淺談中職數(shù)學(xué)中用數(shù)形結(jié)合求概率

曾欽

【摘要】隨著中職教學(xué)改革不斷深入，尤其在中職數(shù)學(xué)的教育方面，本著適宜為主、夠用為度的教學(xué)原則調(diào)整了相應(yīng)的教學(xué)方式和教學(xué)任務(wù)，特別是在概率教學(xué)方面采用了數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式來加強學(xué)生對概率的理解能力和解算能力，對中職學(xué)生提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情有著非常重要的積極作用。本文對數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)點進行了一定的分析，同時對數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于概率教學(xué)的具體情況進行了針對性闡述。

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 概率

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）19-0086-02

1.前言

長期以來，如何提高我國中職數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量一直是中職數(shù)學(xué)教師關(guān)注的問題，在中職數(shù)學(xué)的實際教學(xué)過程中囊括了諸多解題思想，主要包含了歸化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等，其中，數(shù)形結(jié)合思想由于具有一定的形象性、直觀性等特點，被廣泛應(yīng)用于抽象化的教學(xué)內(nèi)容中。

2.數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)點分析

第一，具備一定的變通性。數(shù)形結(jié)合實質(zhì)上就是數(shù)與行相結(jié)合靈活運用于實際數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，特別是具有一定難度的函數(shù)問題、幾何問題以及概率問題，數(shù)與形之間的靈活轉(zhuǎn)變改變了以往數(shù)學(xué)解題枯燥單調(diào)的缺點，使得解題過程更富有趣味性，提高了學(xué)生的解題興趣。

第二，具備一定的簡化性。在實際解題過程中，通過適宜地運用數(shù)形結(jié)合思想能夠有效地將復(fù)雜題型簡單化，促使抽象問題具體化，這對減少解題難度，提高學(xué)生解題效率有著至關(guān)重要的積極作用。

第三，具備一定的發(fā)散性。數(shù)形結(jié)合思想從表層來看，是數(shù)與形的有效結(jié)合，但從更深層面來看，實質(zhì)體現(xiàn)了思維上的邏輯與形象的有效結(jié)合，在思維方面有著一定的發(fā)散性，在數(shù)形結(jié)合的實際運用中，能夠很好地增強學(xué)生自身發(fā)散性思維的有效發(fā)展。

3.數(shù)形結(jié)合思想在概率教學(xué)中的應(yīng)用

概率作為中職數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容之一，與現(xiàn)實生活的關(guān)系極為密切，但其內(nèi)容抽象，不容易理解，特別是對于初學(xué)者來說很難掌握。如果將數(shù)形結(jié)合思想適當(dāng)?shù)貞?yīng)用到概率中，可使復(fù)雜的問題簡單化，輕松地解決問題。

3.1平面直角坐標(biāo)系在求解概率問題上的應(yīng)用

通常情況下，對于幾何概型來說，可以將平面直角坐標(biāo)系作為輔助手段來求解概率問題。具體表現(xiàn)如下：

例1：在長度為1的線段上任意取非端點的兩點，將線段分成三段，求這三段線能夠構(gòu)成一個三角形的概率？

分析：假設(shè)其中任意兩段線的長度為a、b，第三段線的長度為1-（a+b），由題意得0

解：設(shè)其中任意兩段線的長度為a、b，第三段線的長度為1-（a+b），由題意可得0

例2：甲、乙兩人打算于19時到20時之間在學(xué)校門口見面，同時約定好先到的一方要等候?qū)Ψ?5分鐘，若15分鐘過后對方還沒來就可以離開，則兩人能夠碰面的概率是多少？

解析：以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達學(xué)校所需的時間，則兩人能夠碰面的充要條件是|x-y|≤15，如圖2所示。（x，y）存在的全部可能結(jié)果由圖2中所示的邊長為60的正方形區(qū)域表示，能夠碰面的時間由圖2中的陰影部分表示， 將“兩人能碰面”標(biāo)記為事件A，所以，兩人見面的概率P（A）= = 。

通常情況下，兩個符合條件的獨立事件若能夠采用二元關(guān)系式來表達，則這一類的概率題大部分能夠采用此方法，那就是以兩個獨立事件的結(jié)果當(dāng)作平面直角坐標(biāo)系的橫縱坐標(biāo)， 兩個獨立事件滿足的條件如能用二元關(guān)系式來表達， 發(fā)生的概率大多能用類似的方法， 即用兩個獨立事件的結(jié)果（ 數(shù)字） 分別作為坐標(biāo)系的橫、縱坐標(biāo)， 其坐標(biāo)上的點所構(gòu)成的有序數(shù)對所標(biāo)記的點對應(yīng)整個事件結(jié)果的所有可能，標(biāo)出可能區(qū)域及滿足某條件區(qū)域，因為全部結(jié)果都是等可能發(fā)生的，所以所求概率即是區(qū)域間的量比值。

3.2樹形圖在求解概率問題上的應(yīng)用

一般來說，針對超過兩步的隨機事件發(fā)生概率，采用樹形圖來求解事件的發(fā)生概率。畫樹形圖的重點在于層數(shù)的確定以及每層分叉?zhèn)€數(shù)的確定。具體表現(xiàn)如下：

例3：用紅、黃、藍三種不同顏色給3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，分別求三個矩形顏色均相同和顏色均不同時的概率。

解析：由樹形圖（用R，Y，G分別代表三種不同的顏色）知：

在該題中共有27個基本事件，由于對3個矩形進行涂顏色時，顏色是隨機選擇的，因此27個基本事件是等可能事件。

（1）將“3個矩形顏色均相同”標(biāo)記為事件A。由圖3可知，事件A中含有的基本事件有3個，故P（A）= = 。

（2）將“3個矩形顏色均不同”標(biāo)記為事件B。由圖3知，事件B中含有的基本事件有6個，故P（B） = 。

例4：三人傳球游戲，每人均等可能地傳給另兩人，不存在自傳現(xiàn)象，如果按照A發(fā)球開始算，求經(jīng)過4次傳球后回到A中的概率？

分析：由于這是一個實際生活問題，若僅憑單純想象，一般解題是沒有頭緒的，所以要借助形象的樹形圖來輔助思考和解題。

解：將三人分別標(biāo)記為A、B、C，因此4次傳球全部可能可采取樹形圖一一列出，如圖4所示。每個分支表示一種傳球方案，基本事件一共為16，4次傳球后回到A中的事件數(shù)為6，因此P= = 。

由上述例題可知，以樹形圖作輔助手段來促使具有一定復(fù)雜性、難度的概率問題簡易化，提高學(xué)生對概率題的整體理解能力，實現(xiàn)有效解題的目的。當(dāng)然，值得注意的是，學(xué)生在解題過程中要按照題目所給的條件和數(shù)據(jù)正確畫出樹形圖，接著根據(jù)樹形圖的直觀形象性解題，給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程。

3.3韋恩圖在求解概率問題上的應(yīng)用

對于概率論而言，隨機試驗在一定程度上是一個集合，基本事件與集合中的子集一一對應(yīng)。所以，可采用集合論中的部分記號、術(shù)語來表述基本事件之間的運算關(guān)系，比如韋恩圖。對基本事件相關(guān)概率問題也可采用韋恩圖來輔助理解，從而將抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡易化。

例5：任意安排甲、乙、丙三人在3天假日中輪流值班一天，求甲排在乙之前的概率？

解析：由題意知，甲、乙、丙三人在3天假日中的值班順序數(shù)即為3個不同的元素在3個不同位置上的排列數(shù)共有A 種，具體表現(xiàn)如圖5的韋恩圖所示。

在以上6種事件結(jié)果中，甲排在乙之前的事件結(jié)果有3種，故其概率為P= = 。

4.結(jié)語

數(shù)形結(jié)合方法實質(zhì)上就是以解決實際數(shù)學(xué)教學(xué)和解題過程中出現(xiàn)的抽象難題為目的，以相應(yīng)的準(zhǔn)確性為原則，將數(shù)與形相結(jié)合并靈活運用于實際數(shù)學(xué)教學(xué)和解題過程中。一方面，數(shù)與形之間的靈活轉(zhuǎn)變改變了以往數(shù)學(xué)解題枯燥單調(diào)的缺點，促使抽象化的問題具體化、復(fù)雜化的問題簡易化，提高學(xué)生解題的熱情。另一方面，數(shù)形結(jié)合充分發(fā)揮了數(shù)和形的雙重優(yōu)越性，且以數(shù)形結(jié)合方式作為解題的輔助手段，利用其思想的變通性、簡化性、發(fā)散性等特點來解決具有一定難度的、復(fù)雜的、抽象化的數(shù)學(xué)問題，特別是概率問題，這對于增強學(xué)生的解題能力、提高學(xué)生的解題效率以及促進學(xué)生發(fā)散性思維全面發(fā)展有著至關(guān)重要的積極影響。

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