教學環(huán)節(jié)注重關聯(lián)，變式訓練兼顧逆向——評一節(jié)“同底數(shù)冪的乘法”匯報課

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學　許小燕

教學環(huán)節(jié)注重關聯(lián)，變式訓練兼顧逆向——評一節(jié)“同底數(shù)冪的乘法”匯報課

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學許小燕

最近有機會觀摩一名年輕教師執(zhí)教的“同底數(shù)冪”匯報課，限于觀摩展示活動的“和諧”氣氛，對于該課教學中的不少環(huán)節(jié)，筆者認為值得商榷與改進，故觀摩之后，筆者將該課教學流程梳理出來，并提出自己的一些個性化商榷意見，提供研討.

一、“同底數(shù)冪的乘法”教學流程

1.數(shù)學實驗，引入新課

活動設計：通過演示折紙，創(chuàng)設情境，激發(fā)學生學習新知識的興趣，導入探究對象：同底數(shù)冪的乘法.

演示：將一張紙條對折，每次對折后有紙幾層？第1次對折后有紙幾層？第2次對折后有紙幾層？第3次對折后有紙幾層？第4次、第5次呢？……

預設：引導學生得出規(guī)律：第1次對折后有紙21層，第2次對折后有紙22層，第3次對折后有紙23層，第4次對折后有紙24層，第5次對折后有紙25層，……

觀察：式子21、22、23、24、25有什么共同之處？

預設：學生可能回答：它們都是2的乘方的形式，此時，教師可以進一步推廣：它們都是同底數(shù)冪的形式.其間復習底數(shù)、指數(shù)、冪的概念，為同底數(shù)冪的乘法法則的準確表述打下基礎.

導入新課：如果把21、22、23、24、25等用乘號連接起來，那就是本課所要研究的主要內(nèi)容：同底數(shù)冪的乘法運算.（板書課題：同底數(shù)冪的乘法）

2.探索新知，歸納性質(zhì)

引導學生自主探究同底數(shù)冪的乘法的運算規(guī)律.

計算觀察：

（1）25×27=_____；

（2）2m×2n=_____=2（）；

（3）a5·a7=________=a（）.

預設追問：

（1）這幾道運算題有什么共同特點？

（2）請看一看自己的計算結(jié)果，這些結(jié)果有什么規(guī)律？

自主探究：aman=______=a（）.

預設互動：教師提出問題，引導學生探究規(guī)律，學生書面練習，自主探究、議論、交流、回答.

預設點評：學生通過練習，探索規(guī)律，用乘方的概念進行推算，再從特殊構(gòu)建出一般的規(guī)律，教師通過問題的提出，如把指數(shù)用字母m、n表示，而后得到aman=am+n（m，n為正整數(shù)），即同底數(shù)冪相乘，通過乘方的意義推導出：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.（可讓學生自行概括出冪的第一個運算法則）

歸納概括：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

符號表示：aman=am+n（m，n為正整數(shù)）.

自主探究，拓展推廣：am·an·ap=am+n+p（m、n、p都為正整數(shù)）.

3.理解運用，鞏固訓練

（1）x4·x6=x24（）；（2）x·x3=x3（）；

（3）x4·x4=x8（）；（4）x2·x2=2x4（）；

（5）（-x）2·（-x）3=（-x）5（）；

（6）a2·a3-a3-a2=0（）；

（7）x3·y5=（xy）8（）；（8）x7+x7=x14（）.

設計意圖：判斷題這種小題型的訓練，從正反兩個方面對法則的應用加以甄別，有利于學生加深對法則的理解，為學生進一步運用法則解題奠定理論基礎.

例2計算：

（1）x2·x5=_____；（2）a·a6=_____；（3）2×24×23=_____；（4）xm·x3m+1=_____.

預設引導：（1）使學生正確理解法則，運用法則進行計算.

（2）a·a6中注意a是a的一次方，提醒學生不要漏掉這個指數(shù)1.

（3）計算結(jié)果可以用冪的形式表示.如103×104=107，但是如果計算較簡單也可以計算出得數(shù).

設計意圖：上述例題的探究，目的是使學生理解法則，運用法則，解題時不要簡化計算過程，要讓學生反復敘述法則.

跟進練習：計算：（1）b5·b=_____；（2）10×102×103= _____；（3）y2n·y2n+1=_____；（4）-a·a6=_____；（5）（-2）3× （-2）2=_____.

設計意圖：學生在教師提供的數(shù)學材料的思維情境中思維的方向進一步拓展，初步體驗了同底數(shù)冪乘法法則計算的優(yōu)越性.

4.互動游戲，激發(fā)熱情

為了進一步深化同底數(shù)冪的乘法法則的理解和運用，激勵學生自主學習的熱情，提高學習能力，設計如下的游戲活動.

活動設計：

（1）下列哪些數(shù)或式子相乘可以用同底數(shù)冪的乘法法則進行運算？

設計意圖：將可以用同底數(shù)冪的乘法法則進行運算的各分成一類，老師在學生討論發(fā)言后，以媒體形式動畫演示.

（2）學生對這些同底數(shù)冪自行組合，出一道計算題送給同桌，看他（她）能不能正確地解答出來.

設計意圖：學生通過親身的體驗，體會法則的便捷性，在活動中感受到學習的樂趣.

聽課手記：學生熱情高漲地出了很多典型的易錯題：23×210×（-2）5×4×（-24）；（-a）4·a3·（-a7）·a6；（-x）5·x3· （-x4），……

5.回顧反思，小結(jié)收獲

教師PPT投影如下小結(jié)問題，引導學生回顧學習活動的過程，歸納其中的解題經(jīng)驗，體會其中的數(shù)學思想.

（1）通過本節(jié)課的學習，你學會了什么知識？得到了什么解題經(jīng)驗？

（2）通過本節(jié)課的學習，你體會到了哪些數(shù)學思想方法？

聽課手記：學生能說出本課所學的知識技能，如：學會了同底數(shù)冪的乘法，使用范圍是兩個冪的底數(shù)相同，且是相乘關系，使用方法：在乘積中，冪的底數(shù)不變，指數(shù)相加；運用時可以拓展，例如，對含有三個或三個以上的同底數(shù)冪，仍成立；底數(shù)和指數(shù)，它既可取一個或幾個具體數(shù)，也可取單項式或多項式；冪的乘法運算性質(zhì)注意不能與整式的加減混淆等.另外，老師引導學生歸納本課涉及的一些數(shù)學思想方法：觀察、猜想、驗證、應用，體會從“特殊”到“一般”再到“特殊”的思想方法.

二、評課意見與商榷改進

從各個教學環(huán)節(jié)的有序推進來看，上述課堂流程是完整的、有效的，教學形式是豐富多樣的，教學對話是精彩生成的，課堂氛圍是熱烈的.然而從追求更有數(shù)學味，前后關聯(lián)度更強的角度來看，上述教學設計還有一些值得商榷改進的空間，分述如下：

1.開課情境與新課內(nèi)容的關聯(lián)值得商榷

開課情境中用所謂的折紙問題的數(shù)學實驗，用來演示乘方運算的“奇異美”是有積極意義的，但是作為同底數(shù)冪的運算法則引入，則似乎缺少關聯(lián).所以這個開課情境的選擇并不可取，開課階段可以直接安排一組“計算觀察”，通過計算之后猜想并發(fā)現(xiàn)冪的運算規(guī)律，進一步證明同底數(shù)冪的運算法則，把節(jié)約出來的教學時間用于同底數(shù)冪的性質(zhì)證明及后面的變式訓練.

2.游戲活動調(diào)節(jié)課堂氛圍但不能泛娛樂化

該課在訓練鞏固環(huán)節(jié)安排了游戲活動，激活了學生參與的熱情，活躍了課堂氛圍，也有效訓練了同底數(shù)冪的運算法則.然而學生也列舉出一些易錯的問題，并且有學生因此而弄錯，但在出錯之后學生之間只是簡單的糾錯，有些學生在嬉笑彼此之后，并沒有深入追問出錯的原因，教師也沒有利用這些現(xiàn)場“生成性資源”做出必要的點評，使得究錯教學、化錯教學沒有落到實處.值得指出的是，初中數(shù)學課堂不同于小學數(shù)學，適當?shù)挠螒蚧顒诱{(diào)節(jié)課堂氛圍與課堂泛娛樂化之間的界線有時比較模糊，作為一門推崇理性思維的學科，筆者以為，數(shù)學課堂上的游戲環(huán)節(jié)應該慎用.根據(jù)數(shù)學家羅素的觀點，數(shù)學是一種冷峻美，需要的是一種“拈花微笑”的會意，不是表面上的熱鬧就能湊效的.

3.鞏固訓練環(huán)節(jié)可以變式給出“逆向”問題

鞏固訓練環(huán)節(jié)主要側(cè)重要同底數(shù)冪的正向運用，沒有變式出逆向運用的問題，對學生完善學習認知是一種習題設計上的不足.作為數(shù)學研究的一種重要范式，就是思考原命題后要繼續(xù)思考條件與結(jié)論轉(zhuǎn)換后的逆命題，向?qū)W生滲透這種研究方法是十分必要的，以下一些“逆向”問題就可以作為這節(jié)課的變式鞏固與拓展運用環(huán)節(jié)開展訓練.

一組“逆向”問題：

（1）已知8×2x=32，則x=________.

（2）已知3x=6，則3x+2=________.

（3）已知am=4，an=32，則am+n=________.

（4）已知am=5，am+n=10，則an=________.

（5）已知4x=8，4y=32，求x+y的值.

（6）若2x=m，2y=n，求2x+y+2的值.

三、寫在最后

《中學數(shù)學》（下）近期曾刊發(fā)過專家教師李庾南老師關于冪的運算課例設計，李老師基于“單元教學”的思想，把三種冪的運算法則在起始課時全盤托出，并進行了證明，想來也是值得我們借鑒的.筆者以為，無論哪種設計，是否站在理解數(shù)學的高度，理解學生的角度，可否讓“數(shù)學味”濃厚一點，能否讓學生“想得更優(yōu)化、更深入、更合理”（鄭毓信教授語），應該是我們努力的方向.

參考文獻：

1.湯志良.步步有據(jù)：推導冪的運算性質(zhì)——李庾南老師“冪的運算性質(zhì)”課例賞析［J］.中學數(shù)學（下），2015（5）.

2.周紅娟.從操作走向思考，從“參觀”走向“探索”——“等腰三角形的性質(zhì)（第1課時）”教學與反思［J］.中學數(shù)學（下），2014（7）.

3.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.

4.鄭毓信.數(shù)學教育視角下的“核心素養(yǎng)”［J］.數(shù)學教育學報，2016（3）.