F-Gorenstein投射復(fù)形類的穩(wěn)定性

劉仲奎,葉星美

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州　730070)

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F-Gorenstein投射復(fù)形類的穩(wěn)定性

劉仲奎,葉星美

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州730070)

F-投射復(fù)形;F-Gorenstein投射復(fù)形

(1)子范疇C關(guān)于F-擴(kuò)張封閉;

(2)如果短正合列0→A→B→C→0是F-正合的,且B,C∈C,那么A∈C;

(3)C包含P(F).

2　投射復(fù)形

證明與文獻(xiàn)[10]命題4.1類似.】

命題2設(shè)X是F-Gorenstein投射模的復(fù)形.則存在復(fù)形的F-正合列0→X→U→K→0,其中U是F-投射復(fù)形,K是F-Gorenstein投射模的復(fù)形,使得對任意F-投射復(fù)形V,F-正合列0→X→U→K→0是Hom(Λ)(-,V)正合的.

證明設(shè)

是F-Gorenstein投射模的復(fù)形,即對任意的n,Xn是F-Gorenstein投射模,由F-Gorenstein投射模的定義知,存在F-正合復(fù)形：

因為ε和θ是正合的,且存在態(tài)射1和(1,0),所以存在態(tài)射h使上圖交換.顯然ε是h,η的拉回.又因為F對拉回封閉,θ是F-正合的,所以ε是F-正合的.考慮以下交換圖

因為K-n-1是F-Gorenstein投射模,所以下行滿,于是上行也滿.因而0→Hom(Λ)(K,V)→Hom(Λ)(U,V)→Hom(Λ)(X,V)→0正合.故0→X→U→K→0為所證的復(fù)形的F-正合列.】

命題3設(shè)X是F-Gorenstein投射模的復(fù)形.則存在復(fù)形的F-正合列0→T→U→X→0,其中U是F-投射復(fù)形,T是F-Gorenstein投射模的復(fù)形,使得對任意F-投射復(fù)形V,F-正合列0→T→U→X→0是Hom(Λ)(-,V)正合的.

證明設(shè)

因為T-n-1是F-Gorenstein投射模,所以下行滿,于是上行是滿.因而0→Hom(Λ)(X,V)→Hom(Λ)(U,V)→Hom(Λ)(T,V)→0正合,故0→T→U→X→0為所證的復(fù)形的F-正合列.】

定理1復(fù)形X是F-Gorenstein投射復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)對任意的m,Xm是F-Gorenstein投射模.

引理1F-Gorenstein投射復(fù)形是F-可解子范疇,且關(guān)于直和與直和因子封閉.

證明由定理1知,復(fù)形X是F-Gorenstein投射復(fù)形，當(dāng)且僅當(dāng)每個層次Xm是F-Gorenstein投射模,又由文獻(xiàn)[4]知,GP(F)是F-可解子范疇,且關(guān)于直和與直和因子封閉.則F-Gorenstein投射復(fù)形是F-可解子范疇,且關(guān)于直和與直和因子封閉.】

3　F-Gorenstein投射復(fù)形類的穩(wěn)定性

(1)每個Gi是F-Gorenstein投射復(fù)形;

(2)X?kerf-1;

(3)對任意的F-投射復(fù)形P,復(fù)形G是Hom(Λ)(-,P)正合的.

注1易見F-Gorenstein投射復(fù)形類包含于F-Gorenstein G-投射復(fù)形類.

命題4設(shè)X是復(fù)形,n是正整數(shù),

(2)設(shè)X是F-Gorenstein G-投射復(fù)形,Q是F-投射復(fù)形.則存在Hom(Λ)(-,Q)正合的F-短正合列0→N→G→X→0,其中G是F-Gorenstein投射復(fù)形,N是F-Gorenstein G-投射復(fù)形.另外有長正合列

定義4稱復(fù)形X是強F-Gorenstein G-投射復(fù)形,如果

(1)存在F-短正合序列0→X→G→X→0,其中G是F-Gorenstein投射復(fù)形;

(2)對任意的F-投射復(fù)形Q,函子Hom(Λ)(-,Q)保持上述序列的正合性.

命題5F-Gorenstein G-投射復(fù)形是強F-Gorenstein G-投射復(fù)形的直和因子.

定義5設(shè)X是強F-Gorenstein G-投射復(fù)形.如果存在F-短正合列0→X→N→H→0,其中H是F-Gorenstein投射復(fù)形,那么稱復(fù)形N是X-型復(fù)形.

命題6設(shè)復(fù)形X是強F-Gorenstein G-投射復(fù)形,N是X-型復(fù)形.則

(2)存在F-短正合列0→N→L→K→0,其中K是X-型復(fù)形,L是F-投射復(fù)形.

圖1　同態(tài)f與同態(tài)g的推出圖

圖2　同態(tài)h與同態(tài)v的推出圖

命題7X-型復(fù)形是F-Gorenstein投射復(fù)形.

證明設(shè)N是X-型復(fù)形,由命題6(2)知,存在F-短正合列0→N→L0→K→0,其中L0是F-投射復(fù)形,K是X-型復(fù)形,且對任意的F-投射復(fù)形Q,上述F-短正合列是Hom(Λ)(-,Q)正合的.對K重復(fù)上述過程,可得F-正合序列G:0→N→L0→L-1→L-2→…,并且G是Hom(Λ)(-,Q)正合的.結(jié)合命題6(1)可知N是F-Gorenstein投射復(fù)形.】

定理2F-Gorenstein G-投射復(fù)形是F-Gorenstein投射復(fù)形.

圖3　同態(tài)f與同態(tài)g的推出圖

[1]AUSLANDER M,SOLBERG ?.Relative homology and representation theory I.Relative homology and homologically finite subcategories[J].Comm Algebra,1993,21(9):2995.

[2]AUSLANDER M,SOLBERG ?.Relative homology and representation theory Ⅱ.Relative cotilting theory[J].Comm Algebra,1993,21(9):3033-3079.

[3]AUSLANDER M,SOLBERG ?.Relative homology and representation theory Ⅲ.Cotilting modules and weddrburn correspondence[J].Comm Algebra,1993,21(9):3081-3097.

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(責(zé)任編輯陸泉芳)

Stability of F-Gorenstein projective complexes

LIU Zhong-kui,YE Xing-mei

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

F-projective complexes;F-Grenstein projective complexes

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.02.001

2015-07-10;修改稿收到日期:2015-11-20

國家自然科學(xué)基金資助項目(11361050)

劉仲奎(1963—)，男，甘肅通渭人，教授，博士，博士研究生導(dǎo)師.主要研究方向為同調(diào)代數(shù)和環(huán)理論.

E-mail:liuzk@nwnu.edu.cn

O 153.3

A

1001-988Ⅹ(2016)02-0001-05