傅里葉變換基本性質(zhì)的物理詮釋

唐榮安　洪學(xué)仁　徐紅萍　高吉明　豆福全（西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070）

傅里葉變換基本性質(zhì)的物理詮釋

唐榮安洪學(xué)仁徐紅萍高吉明豆福全
（西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070）

數(shù)學(xué)物理方法是物理學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課，其中的積分變換部分也是工程技術(shù)專業(yè)的基本教學(xué)內(nèi)容.在該課程中，傅里葉變換往往是積分變換法教學(xué)的首要內(nèi)容，而傅里葉變換的基本性質(zhì)則是該部分的重點(diǎn)，也是其產(chǎn)生廣泛應(yīng)用的關(guān)鍵原因.本文從振動的合成與分解、物理學(xué)量綱分析等角度對傅里葉變換的線性定理、延遲定理、位移定理、標(biāo)度變換定理、微分定理及卷積定理共6條基本性質(zhì)進(jìn)行了物理學(xué)詮釋.對學(xué)生深刻理解和靈活運(yùn)用傅里葉變換法解決物理問題、進(jìn)行信號頻譜分析大有裨益；對學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的量子力學(xué)、信號與系統(tǒng)等課程亦有幫助.

傅里葉變換；物理詮釋；數(shù)學(xué)物理方法

作為物理學(xué)專業(yè)必備的數(shù)學(xué)物理方法之一和工程類的重要分析手段，傅里葉變換不僅在求解數(shù)學(xué)物理方程和信號分析中發(fā)揮著極為重要的作用［1-7］，而且與量子力學(xué)中的表象變換有一定的關(guān)聯(lián)性［1，2，8］，對后續(xù)的量子力學(xué)、信號與系統(tǒng)等課程教學(xué)有較大影響.在教學(xué)過程中，傅里葉變換往往是積分變換法部分的教學(xué)切入點(diǎn).傅里葉變換擁有良好的基本性質(zhì)，這是決定其重要性和廣泛應(yīng)用的關(guān)鍵因素之一.因此傅里葉變換的基本性質(zhì)是教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容.當(dāng)前的教材在介紹傅里葉變換的基本性質(zhì)時(shí)，都是基于基本的數(shù)學(xué)證明，而缺乏深入的物理剖析.如果站在數(shù)學(xué)物理學(xué)科方法論的角度考慮［1］，筆者覺得非常有必要進(jìn)行這方面的教學(xué)研究，同時(shí)這對于學(xué)生掌握并靈活應(yīng)用傅里葉變換、學(xué)好物理學(xué)也非常有益.為此，筆者結(jié)合學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)（學(xué)生學(xué)習(xí)這門課一般在第三學(xué)期，具備了一些基本的力學(xué)基礎(chǔ)知識和方法，而量子力學(xué)和更高深的理論物理還沒有接觸到），利用物理學(xué)中振動的合成分解原理、量綱分析等對傅里葉變換的線性定理、延遲定理、位移定理、標(biāo)度變換定理、微分定理及卷積定理共6條基本性質(zhì)進(jìn)行了詮釋.

1　傅里葉變換的數(shù)學(xué)形式及物理對應(yīng)

在進(jìn)行性質(zhì)的詮釋之前有必要給出傅里葉積分及傅里葉變換，傅里葉積分表述為

其中

式（2）就是通常所說的傅里葉變換，即

上述表達(dá)式及下文中傅里葉變換基本性質(zhì)的數(shù)學(xué)敘述均摘自楊孔慶老師編寫的《數(shù)學(xué)物理方法》教材［1］.

為了便于分析，這里從振動的角度出發(fā)，首先給出上述表達(dá)式的物理對應(yīng).如果把式（1）中的變量x和k分別視為時(shí)間和頻率的話，則f（x）可以視為振動信號，而傅里葉積分式（1）代表振動的分解，即將復(fù)雜運(yùn)動分解為簡諧振動的線性疊加［5］，而傅里葉變換式（2）代表分解式（1）中各簡諧振動前的系數(shù)，稱為頻譜［4］.這里需要注意3點(diǎn)：（1）將f（x）視為振動信號并不意味著f（x）一定是周期的，f（x）亦可以是非周期信號；（2）這里的簡諧振動采用復(fù)數(shù)形式的運(yùn)動方程eikx；（3）這里的分解系數(shù)即頻譜具有類似于權(quán)重的意義，但其取值則在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，并不局限于正實(shí)數(shù).由于這里側(cè)重于對傅里葉變換基本性質(zhì)的物理理解而非嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，為了能從振動的角度更容易理解問題，將分解系數(shù)（頻譜）稱為“權(quán)數(shù)”，從而傅里葉變換式（2）代表分解式（1）中各簡諧振動的權(quán)數(shù).同時(shí)為了方便，在下文中我們將分解式（1）中的各簡諧振動稱為f（x）的各分振動.

下面基于以上物理對應(yīng)對傅里葉變換的6個(gè)基本性質(zhì)進(jìn)行物理詮釋.

2　傅里葉變換基本性質(zhì)的物理詮釋

2.1線性定理

性質(zhì)敘述：設(shè)α1，α2為任意常數(shù)，有

物理學(xué)詮釋：基于1節(jié)中的物理對應(yīng)，線性定理式（3）變得易于理解：α1f1（x）+α2f2（x）代表振動的線性組合，考慮到振動分解式（1）的思想，α1f1（x）+α2f2（x）所對應(yīng)的分振動權(quán)數(shù)F［α1f1（x）+α2f2（x）］必是f1（x）和f2（x）分振動權(quán)數(shù)F［f1（x）］和F［f2（x）］的線性組合α1F［f1（x）］+ α2F［f2（x）］，從而式（3）成立.

2.2延遲定理

性質(zhì)敘述：

物理學(xué)詮釋：采用1節(jié)中的物理對應(yīng)，x0的出現(xiàn)，即x-x0表征了計(jì)時(shí)起點(diǎn)的改變，對一振動信號而言，表征相位的移動.對基本的簡諧振動，相位的移動量是-kx0，引起運(yùn)動方程的改變量為e-ikx0.根據(jù)振動的分解原理，f（x-x0）分解成各簡諧振動時(shí)，各簡諧振動均會產(chǎn)生e-ikx0（亦可由式（1）直接看出），即f（x-x0）的分解權(quán)數(shù)F［f（x-x0）］等于f（x-x0）的分解權(quán)數(shù)F［f（x）］乘以e-ikx0，從而延遲定理式（4）成立.

2.3位移定理

性質(zhì)敘述：

物理學(xué)詮釋：采用1節(jié)中的物理對應(yīng)，當(dāng)給f（x）乘以eik0x時(shí)，引起相位的增加，即f（x）eik0x各簡諧分振動的相位較之f（x）多出了k0x，從而引起f（x）eik0x的權(quán)數(shù)分布F［f（x）eik0x］較之f（x）的權(quán)數(shù)分布F［f（x）］=C（k）發(fā)生了平移（若頻率k0＞0則藍(lán)移，若頻率k0＜0則紅移），平移的頻率量為k0，即有F［f（x）eik0x］=C（k-k0），式（5）成立.

2.4標(biāo)度變換定理

性質(zhì)敘述：當(dāng)變量x→x′=ax，a≠0時(shí)，則有

2.5微分定理

性質(zhì)敘述：若|x|→∞時(shí)，有f（x）→0，f（n-1）（x）→0（其中n=0，1，2，…）則

物理學(xué)詮釋：采用1節(jié)中的物理對應(yīng)，傅里葉積分式（1）代表振動的分解，即將復(fù)雜運(yùn)動分解為簡諧振動的線性疊加，當(dāng)給f（x）求導(dǎo)時(shí)，各分振動均會因此而出現(xiàn)i k，從而分振動權(quán)數(shù)變?yōu)閕 k倍，即有F［f′（x）］=i k F［f（x）］，式（7）成立.式（7′）的理解類似.該性質(zhì)亦可與量子力學(xué)中的動量算符建立一定的關(guān)聯(lián)［7］，因此該性質(zhì)的物理詮釋對學(xué)生理解后續(xù)量子力學(xué)課程中的動量算符很有好處.

2.6卷積定理

性質(zhì)敘述：

其中

稱為函數(shù)f1（x）和f2（x）的卷積，它是x的函數(shù).

物理學(xué)詮釋：首先將卷積式（9）中的f1（x-ξ）和f2（ξ）進(jìn)行振動分解，有

其中，C1（k1）=F［f1（x）］，C2（k2）=F［f2（x）］，式（10）中e-ik1ξ的出現(xiàn)是由于ξ引起的相移而導(dǎo)致，即延遲定理1.2.

其次利用式（10）和式（11）可給出由基本簡諧振動合成的卷積

由此可見C1（k1）C2（k1）就是卷積f1（x）*f2（x）振動分解時(shí)各簡諧振動的權(quán)數(shù)，即F［f1（x）*f2（x）］= F［f1（x）］F［f2（x）］.

該基于物理思想結(jié)合運(yùn)算給出的卷積定理的論述亦可單獨(dú)作為卷積定理的數(shù)學(xué)證明，而該證明完全不同于目前的教材［1，2，4，6］.

3　結(jié)語

綜上所述，傅里葉變換具有線性定理是因?yàn)檎駝拥姆纸?、簡諧振動的線性疊加原理，延遲和位移定理則是由于時(shí)間或坐標(biāo)的平移引起簡諧振動的相位變換，從而出現(xiàn)e-ikx0或eik0x，通過量綱分析可以看到因?yàn)闀r(shí)間的單位變換而引起頻率及分振動權(quán)數(shù)的單位變換，從而有標(biāo)度變換定理，微分運(yùn)算作用在每一個(gè)分簡諧運(yùn)動上會產(chǎn)生i k導(dǎo)致了微分定理，而卷積定理則可利用振動的分解及位移定理進(jìn)行分析.這些性質(zhì)也可從其他角度出發(fā)來嘗試?yán)斫?，比如Hilbert空間、量子力學(xué)的表象變換等，但本文的分析較符合學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu).

在教學(xué)中進(jìn)行傅里葉變換的物理詮釋不僅能加深學(xué)生對以前所學(xué)振動、量綱分析等物理知識和方法的理解，提高學(xué)生靈活運(yùn)用積分變換法處理物理問題的能力，而且對后續(xù)量子力學(xué)、信號與系統(tǒng)等課程的學(xué)習(xí)很有幫助.

［1］ 楊孔慶.數(shù)學(xué)物理方法［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］ 姚端正，梁家寶.數(shù)學(xué)物理方法［M］.2版.武漢：武漢大學(xué)出版社，1997.

［3］ 劉秉正，彭建華.非線性動力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［4］ 張?jiān)?積分變換［M］.4版.北京：高等教育出版社，2003.

［5］ 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)［M］.2版.北京：高等教育出版社，2005.

［6］ 梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010.

［7］ 吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1999.

［8］ 周世勛.量子力學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，1979.

PHYSICAL EXPLANATION FOR THE BASIC PROPERTIES OF FOURIER TRANSFORM

Tang Rong'an Hong Xueren Xu Hongping Gao Jiming Dou Fuquan
（College of Physics and Electric Engineering，Northwest Normal University，Lanzhou，Gansu 730070）

Methods of mathematical physics is a basic professional course in physics，In which the integral transform is the basic teaching content in the field of engineers technology.In the course，F(xiàn)ourier transform is always arranged as the primary content in the chapter of integral transforms.Basic properties of Fourier transform are the key points in this part and the critical reason for its wide range of applications.By using the synthesis and decomposition of vibration and the physics dimension analysis，this paper presents the physical interpretation of six basic properties of Fourier transform consisting of linearity theorem，shifting theorem，translation theorem，scaling theorem，derivative theorem and convolution theorem.The discussion and results can not only help the students easily use Fourier transform in physics and signal analysis，but also help them understand the subsequent contents learned in the quantum mechanics，signals and systems，and other physical theories.

Fourier transform；physical explanation；methods of mathematical physics

2015-10-04

國家自然基金項(xiàng)目（11365020，2014.1-2017.12）；甘肅省高等學(xué)?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目（極端條件下電子、離子及原子動力學(xué)特性研究，2013.1-2015.12）；西北師范大學(xué)教學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（物理學(xué)專業(yè)“云亭班”教學(xué)計(jì)劃實(shí)施效果跟蹤，2013.7-2015. 7）；西北師范大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目（少數(shù)民族學(xué)生“數(shù)學(xué)物理方法”多元模式教學(xué)探究，2013）

唐榮安，男，副教授，主要從事數(shù)學(xué)物理方法和力學(xué)等課程的教學(xué)及研究工作.tangra79@163.com