開放與放開：概念生成與例題變式的教學(xué)追求——從“三角形內(nèi)角和”教學(xué)說起

☉江蘇省南通市第一初級中學(xué)　周紅娟

開放與放開：概念生成與例題變式的教學(xué)追求——從“三角形內(nèi)角和”教學(xué)說起

☉江蘇省南通市第一初級中學(xué)周紅娟

幾何新授課教學(xué)一直是教學(xué)研討的重點(diǎn)，特別是幾何概念如何生成？新概念怎樣得到運(yùn)用和鞏固？都是教師值得精心設(shè)計(jì)的主題.本文從近期筆者開設(shè)的一節(jié)“三角形內(nèi)角和”教學(xué)研討課的兩個(gè)教學(xué)片斷說起，并圍繞幾何概念的生成、例題教學(xué)的開放兩個(gè)角度進(jìn)一步闡釋，提供研討.

一、從“三角形內(nèi)角和”教學(xué)說起

教學(xué)片斷1：三角形內(nèi)角和定理的情境引入.

師：小學(xué)我們就已經(jīng)知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，當(dāng)時(shí)你是如何驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論的？

生1：把三角形的三個(gè)角都用量角器測量出來，然后加起來發(fā)現(xiàn)是180°.

生2：用折紙的方法，將三角形折成一個(gè)長方形（演示過程如圖1所示）

圖1

圖2

圖3

生3：也可以把三角形的三個(gè)角剪下來，拼到一起，發(fā)現(xiàn)構(gòu)成一個(gè)平角.

師：幾種方法都正確.現(xiàn)在大家利用手中的三角形，通過剪和拼的方法驗(yàn)證我們的結(jié)論.（學(xué)生大多拼成類似圖2或圖3的圖形）

師：現(xiàn)在我們本子上或黑板上畫的這個(gè)三角形，無法將角剪下來，我們能不能從剛才實(shí)驗(yàn)操作的過程中總結(jié)方法，嘗試證明三角形的內(nèi)角和是180°呢？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在小組之間進(jìn)行交流）

解讀：三角形內(nèi)角和為180°是學(xué)生在小學(xué)就已熟知的一個(gè)性質(zhì)，但是小學(xué)圖形學(xué)習(xí)并不要求推理證明，這里通過引導(dǎo)學(xué)生回顧當(dāng)時(shí)是如何通過剪拼“實(shí)驗(yàn)”驗(yàn)證這一性質(zhì)，主要意圖并不是重復(fù)小學(xué)階段的剪拼活動(dòng)，而是重新反思這些操作活動(dòng)的原理，并由這些操作活動(dòng)得到的“拼接線”受到啟發(fā)，作出相應(yīng)的輔助線，為進(jìn)一步推理證明獲得思路啟發(fā).

教學(xué)片斷2：三角形內(nèi)角和定理的例題教學(xué)環(huán)節(jié).

在“三角形的內(nèi)角和”的例題教學(xué)環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)問題鞏固定理.

問題1：在△ABC中.

（1）若∠A=50°，_________________，則∠C的度數(shù)是_______________.

（2）若_____________________________，則∠C的度數(shù)是_______________.

（補(bǔ)充一個(gè)條件，使能求出∠C的度數(shù)）

生4：若∠B=60°，則∠C=70°.

生5：若∠B比∠A大10°，則∠C=70°.

師：不錯(cuò)，三角形中已知兩個(gè)角，就能求出第三個(gè)角的度數(shù).

哪位同學(xué)還能補(bǔ)充一個(gè)與此不同類型的條件？

生6：若∠C=∠A，則∠C=50°.

生7：若∠B=∠A，則∠C=80°；若∠B=∠C，則∠C= 65°.

這時(shí)學(xué)生在考慮他們熟悉的一些圖形，在嘗試分析三角形三個(gè)角之間的關(guān)系.

（在短暫的等待后）生8：若∠B-∠C=10°，則∠C= 60°.

師：為什么想到補(bǔ)充這樣的條件？

生8：如果∠A=50°，則∠B+∠C=130°，再補(bǔ)充∠B-∠C=10°的條件，就可以組成方程組.

師：正確！△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°是關(guān)于∠A、∠B、∠C的一個(gè)數(shù)量關(guān)系，當(dāng)已知其中兩個(gè)角，則可求得第三個(gè)角，當(dāng)已知其中一個(gè)角，則可求得另外兩角之間的關(guān)系.

解讀：由于學(xué)生在小學(xué)階段就運(yùn)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)解過大量的習(xí)題，所以我們安排的例題就沒有重復(fù)小學(xué)的練習(xí)類型，而是設(shè)計(jì)成開放式的問題，讓學(xué)生參與設(shè)計(jì)，結(jié)果精彩紛呈，出現(xiàn)豐富的題型，并且結(jié)合了方程組的思想，從多個(gè)等量關(guān)系的角度解讀學(xué)生設(shè)計(jì)問題，也使得例題的講評更加有了初中階段的“學(xué)段特點(diǎn)”.

二、關(guān)于幾何概念生成與運(yùn)用的思考

以上再現(xiàn)了筆者在“三角形內(nèi)角和”教學(xué)時(shí)的兩個(gè)教學(xué)片斷，下面再圍繞幾何概念生成和鞏固運(yùn)用給出進(jìn)一步的闡釋和思考.

1.重視知識(shí)的生成過程，注重引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)

在上文“教學(xué)片斷1”可以發(fā)現(xiàn)，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ).“三角形的內(nèi)角和是180°”這個(gè)結(jié)論學(xué)生非常熟悉，折紙亦或剪拼對他們來說也容易接受，但是最后的“如何證明”這個(gè)問題很快將學(xué)生的思維由直觀感知引向嚴(yán)密的邏輯思維.學(xué)生需要思考用怎樣的數(shù)學(xué)方法不改變角的大小但是改變它的位置？這時(shí)就有學(xué)生想到通過構(gòu)造平行線來等量轉(zhuǎn)換角.雖然拼成圖3的同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中遇到了一些阻礙，我們不用急于告訴學(xué)生這種拼的方法行不通，無法證明.全國著名特級教師李庾南老師專家報(bào)告曾提及如下觀點(diǎn)：中考復(fù)習(xí)期間，較難綜合題講解時(shí)，常常向?qū)W生展示合理念頭往前推演，思路受阻時(shí)，解決問題的智慧在于：合理念頭，推演幾步，思路受阻，回頭是岸，調(diào)整方向，貫通思路，反思全程，明辨“是非”.筆者深有共鳴：這樣的過程，才能讓學(xué)生從被動(dòng)接受性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)獲取性學(xué)習(xí)，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力才能獲得提升.

2.開放例題追求變式生成，促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展

在“教學(xué)片斷2”中提供的開放式例題，帶來的教學(xué)效果不僅限于一題多解、一題多變、一題多法.而是在已知條件和問題上進(jìn)行開放或半開放，一方面面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展需要，使得不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展；另一方面，盡量不讓學(xué)生跟隨老師慣性運(yùn)轉(zhuǎn)，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，克服思維惰性，讓學(xué)生思維的變通性和創(chuàng)造性得到發(fā)展.而學(xué)生在設(shè)計(jì)問題的過程中，不斷在大腦搜集整理關(guān)于本題的信息（已知和未知），用什么來建立關(guān)聯(lián).算式方法也好，方程思想也罷，重要的是，這是屬于學(xué)生自己的問題，自己的方法！新課標(biāo)指出：學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心.

3.教師敢于開放和善于放開，學(xué)生主體性就能得到激發(fā)

從上面兩個(gè)教學(xué)片斷來看，概念教學(xué)的情境開放與例題教學(xué)中條件、結(jié)論的開放，都源于備課設(shè)計(jì)時(shí)教者的敢于開放，如果情境也限制教師的預(yù)設(shè)、例題也是教師本人給出，則學(xué)生亦步亦趨地跟著學(xué)完一節(jié)課，對于這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)效果達(dá)成也可能是高效的.但是對于學(xué)生主體性的體現(xiàn)，就沒有達(dá)到一定的高度，沒有能走向從學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)的學(xué)力發(fā)展高度.比如，筆者此前在“等腰三角形”教學(xué)研討課的研究中，曾經(jīng)糾結(jié)過不同的新課導(dǎo)入方案（兩種引入方案），方案1：（人教教材）如圖4，先將一張紙片對折剪出一個(gè)等腰三角形進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其軸對稱性；方案2：（蘇科教材）如圖5，將等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？因?yàn)槭悄M課堂，所以最終也無法定奪究竟哪種更易為學(xué)生接受.

圖4

圖5

圖6

筆者以為：無論哪一種引入方法，實(shí)際上都給學(xué)生框定了一條路“折疊”，為什么這個(gè)方法不能由學(xué)生來主動(dòng)思考呢？既然等腰三角形是學(xué)生熟悉的，“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”也是學(xué)生知道的結(jié)論，教師何不直接拋出問題“你如何驗(yàn)證等腰三角形的兩個(gè)底角相等？”引導(dǎo)學(xué)生“將等腰三角形沿頂角平分線折疊”，進(jìn)一步分析得到通過作等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線或者底邊上的高來構(gòu)造全等三角形（如圖6），等腰三角形幾個(gè)性質(zhì)的獲得和證明都是水到渠成.

有人說，課堂教學(xué)中的“生成”并不應(yīng)該期待更多的預(yù)設(shè)之外的生成，而應(yīng)該是教師本人預(yù)設(shè)下的精彩生成.這是有充分道理的，但是課前預(yù)設(shè)的基本功，以及敢于和善于“放開”的智慧又是值得認(rèn)真研討的話題.筆者以為，這些預(yù)設(shè)的功夫最后都指向教師的專業(yè)基本功：善于提問、善于舉例、善于優(yōu)化（鄭毓信教授語）.

參考文獻(xiàn)：

1.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.周紅娟.從操作走向思考，從“參觀”走向“探索”——“等腰三角形的性質(zhì)（第1課時(shí)）”教學(xué)與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（7）.

3.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

4.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

5.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

6.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.