的協(xié)方差矩陣；u表示投資者所期望的組合收益率；I表示單位向量；rf是無風(fēng)險(xiǎn)收益率。該方程的解即為最優(yōu)資本配置方案，所有解的集合被稱為有效前沿。

均值-方差模型在被提出之后引起了學(xué)術(shù)界的轟動(dòng)，學(xué)術(shù)界由此發(fā)現(xiàn)一條新的思路，從這個(gè)角度研究資本配置的人越來越多，與該模型相關(guān)的研究文獻(xiàn)也越來越豐富，作者馬科維茨在1990年也獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。關(guān)于這方面較為典型的研究有：Tobin（1958）在其文中假定所有投資者都在尋找一個(gè)均值—方差有效的貨幣資產(chǎn)組合，假設(shè)了一個(gè)包含多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合模型，并假設(shè)收益的協(xié)方差矩陣是非奇異陣。由于所有資產(chǎn)都是貨幣資產(chǎn)，投資者所面臨的風(fēng)險(xiǎn)就是市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，而非違約風(fēng)險(xiǎn)?；诖怂岢隽酥摹胺蛛x定理”：在允許賣空的前提下選擇投資組合時(shí)，任意有效的證券組合都是由一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一種特殊的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合構(gòu)成的。Hicks（1962）使用相關(guān)系數(shù)的表達(dá)方法代替協(xié)方差矩陣，對(duì)均值方差模型進(jìn)行了改進(jìn)，并由此得出結(jié)論：在包含現(xiàn)金的資產(chǎn)組合中，組合期望值和標(biāo)準(zhǔn)差之間存在著線性關(guān)系。他還認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例始終是沿著這條線形的有效邊界的，這也恰好解釋了Tobin（1958）關(guān)于分離定理的內(nèi)容。而Sharpe（1963）提出的“單指數(shù)模型”通過假定資產(chǎn)收益只與市場(chǎng)總體收益有關(guān)，避免了馬科維茨理論中所用到的復(fù)雜計(jì)算。Jondeau和Rockinger（2002）則將投資者的效用函數(shù)假設(shè)為常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡（CRRA），將期末期望收益Taylor展開取前4階高階矩，運(yùn)用一階條件來最優(yōu)化資產(chǎn)配置。可以說馬科維茨的理論模型逐漸演變成了現(xiàn)代金融投資理論的基礎(chǔ)，也成為最優(yōu)資本配置研究的基石。

（二）損失最小化模型

損失最小化模型是在最近幾年才被提出的，Dhaene等人（2012）在其研究中建立了一個(gè)總體的框架，并設(shè)置一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)來衡量資本的最優(yōu)配置，他們將資本配置看做一種特定的最優(yōu)化問題，而這個(gè)問題的解就是要令所有投資單位相對(duì)于其分配到的資本，其風(fēng)險(xiǎn)總和即離差和達(dá)到最小，也就是資本數(shù)pi與通過適當(dāng)?shù)木嚯x測(cè)度而得到的Xi盡可能接近。更具體地，針對(duì)資本配置問題，他們提出了下面的最優(yōu)模型：

（三）MV模型

雖然損失最小化的配置模型有許多優(yōu)點(diǎn)，但是它并沒有考慮到一個(gè)重要的問題：損失函數(shù)的變異性。在該模型中，我們只依賴損失程度函數(shù)，而損失函數(shù)重要的變異因素并未被納入其中。事實(shí)上，傳統(tǒng)的均值—方差其實(shí)早已考慮到變異性的問題，Landsman，Z.（2010）參考了均值-方差模型的度量方法，提出以下最優(yōu)配置模型：

（四）TMV模型

傳統(tǒng)的馬科維茨投資組合理論、損失最小化模型和MV模型經(jīng)過上述學(xué)者的補(bǔ)充和擴(kuò)展，已經(jīng)形成了各自較為完善的理論系統(tǒng)。然而他們都是建立在諸如收益率服從正態(tài)分布這樣一系列過于理想化的假設(shè)下，因而無法很好地應(yīng)用于實(shí)際問題。例如，與正態(tài)分布相比，現(xiàn)實(shí)中的收益分布常常在中間部分出現(xiàn)高峰、中間求較為細(xì)薄、出現(xiàn)厚尾，以及左偏等情況。針對(duì)這樣的問題不少學(xué)者對(duì)上述模型提出了質(zhì)疑：Mao（1970），Hogan和Warren（1974），Harlow（1970）等人就認(rèn)為下半方差能更準(zhǔn)確地刻畫風(fēng)險(xiǎn)，因此他們對(duì)傳統(tǒng)的均值-方差模型進(jìn)行了改良，構(gòu)建了均值-半方差模型。Konno和Suzuki（1995）則分析了在收益不對(duì)稱情況下的均值-方差-偏度模型，他們認(rèn)為具有相同均值和方差的資產(chǎn)組合通常具有不同的偏度，而偏度大的投資組合更可能獲得較大收益率。顯然該模型在收益率分布不對(duì)稱的情況下更具價(jià)值。在所有的改良方法中，最著名的應(yīng)該就是尾部條件期望（TCE，也稱為CVaR）。

我們要在理解VaR的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)TCE，而關(guān)于VaR，最早的思路可以追溯到Roy（1952）提出的“安全首要模型”（Safety -First Portfolio Theory），他在這個(gè)模型中把投資組合的均值和方差作為一個(gè)整體來選擇，提出以極小化投資組合收益小于給定的“災(zāi)險(xiǎn)水平”的概率作為模型的決策準(zhǔn)則。VaR的概念在1993年G-30會(huì)議上被正式提出，其定義為：一定時(shí)期內(nèi)，在一定置信度（a）下，某一金融資產(chǎn)或證券組合價(jià)值在未來特定時(shí)期內(nèi)的最大可能損失。用公式可以表示為：

P（X≤VaR）=α

有三種常見的方法可以用來計(jì)算VaR：參數(shù)方法、歷史模擬法和蒙特卡羅模擬法。VaR方法控制了最大的損失，不管金融風(fēng)險(xiǎn)的根源出自市場(chǎng)，這個(gè)模型都可用一個(gè)數(shù)值表示未來某個(gè)時(shí)期的潛在損失，因而不同的市場(chǎng)、交易者和金融工具的風(fēng)險(xiǎn)就可以進(jìn)行比較。但該方法也存在以下兩個(gè)缺陷：首先，VaR不滿足次可加性；其次，VaR尾部損失測(cè)量時(shí)存在非充分性，即它無法考察超過分位點(diǎn)的下方風(fēng)險(xiǎn)（左尾）信息，這使人們忽略了小概率發(fā)生的巨額損失情形甚至是金融危機(jī)事件，而這些恰恰是風(fēng)險(xiǎn)管理所必須關(guān)注的。

由于上述兩個(gè)缺陷的存在，Artzner等人（1997）提出了TCE方法，這個(gè)方法測(cè)量的是小于VaR的損失的期望值，可以用下面的方程表示：

其中，VaRq=inf{x：F（x）≥q}是X或者VaR的q分為點(diǎn)，p*=（p*1，…，p*n）為X的分布函數(shù)。

從上式中我們不難發(fā)現(xiàn)TCE與VaR的區(qū)別：首先，前者不是單一的分位點(diǎn)（這與VaR有根本區(qū)別），而是尾部損失的平均值，只有將所有大于VaR的尾部損失全部估計(jì)到才能夠計(jì)算TCE，因此TCE對(duì)尾部損失的測(cè)量是充分的。其次，Artzner等（1999）、Acerb等（2001）通過不同的方式都證明了TCE滿足次可加性，即對(duì)于任意的隨機(jī)分布中的回報(bào)和，下式始終成立：

CVaRα（X+Y）≤CVaRα（X）+CVaRα（Y）

因此，TCE在運(yùn)用的時(shí)候相對(duì)更加靈活，很多學(xué)者將其用于各種分布假設(shè)之中。例如，Panjer（2002）在多元正態(tài)分布的假設(shè)下使用TCE來解決資本配置問題；Landsman和Valdez（2003）將該模型擴(kuò)展到多元橢圓分布下；Furman和Landsman（2005，2006）將其擴(kuò)展到多元伽馬和特威迪分布下；Chiragiev和Landsman（2007）則將其擴(kuò)展到多元帕累托分布下；Cai和Li（2005）也將其擴(kuò)展phase-type分布下。

他們將該模型拓展性地運(yùn)用于多元橢圓分布下，給出了明確的最優(yōu)配置表達(dá)式，并根據(jù)TMV模型提供多元正則變化的漸近的配置公式，最后他們利用保險(xiǎn)中的數(shù)據(jù)說明了該模型的實(shí)用性。

三、簡(jiǎn)單評(píng)述

研究資本配置的文獻(xiàn)相當(dāng)豐富，而本文則將焦點(diǎn)放在關(guān)于最優(yōu)資本配置模型的研究上，對(duì)四個(gè)較為重要的模型進(jìn)行了如上梳理和綜述，通過比較我們可以發(fā)現(xiàn)他們各自的優(yōu)點(diǎn)、不足以及相關(guān)性。

首先，傳統(tǒng)的均值-方差模型最大的貢獻(xiàn)在于首次提出以均值和方差刻畫收益和風(fēng)險(xiǎn)，在給定的收益下，求得風(fēng)險(xiǎn)最小的組合即有效前沿。這個(gè)模型的提出盡管具有里程碑式的意義，但又僅僅是一個(gè)比較粗略的模型，畢竟它是建立在過于理想的假設(shè)條件下的。這也給后來的學(xué)者很大的擴(kuò)展和補(bǔ)充的空間，許多重要的理論都是在其基礎(chǔ)上提出的，例如分離定理、單指數(shù)模型等，包括近幾年剛發(fā)展起來的MV模型、尾均值-方差模型（TMV）最初的思想同樣都源于此。

損失最小化模型則是從另外一個(gè)角度出發(fā)構(gòu)建的理論，它提出一個(gè)衡量最優(yōu)資本配置的新規(guī)則，即分配給一個(gè)項(xiàng)目的資本數(shù)要盡可能地接近該項(xiàng)目所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。它是對(duì)現(xiàn)有研究的高度概括，但只是提供了一個(gè)框架，并不是完整的度量模型。這個(gè)模型一方面具有很大的適用性，其中關(guān)于距離的測(cè)量方法可以根據(jù)理論的發(fā)展進(jìn)一步地優(yōu)化，另一方面它又不能單獨(dú)地被使用，需要結(jié)合其他的方法才能構(gòu)成一個(gè)完整的模型。因此，可以將這個(gè)模型與各其他度量的模型一起，形成一套基于損失最小化模型的最優(yōu)資本配置體系。

然后，MV模型是在傳統(tǒng)的均值-方差模型的基礎(chǔ)上，利用損失最小化模型的思想并克服了其沒有變異性的缺陷，將均值與方差同時(shí)納入模型中，其最大的優(yōu)點(diǎn)是決策者可以根據(jù)項(xiàng)目的特征自行調(diào)整變異的權(quán)重系數(shù)，也可以通過對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行建模來確定最合適的權(quán)重系數(shù)。另外，因二次函數(shù)具有整潔的最優(yōu)配置形式，所以MV模型用其作為度量損失的方法，但該模型還是沒有處理好尾部風(fēng)險(xiǎn)的問題。

最后，與文獻(xiàn)中其他的配置規(guī)則相比，TMV模型的優(yōu)勢(shì)是能同時(shí)控制損失函數(shù)的變異性和尾部風(fēng)險(xiǎn)。它從尾部條件期望（TCE）和尾部條件方差（TVC）出發(fā)，研究在VaR的約束下的最優(yōu)資本配置，科學(xué)地將尾部風(fēng)險(xiǎn)納入模型之中，并且將之運(yùn)用于橢圓分布和多元正則分布下。總的來說，這種方法能更好地解釋企業(yè)所面臨的風(fēng)險(xiǎn)的性質(zhì)，但TMV模型一個(gè)潛在的缺點(diǎn)是在具體計(jì)算時(shí)涉及的參數(shù)都由研究者直接給定，而并不是通過科學(xué)的計(jì)算方法推導(dǎo)出的。例如，橢圓分布的密度生成元中，我們可以簡(jiǎn)化性地假設(shè)p>3/2，kp=（2p-3）2，但是這樣的假設(shè)并沒有結(jié)合原有數(shù)據(jù)的特征來確定，這可能會(huì)導(dǎo)致最后結(jié)果的不精確；另外，Xu和Mao（2013）在TMV模型中沿用了MV模型的做法，使用二次函數(shù)來度量損失，而另一個(gè)在其他文獻(xiàn)中被廣泛采用的度量方法是絕對(duì)偏差函數(shù)。因此，作為TMV模型的一個(gè)拓展，我們也可以基于絕對(duì)偏差函數(shù)來尋找最優(yōu)配置策略。更具體地說就是尋求以下模型的最優(yōu)的解決方案：

綜合上文提到的幾個(gè)模型來看，現(xiàn)有的關(guān)于最優(yōu)資本配置模型的研究仍有以下幾方面需要改進(jìn)：一是上述模型都只涉及到單期的最優(yōu)化問題。關(guān)于最優(yōu)資本配置的模型在發(fā)展過程中雖然經(jīng)歷了很多改良，比如在傳統(tǒng)的均值-方差模型的理論基礎(chǔ)上參考損失最小化模型的思想，以及進(jìn)一步地考慮變異性和尾部風(fēng)險(xiǎn)，但是這些改良始終都沒有考慮動(dòng)態(tài)下的最優(yōu)資本配置，上述模型所涉及的向量均是一維的，這大大地減弱了模型的實(shí)用性，未來的研究可以考慮如何建立一個(gè)動(dòng)態(tài)最優(yōu)資本配置模型；二是上述模型衡量最優(yōu)配置的規(guī)則過于單一?，F(xiàn)有的研究關(guān)于最優(yōu)配置的諸如在既定收益下考慮風(fēng)險(xiǎn)最小的組合，以及資本數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)盡可能地相近的假定的目標(biāo)都是單一的，而現(xiàn)實(shí)中的資本配置可能受到很多的約束，面臨的環(huán)境也很復(fù)雜，因此在未來的研究中，可以嘗試設(shè)定多個(gè)配置目標(biāo)，得出一個(gè)最優(yōu)配置的臨界值，同時(shí)可以建立一個(gè)最優(yōu)配置的區(qū)間。三是具體分布下的參數(shù)的假定并沒有科學(xué)的依據(jù)?，F(xiàn)有的研究涉及的是某個(gè)分布下的具體探討，而在這些分布中需要假定很多參數(shù)，目前對(duì)于這些參數(shù)的確定缺乏一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系，因此今后可以考慮加強(qiáng)關(guān)于這一方面的研究。

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作者簡(jiǎn)介：肖趙華（1992-），女，浙江蒼南人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橘Y本市場(chǎng)。