求解時(shí)諧渦流問(wèn)題T-ψ有限元迭代算法

王帥，姚俊義，陳濤，康彤

(1.中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京 10024；2.河北省石家莊市長(zhǎng)安區(qū)食安辦，石家莊 050019)

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求解時(shí)諧渦流問(wèn)題T-ψ有限元迭代算法

王帥1，姚俊義2，陳濤1，康彤1

(1.中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京 10024；2.河北省石家莊市長(zhǎng)安區(qū)食安辦，石家莊 050019)

介紹麥克斯韋方程組在時(shí)諧渦流場(chǎng)的邊界條件，給出所要求解的T-ψ格式. 然后，提出全離散的耦合T-ψ有限元算法和解耦T-ψ有限元迭代算法.最后，進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證兩種算法的可行性和收斂性.

麥克斯韋方程組；T-ψ方法；有限元；迭代法；耦合；解耦

1　全離散的耦合、T有限元算法和解耦、T有限元迭代算法的提出

本文將研究如下麥克斯韋方程組

(1)

其中E是電場(chǎng)強(qiáng)度，H是磁場(chǎng)強(qiáng)度，B是磁通密度，Je是渦流電流密度，Je是源電流密度。

因此，麥克斯韋方程組(1.1)可以寫成如下T-ψ格式：

我們定義Ls()(s>1)是一個(gè)s可積空間，其范數(shù)定義為‖·‖Ls()。 在s=2的情形中，L2()也就是通常所說(shuō)的平方可積函數(shù)的Hilbert空間，其內(nèi)積與范數(shù)分別定義為(u，v)：=∫u(x)v(x)dx，‖u‖：=(u，u)

定義Hm()：={v∈L2()：Dξv∈L2()，0<|ξ|≤m}及其范數(shù)‖其中，m非負(fù)整數(shù)，ξ是一個(gè)非負(fù)的三元組指標(biāo)。我們用粗體符號(hào)來(lái)表示向量值性質(zhì)，例如L2()：=(L2())3。 設(shè)Ls(?)(s>1)表示定義在邊界?上的s可積函數(shù)空間，它的范數(shù)是‖·‖Ls(?)。 定義在Г的?內(nèi)積寫作(u，v)：=∫Гu·v。 對(duì)于e，e也可以類似于上面所定義的那樣去定義，設(shè)(e)：={v∈H1(e)：v×n∈L1+α(?e)，0<α≤1，v·n=0在?e上}于是，我們就可以定義一個(gè)Banach空間，它的內(nèi)積為((p，φ)，(Q，φ))v：=(P，Q)H1(e)+(▽Q，▽?duì)?L2()它的范數(shù)可以用如下的和形式來(lái)定義‖(Q，φ)‖v：=(‖‖▽?duì)湛臻gV的對(duì)偶空間是V。

設(shè)Jh是上的標(biāo)準(zhǔn)四面體剖分，網(wǎng)格尺寸為h0。 我們定義

Wh：={φh∈H1()：φh|κ∈p1，?κ∈Jh}

1.1全離散的耦合T-ψ算法

抽取市售豆奶飲料30批次，配料表明示均以大豆為主要原料。取豆奶飲料40 mL置于50 mL離心管中，10000 r/min離心5 min，棄上清，取沉淀80 mg于2mL離心管中，按照試劑盒說(shuō)明書操作提取基因組DNA。若單次離心沉淀較少，再次取樣，重復(fù)離心1～2次。以提取的DNA為模板，分別進(jìn)行RT-PCR和ddPCR反應(yīng)，檢測(cè)CaMV35s、NOS、Lectin基因。

對(duì)于任意的(Q，φ)∈V，求(T，ψ)∈V，滿足下面的等式

iω(μ(T+▽?duì)?，Q+▽?duì)?L2(e)+iω(μ▽?duì)?，▽?duì)?▽?duì)?L2(e)-iω(μHs，▽?duì)?L2(e)

(3)

1.2全離散解耦有限元迭代算法

D((Q，φ)，(Q′，φ′))=iω(μ(Q+▽?duì)?，Q′+▽?duì)铡?L2(e)+iω(μ▽?duì)議，▽

它的權(quán)范數(shù)模為

(5)

兩種算法解的存在唯一性都可以由強(qiáng)制性和連續(xù)性證得，解耦中迭代法的收斂性也是可以證明的。

2　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)是對(duì)兩種算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了兩種算法的收斂性和可行性。解耦相對(duì)于耦合算法有些誤差，但是影響不大，并且在相同計(jì)算資源的配置下，所用時(shí)間和內(nèi)存，解耦算法均小于耦合算法。圖1中給出了所研究的模型圖，這個(gè)模型是類似于TEAM Workshop Problem 7建立的，其中導(dǎo)體上的電導(dǎo)率σ=3.526×107西門子/米，在整個(gè)區(qū)域上磁導(dǎo)率×10-7亨利/米。 圖2和圖3給出了磁通量B在z方向的分量結(jié)果圖，圖4將耦合和解耦的下磁通量B在z方向的分量進(jìn)行對(duì)比，在模型上取y=0.126，z=0.019這條直線的點(diǎn)值。

圖1　

圖2　

圖3　

圖4　

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(責(zé)任編輯：馬玉鳳)

T-ψ Finite Element Method with Iteration for a Aarmonic Eddy Current Problem

WANG Shuai1，YAO Jun-yi2，CHEN Tao1，KANG Tong1

(1.Science School，Communication University of China，Beijing 100024；2.Food Security Office，Chang’anDistrict，Shijiazhuang，Hebei Province，Shijiazhuang 050019)

we present the boundary conditions of Maxwell’s equations in a harmonic eddy current problem，and give the desiredT-ψscheme. Then，we give finite element method of full discrete coupledT-ψscheme and the iteration method for the fully discrete decoupledT-ψscheme. Finally，the numerical experiments verify the algorithms and convergence.

maxwell’s equations；T-ψmethod；finite element；iteration method；decoupled；coupled

2015-07-14

王帥(1989-)，女(漢族)，河北承德人，中國(guó)傳媒大學(xué)碩士研究生.E-mail：634699705@qq.com

O241.82

A

1673-4793(2016)01-0017-05