客從何處來：一道幾何把關(guān)題的命制歷程

☉江蘇海門市悅來初中　楊衛(wèi)東

客從何處來：一道幾何把關(guān)題的命制歷程

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中考把關(guān)題的命制堅持“從教材出發(fā)，源于教材、高于教材”已逐漸成為各地中考命題組的共識.本文記錄一道考題（2016年江蘇省南通市第27題）的命題歷程與打磨意見，供分享.

試題原型：（人教版九下P36，練習(xí)2）如圖1，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高.

圖1

求證：（1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC.

考查方向：主要考查相似三角形的判定方法，由∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，得∠A+∠ACD=∠BCD+ ∠ACD=90°，可得∠A=∠BCD，進而△ACD∽△ABC∽△CBD.

設(shè)問方向：

（1）在這個基本圖形中，只要已知其中的任意2條線段長，你可以求出其他所有線段長嗎？

設(shè)問意圖：比如已知CD和AB的長，可設(shè)AD=x，則BD=AB-x，利用CD2=AD·BD得x（AB-x）=CD2，解這個一元二次方程，即可求出x的值，利用已知圖形中AD與BD的大小關(guān)系，可以確定AD與BD的長，再利用勾股定理去求出AC、BC的長.

（2）若已知兩直角邊的長，不利用三角形相似，你能求出斜邊上的高CD的長嗎？

形成初稿：如圖2，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CO⊥AB于點O，D是線段AB上一點，DE=a，DE∥AC（∠ADE＜90°），連接AE、BE、CD，設(shè)BE、CD的中點分別為P、Q.

（1）當(dāng)四邊形ACDE是菱形時，求AD、CO的長；

（2）當(dāng)a=2時，求PQ的長；

（3）點D從點A開始運動到點B停止，請直接寫出線段PQ的中點運動的路徑長.

圖2

圖3

所以，（1）中添上了條件“四邊形ACDE是菱形”，考生需要分析出a=3，且點O恰好是線段CE的中點.

當(dāng)然，憑借“試題原型”中的經(jīng)驗，不難求出AD和CO的長.

（3）中求線段PQ的中點運動的路徑長，可以先突破：動點P、Q的運動軌跡是什么？由平移的性質(zhì)和點D的起始位置與終止位置得：四邊形AEE′B是平行四邊形，點P和點Q的運動路徑分別為線段PP′、QQ′.（見圖4）

圖4中，PB=PE，BP′=P′E′，有PP′∥EE′，PP′=EE′；又?AEE′B中，EE′=AB，EE′∥AB，得PP′∥AB，PP′=E′P′B（D′）AB.同理：QQ′∥AB，QQ′=AB.所以PP′∥QQ′，PP′=QQ′，即四邊形PP′Q′Q是平行四邊形.于是可求出線段PQ的中點運動的路徑長=

圖4

打磨意見：首先是題干中已知條件DE=a，會給考生帶來一定的思維難度，究竟a有多大呢？倒不如直接給出DE的長度；

（1）中添上的條件“四邊形ACDE是菱形”沒有為求OC的長帶來任何作用，只是為求AD的長起到了AD= 2AO的小小作用；況且能真正給予考生去解決（2）的方法暗示的信度并不高.所以四邊形ACDE是菱形不添加為好！

圖5

形成二稿：如圖5，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于點O，D是線段OB上一點，DE=2，DE∥AC（∠ADE＜90°），連接BE、CD，設(shè)BE、CD的中點分別為P、Q.

（1）求AO的長；

（2）求PQ的長；

（3）點D從點O開始運動至點B停止，請直接寫出線段PQ的中點運動的路徑長.

形成三稿：只對（3）進行修改.

（3）如圖6，當(dāng)CP平分AB時，求tan∠BED.

設(shè)問解讀：設(shè)CP與AB相交于點H，延長ED交CP于點N，交BC于點T，連接AE.（見圖7）

圖6

圖7

打磨意見：本小題把三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)進行了有機組合，綜合性很強、難度太大，得分率一定很低，真的是一道難跨的坎！看來還需從線段PQ的運動軌跡去打磨和調(diào)整.

圖8

設(shè)問解讀：過點P作PK∥ED交AB于點K，過點Q作QS∥AC交AB于點S.（見圖8）

形成定稿：（只是對最后一問進行了修改）

（3）設(shè)PQ與AB的交點為M，請直接寫出|PM-MQ|的值.

結(jié)束語：

南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授指出“善于使用化歸是數(shù)學(xué)家思維方式的重要特點”.數(shù)學(xué)解題的化歸策略豐富多樣，相信上述命題歷程的揭秘有助于廣大師生在復(fù)習(xí)備考中有的放矢，使得解題教學(xué)的針對性更強，比如學(xué)會遇河建橋、遇堵繞行、遇山開道、遇動找靜、遇難化解等.如何讓思維在高速道上奔跑，讓亮點在高架橋上掛滿，恰是命題組獻給考生的最佳禮物.

參考文獻：

1.鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論入門［M］.杭州：浙江教育出版社，2006.

2.劉東升.南通中考數(shù)學(xué)卷：21年的回望與堅守［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（1-2）.

3.【美】波利亞.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.