神奇的幾何圖形——“半搬角”

☉湖北武漢第三寄宿中學　何亞琴

神奇的幾何圖形——“半搬角”

☉湖北武漢第三寄宿中學何亞琴

數(shù)學新課標要求數(shù)學教師教給學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容有利于學生主動進行觀察、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動.內(nèi)容的呈現(xiàn)應采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求.有效的數(shù)學學習活動不能單純依賴于模仿與記憶.動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式.

筆者在數(shù)學習題課教學時常常進行一些有效的嘗試，讓學生在自己探索的前提下提出問題，然后通過小組合作交流得出結論，進一步培養(yǎng)了學生的觀察推理能力，提升了學生的數(shù)學學習熱情.下面我將一類被學生命名為“半搬角”的習題的探求過程呈現(xiàn)如下.

人教版平行四邊形這一章中有這樣一道習題：如圖1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，角的兩邊分別交邊BC和邊DC于點E、F，探求線段DF、BE和EF之間的大小關系.

學生經(jīng)過短暫的交流與討論后，很快找到了解決辦法.延長線段CB到H，使BH=DF，連接AH，證明△ABH≌△ADF，再證明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，所以BE+ DF=EF.實際上是將△ADF繞A點旋轉(zhuǎn)90°，這時線段AD與線段AB重合，并且C、B、D、F四點共線，這是問題的根本.

當然，這道題中我們還可以得到FA是∠DFE的角平分線，EA是∠BEF的平分線，這個結論為后續(xù)的變換提供了依據(jù).當我把“角的兩邊分別交邊BC和邊DC于點E、F”改為“角的兩邊分別交直線BC和DC于點E、F”探求線段DF、BE和EF之間的大小關系時，課堂氣氛頓時活躍起來，學生紛紛畫圖.很快有學生在黑板上畫出了圖2，并告訴同學們“形變法不變”，證法基本相同，屬于基本的圖形變換題.

圖1

圖2

圖3

圖4

學生探求至此，應該是有收獲的，但并沒有領悟到此題的本質(zhì).這里的正方形能否進行替換？如果替換，哪些條件會跟著一起換？

觀察圖3，四邊形ABCD中，∠EAF=45°，角的兩邊分別交邊BC和邊DC于點E、F，___________添加四邊形ABCD的邊和角必須滿足的條件），線段DF、BE和EF之間的大小關系依然成立！

學生進行小組合作討論，有小組提出∠BAD必須是90°，還有小組提出∠BAD的對角必須也是90°，馬上又有學生提出必須保證兩組對角都互補，最終學生共同探究的結果是：∠BAD必須是90°，∠BAD的對角必須也是90°.

那么四邊形ABCD的邊必須滿足什么條件呢？

我讓學生回憶上一題中的證明過程，我們在證明△ABH≌△ADF時，實際上是將△ADF繞著A點旋轉(zhuǎn)了90°到△ABH，為了確保線段AD和線段AB重合，這里必須有AD=AB.

至此，我們可以將課本習題改為“四邊形ABCD中，∠EAF=45°，角的兩邊分別交邊BC和邊DC于點E、F，∠BAD=90°，∠BCD=90°，AD=AB.請問：線段DF、BE和EF之間有何大小關系？

經(jīng)過小組討論，學生對這個結論的由來已經(jīng)非常清楚明了，變形后的證明也輕而易舉了.如圖8，當∠EAF的兩邊分別交邊BC和邊DC的延長線于點E、F時，圖2中的結論依然成立.

提出了對角互補這個條件的小組依然堅持自己的見解，并將此題進行了進一步變形，他們提出當四邊形的一組對角互補時只用將∠EAF的度數(shù)改成∠DAB的一半，也就是將題目改變成：四邊形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交邊BC和邊DC于點E、F，∠EAF等于∠BAD的一半，∠BAD+∠BCD=180°，AD=AB.請問：線段DF、BE和EF之間有何大小關系？

很快有其他的小組給出了證明.當然證明思路不變.并且馬上有學生翻出了課本中的圖5這道題，說明這道題就是剛才變換后的一種特殊情況，這道題目是這樣的：已知等邊三角形ABC，以BC為底作等腰三角形BDC，使∠BDC=120°，BD=DC，∠EDF=60°，∠EDF的兩邊交直線AB和AC于點E和F，請問：線段BE、EF、FC之間有什么大小關系？

圖5

圖6

圖7

圖8

學生能夠舉一反三，確屬不易，我充分肯定了學生的發(fā)現(xiàn)，這時又有學生將本題改編成圖6的變換形式.圖5中BE+FC=EF，圖6中FC-BE=EF.當然ED和FD也是∠BEF和∠EFC的角平分線.

此時又有小組在課本中找出了圖7，他們提出實際上這道題也屬于此題范圍，題目是這樣的：已知AB∥CD，E為AD的中點，∠BEC=90°，問：線段AB、CD及BC之間有何大小關系？我讓學生闡述理由，他這樣告訴我：這里的EA=ED，∠BEC等于∠AED的一半，解題方式一樣，相當于將△ABE繞E點旋轉(zhuǎn)180°，（也可看成中線倍長）這里AB∥CD，∠A與∠D互補，能夠確保旋轉(zhuǎn)后線段AB和線段CD在同一條直線上，當然很容易證明AB+CD= BC，當然兩條角平分線依然成立，它們就是BE和CE.而且學生還發(fā)現(xiàn)這里共有五個條件，已知AB∥CD：∠BEC= 90°，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，E為線段AD的中點，AB+CD=BC，這五個條件只要給定兩個作為已知條件就可推出其他三個.

對于學生提出的發(fā)現(xiàn)，我沒有馬上進行肯定，而是讓學生下課后繼續(xù)研究后驗證該發(fā)現(xiàn)是否正確.這激起了他們的探索欲望，還有學生提出圖4也屬于本題范疇，題目是這樣的：等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠EAF=45°，∠EAF的兩邊交BC于點E和F，問：線段BE、EF、FC有何大小關系？

這里∠EAF為∠BAC的一半，同樣有AB=AC，我們逆時針旋轉(zhuǎn)△ABE90度到線段AB與線段AC重合，但此時A、C、B三點不在同一條直線上，原因就是∠B和∠C的和不是180°，此時線段BE、EF、FC組成了一個直角三角形.

這道題研究到這一步，我覺得學生從動手實踐再到自主探索與合作交流，提升了學生學習數(shù)學的能力與興趣，這樣的課堂教學也讓學生喜歡.為了鞏固研究成果，我號召學生給這道題取個名字，最后入選的名字叫“半搬角”，我覺得這個名字形象、生動地解釋了這個圖形的內(nèi)在本質(zhì)！就是一半的角在大角內(nèi)旋轉(zhuǎn)搬動所形成的圖形.“半搬角”——真是一個神奇的圖形！