初識(shí)平面圖形，“說(shuō)理”有多難？
——以平面圖形的認(rèn)識(shí)為例

■樊玉敏

初識(shí)平面圖形，“說(shuō)理”有多難？
——以平面圖形的認(rèn)識(shí)為例

■樊玉敏

七年級(jí)的學(xué)生初涉平面圖形的“說(shuō)理”問(wèn)題時(shí)，常因知識(shí)掌握不牢、方法要領(lǐng)不當(dāng)、思維發(fā)展不夠等因素而不能解決問(wèn)題，不但會(huì)影響后續(xù)的平面圖形部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，久而久之還會(huì)嚴(yán)重挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。筆者結(jié)合實(shí)踐，從“說(shuō)理”問(wèn)題談起，切實(shí)把握“說(shuō)理”關(guān)鍵，讓“說(shuō)理”問(wèn)題不再困難。

說(shuō)理 因果關(guān)系邏輯次序 語(yǔ)言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)（2001版）》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想十分重要。推理既是數(shù)學(xué)的基本思維方式，又是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，推理能力的發(fā)展貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。七年級(jí)的學(xué)生在初涉圖形與幾何部分學(xué)習(xí)圖形的定義、性質(zhì)、判定等內(nèi)容時(shí)，如何“說(shuō)理”成了一個(gè)重點(diǎn)更是難點(diǎn)，但說(shuō)理的過(guò)程卻因其是推理能力發(fā)展關(guān)鍵環(huán)節(jié)而避無(wú)可避、至關(guān)重要。

一、“說(shuō)理”何難

瑞士心理學(xué)家皮亞杰的研究成果表明：7至15歲的少年處于一個(gè)以具體的形象思維為主要形式向以抽象思維為主要形式的思維的過(guò)渡階段。這種抽象往往基于認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)之上，屬于經(jīng)驗(yàn)型的抽象思維。初一學(xué)生正處于發(fā)展抽象思維的初期，學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)遇到說(shuō)理問(wèn)題，表現(xiàn)出來(lái)諸多問(wèn)題，主要有以下幾個(gè)方面。

1.因果關(guān)系混亂。

學(xué)生初涉“說(shuō)理”問(wèn)題時(shí)，由于對(duì)概念、基本事實(shí)、性質(zhì)、判定等內(nèi)容不熟悉而常常在表達(dá)時(shí)將因果關(guān)系顛倒或混淆，這樣的“無(wú)憑無(wú)據(jù)”使得問(wèn)題無(wú)法得到解決。

例1：如圖1，∵∠1=∠2，∴a∥b。理由：兩直線平行，同位角相等。

圖1　

圖2　

圖3　

分析：?jiǎn)栴}的出現(xiàn)主要由于學(xué)生沒(méi)有理解概念、基本事實(shí)、性質(zhì)、判定等知識(shí)中所蘊(yùn)涵的條件、結(jié)論分別是什么。我們要幫助學(xué)生從語(yǔ)法的角度分析知識(shí)所表達(dá)的邏輯關(guān)系，弄清楚具備哪些條件，才能得出這個(gè)結(jié)論。

2.邏輯次序混亂。

數(shù)學(xué)有其嚴(yán)謹(jǐn)、抽象、邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)人的邏輯思維、空間想象等能力。而“說(shuō)理”恰是練習(xí)和展現(xiàn)思維嚴(yán)謹(jǐn)、抽象、邏輯性的最直接的環(huán)節(jié)。

例2：如圖2，在四邊形ABCD中，∠A=∠C、∠B=∠D，試探討AD與BC、AB與DC之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

學(xué)生解答：平行。

理由：在這個(gè)四邊形中，從中間畫一條直線，兩直線被第三條直線所截，形成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，所以AD平行于BC；又∠B與∠C的和為180°，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，所以AB平行于DC。

分析：?jiǎn)栴}的出現(xiàn)主要由于學(xué)生沒(méi)有掌握“說(shuō)理”的次序，把想到的都搬出來(lái)，卻不知道甄別哪些是無(wú)用的，哪些是用錯(cuò)的。表達(dá)得雜亂無(wú)章，折射出的恰是學(xué)生思維發(fā)展的不足。

3.語(yǔ)言轉(zhuǎn)換不清。

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn)關(guān)注的兩個(gè)維度。學(xué)生在“說(shuō)理”時(shí)，往往因?yàn)椴涣?xí)慣或不熟悉等因素，說(shuō)理表達(dá)時(shí)有“形”無(wú)“數(shù)”或者有“數(shù)”無(wú)“形”，使問(wèn)題的解決缺失了數(shù)學(xué)的味道。

例3：如圖3，在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？

學(xué)生解答：平行，因?yàn)橹本€b，c都垂直于直線a，所以直線b，c平行。理由是平行線的性質(zhì)。

分析：出現(xiàn)這種問(wèn)題在于學(xué)生沒(méi)有將“文字語(yǔ)言”“圖形語(yǔ)言”“符號(hào)語(yǔ)言”進(jìn)行轉(zhuǎn)換。實(shí)際問(wèn)題中常遇到純“文字語(yǔ)言”給出的題目，我們要教會(huì)學(xué)生通過(guò)“圖形語(yǔ)言”這座橋梁將其“數(shù)學(xué)化”，再用“符號(hào)語(yǔ)言”將其翻譯出來(lái)，然后再去進(jìn)行說(shuō)理。

二、素養(yǎng)之缺

解決“說(shuō)理”時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題的關(guān)鍵在于：除了掌握知識(shí)本身之外，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，尤其需要培養(yǎng)以下三方面的能力。

1.準(zhǔn)確“審題”的理解能力。

要想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，首先要能準(zhǔn)確理解題目的意思，知道條件是什么，需要得到的結(jié)果是什么。如果題目都沒(méi)有讀懂，就不能說(shuō)清要解決什么問(wèn)題，更無(wú)從解決問(wèn)題。

2.三種“語(yǔ)言”轉(zhuǎn)化的能力。

在學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，“文字語(yǔ)言”“圖形語(yǔ)言”“符號(hào)語(yǔ)言”的表述和轉(zhuǎn)化十分重要。如何將原先用文字語(yǔ)言表述的幾何概念、基本事實(shí)、定理等知識(shí)轉(zhuǎn)化為圖像語(yǔ)言，再結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)出來(lái)是學(xué)生初涉“說(shuō)理”的一個(gè)“坎”。

3.“由果索因”的分析能力。

“由果索因”是逆向思維運(yùn)用在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的一種重要方法。當(dāng)學(xué)生遇到那些條件和結(jié)論之間的關(guān)系比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，就可以逆向思考，從要得到的結(jié)果出發(fā)，根據(jù)既定法則和事實(shí)條件，分析得到這個(gè)結(jié)果需要什么條件，包括隱含條件、過(guò)渡條件等等，最終追到這個(gè)條件可以通過(guò)題目已知條件解決。這種分析能力在解決“說(shuō)理”問(wèn)題時(shí)十分管用。如果初期通過(guò)實(shí)踐養(yǎng)成了這種良好的思維習(xí)慣，對(duì)學(xué)習(xí)解決數(shù)學(xué)甚至其他學(xué)科的問(wèn)題具有重要價(jià)值。

三、“說(shuō)理”關(guān)鍵

1.因果關(guān)系力求“步步有據(jù)”。

說(shuō)理要求“步步有據(jù)”。這里的“據(jù)”指的就是相關(guān)的基本概念、基本事實(shí)、定理及其推論。當(dāng)說(shuō)理涉及有關(guān)定義、性質(zhì)、判定等問(wèn)題時(shí)，一定要把條件、結(jié)論分析清楚，明確因果關(guān)系，這也是進(jìn)行“說(shuō)理”的前提。

2.說(shuō)理過(guò)程盡量“一氣呵成”。

數(shù)學(xué)講究“能簡(jiǎn)則簡(jiǎn)”，崇尚“簡(jiǎn)約美”。事實(shí)上，將復(fù)雜的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形、符號(hào)語(yǔ)言就是“能簡(jiǎn)則簡(jiǎn)”數(shù)學(xué)思想的一種體現(xiàn)。“說(shuō)理”既要說(shuō)清道理，用最簡(jiǎn)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，還要盡力做到“一氣呵成”，避免出現(xiàn)相同問(wèn)題重復(fù)說(shuō)，簡(jiǎn)單問(wèn)題繞圈說(shuō)等情況，使得整個(gè)解答冗長(zhǎng)、啰嗦，雖然說(shuō)出了理，但讓觀者望而生煩。

3.語(yǔ)言轉(zhuǎn)換“合理熟練”。

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家G·Polya指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！笨梢?jiàn)，要在新課標(biāo)下關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)展，就要在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分體現(xiàn)它的兩個(gè)側(cè)面：既重視數(shù)學(xué)內(nèi)容形式化、抽象化的一面，又要重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造過(guò)程中具體化、經(jīng)驗(yàn)化的一面。在說(shuō)理時(shí)，將“數(shù)”“形”兩種量進(jìn)行準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化十分重要。解決好說(shuō)理問(wèn)題，必須要掌握本節(jié)重要的知識(shí)內(nèi)容。（見(jiàn)下表）

圖形語(yǔ)言　符號(hào)語(yǔ)言知識(shí)內(nèi)容∵a∥b 兩直線平行的性質(zhì)兩直線平行文字語(yǔ)言條件結(jié)論同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)a b 2 6同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等∵∠1=∠5∵∠4=∠6 4 3 5任選一組同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角∴a∥b 1 8兩直線平行7同旁內(nèi)角互補(bǔ)B兩直線平行的判定C∵∠4+∠5=180°∠A+∠B+∠C=360° A內(nèi)角和是180° D C A ∠DAB+∠EBC+∠FCA=360° F外角和是360°多邊形的外角和三角形B這個(gè)三角形是等腰三角形一個(gè)三角形有兩條邊相等E兩腰相等A等腰三角形BC等邊三角形類比等腰三角形中線線段等量關(guān)系A(chǔ) 12AC角平分線∵線段AD是∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=∵AB=AC∴三角形ABC是等腰三角形∵三角形ABC是等腰三角形∴AB=AC∵線段BE是△ABC的邊AC上的中線∴AE=CE= E C角的等量關(guān)系B 12∠BAC分類討論直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況線線之間的位置關(guān)系以及角的等量關(guān)系FD∵線段AF是△ABC的邊BC上的高∴AF⊥BC，∠AFC=∠AFB=90°高線三角形∴∠1=∠5∴∠4=∠6∴∠4+∠5=180°備注多邊形的內(nèi)角和

在說(shuō)理過(guò)程中，還常常會(huì)遇到以前所學(xué)過(guò)的知識(shí)，如兩直線互相垂直的定義、性質(zhì)等內(nèi)容，類比這種分析方式，理清條件、結(jié)論，再遷移到語(yǔ)言的互相轉(zhuǎn)換。這種能力的培養(yǎng)還將為學(xué)習(xí)幾何部分的其他內(nèi)容奠定下重要的基礎(chǔ)。

總之，初涉平面圖形的說(shuō)理，只要弄清所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容，準(zhǔn)確分析條件和結(jié)論，掌握語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的技巧，熟悉數(shù)形結(jié)合的思想，就不會(huì)難。

（作者為南京市第五十四中學(xué)教師）