自適應(yīng)的L1-L2范數(shù)正則化圖像去噪方法

豆?jié)申?yáng)，畢翔，曹寶杰

(中國(guó)傳媒大學(xué)理工學(xué)部理學(xué)院，北京，100024)

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自適應(yīng)的L1-L2范數(shù)正則化圖像去噪方法

豆?jié)申?yáng)，畢翔，曹寶杰

(中國(guó)傳媒大學(xué)理工學(xué)部理學(xué)院，北京，100024)

提出了一種自適應(yīng)的L1-L2范數(shù)正則化圖像去噪方法。相比傳統(tǒng)的L1范數(shù)正則化與L2范數(shù)正則化，新方法有效消除了階梯效應(yīng)，同時(shí)較好的保持了圖像邊緣信息。為了提高計(jì)算效率，將Split Bregman算法框架應(yīng)用到提出的模型中，有效的提升了收斂速率并減少了計(jì)算時(shí)間。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析驗(yàn)證了L1-L2范數(shù)正則化模型在圖像去噪效果與計(jì)算效率的有效性。

圖像去噪；自適應(yīng)；L1-L2 正則化；Split Bregman迭代

1　引言

圖像去噪是一個(gè)重要的研究課題。噪聲對(duì)于圖像的輸入、采集、處理都會(huì)產(chǎn)生較大的影響。去除噪聲對(duì)于提高圖像視覺(jué)質(zhì)量，提供更精確的紋理細(xì)節(jié)信息有著重要意義。目前常用的圖像去噪方法有L2范數(shù)正則化(Tikhonov正則化)去噪[1]與L1范數(shù)正則化(TV正則化)去噪[2]，然而兩種方法均有缺陷：L2范數(shù)正則化無(wú)法較好的恢復(fù)圖像邊緣[3]，而L1范數(shù)正則化雖然可以保持邊緣，但是會(huì)出現(xiàn)階梯效應(yīng)，使圖像產(chǎn)生虛假邊緣，視覺(jué)效果不真實(shí)[4]。 為了解決L1范數(shù)正則化帶來(lái)的階梯效應(yīng)，臺(tái)雪成[5]等人提出了使用四階偏微分方程來(lái)處理圖像。但四階偏微分方程會(huì)過(guò)度平滑圖像的邊緣，使得圖像看起來(lái)較為模糊；Blomgren[6]等人提出了使用三階多項(xiàng)式插值將L1范數(shù)與L2范數(shù)結(jié)合在一起，組成一種新的自適應(yīng)的L1-L2范數(shù)正則化項(xiàng)，然而在三次多項(xiàng)式插值模型在每次迭代中都要重新計(jì)算插值多項(xiàng)式的系數(shù)，拖慢了計(jì)算效率。

受Blomgren思想的啟發(fā)，本文提出一種新的正則化項(xiàng)，將L2范數(shù)與L1范數(shù)這兩種平滑性度量結(jié)合起來(lái)，吸收各自的優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)圖像的局部特征，自動(dòng)調(diào)整正則化項(xiàng)，使得在梯度模值較大的邊緣區(qū)域采用可以保持圖像邊緣的L1范數(shù)正則化，而在梯度模值較小的光滑區(qū)域采用平滑性較好的L2范數(shù)正則化。為了加快求解速率，本文應(yīng)用Split Bregman框架[7]對(duì)新的模型進(jìn)行求解，縮短了計(jì)算時(shí)間，提高了算法的運(yùn)行效率。

2　自適應(yīng)L1-L2范數(shù)正則化

2.1三階多項(xiàng)式插值L1-L2范數(shù)正則化

為了結(jié)合L1范數(shù)正則化與L2范數(shù)正則化的優(yōu)點(diǎn)，Blomgren[6]在有界變差函數(shù)空間BV和Sobolev空間做“插值”，使得其可以根據(jù)圖像的局部特征，自動(dòng)調(diào)整正則化項(xiàng)，在梯度模值較大的邊緣區(qū)域采用可以保持圖像邊緣的L1范數(shù)正則化，而在梯度模值較小的光滑區(qū)域采用平滑性較好的L2范數(shù)正則化。新的范數(shù)正則化項(xiàng)可以表示為：

(1)

函數(shù)p(s)有如下性質(zhì)：

3. p(s)單調(diào)減

文獻(xiàn)[8]表明，當(dāng)p取定值且p∈[1，2]時(shí)，使用正則項(xiàng)R(u)均能得到較好的結(jié)果；當(dāng)p增加時(shí)，恢復(fù)圖像的階梯效應(yīng)在減弱。

三階多項(xiàng)式插值L1-L2范數(shù)正則化基于三階多項(xiàng)式插值的L1-L2范數(shù)正則化去噪模型為

(2)

其中，u0為被噪聲污染的圖像，λ為一個(gè)非負(fù)的常數(shù)，Gσ*u表示u與標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯模糊核做卷積。函數(shù)p(s)具有以下形式：

(3)

其中e為圖像梯度模值的最大值。在求解去噪模型(2)的過(guò)程中，由于圖像梯度模值總在變化，所以每次迭代都需要重新計(jì)算p(s)，增加了計(jì)算負(fù)擔(dān)；p(s)的下降速度也難以控制。

求解模型(2)的傳統(tǒng)的方法為直接算出泛函(2)的歐拉-拉格朗日方程，然后運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)迭代[6，9]求解，消耗時(shí)間較長(zhǎng)，收斂較慢。

2.2改進(jìn)的L1-L2范數(shù)正則化

本文將p(s)修改為：

(4)

k為非負(fù)常數(shù)。顯然函數(shù)(4)滿足2.1節(jié)中的三條性質(zhì)。參數(shù)k 可以調(diào)節(jié)p(s)的形狀。k值越小，函數(shù)圖像越平緩，反之，函數(shù)圖像越陡峭。圖1表示了在不同的參數(shù)選擇下，p(s)的函數(shù)圖像。

Chambolle和P-L.Lions的研究[10]證明只有當(dāng)p(s)=1 時(shí)，圖像的邊緣信息才能恢復(fù)，而式(4)不可能取到1。將(4)式做如下修改：

(5)

圖1　不同參數(shù)選擇p(s)的函數(shù)圖像　

3　Split Bregman方法

Split Bregman迭代方法由Goldstein和Osher[7]提出，是一種針對(duì)于L1范數(shù)正則項(xiàng)優(yōu)化問(wèn)題的快速算法。此算法的基本思路是通過(guò)引入對(duì)偶變量并借助增廣拉格朗日法，將L1范數(shù)正則化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，然后利用Bregman迭代將其分解為幾個(gè)非常簡(jiǎn)單的子問(wèn)題來(lái)求解。該算法大大簡(jiǎn)化了原問(wèn)題的求解步驟，且具有快速收斂的特性。[11-14]本節(jié)將Split Bregman方法推廣到非L1范數(shù)正則項(xiàng)優(yōu)化問(wèn)題。了將Split Bregman方法的框架應(yīng)用到模型(2)中，引入一個(gè)對(duì)偶變量b并將▽u代替成b。模型(2)變?yōu)橄铝械挠屑s束問(wèn)題：

s.t. b=▽u

(6)

運(yùn)用增廣拉格朗日法，泛函(6)變?yōu)橄铝袩o(wú)約束問(wèn)題：

(7)

式(7)中γ為一個(gè)正常數(shù)，控制著懲罰項(xiàng)的權(quán)重。類似于Split Bregman迭代，提出以下Split Bregman 迭代格式：

(8)

顯然，泛函(8)可以用交替迭代極小化框架求解：

3.1 固定b，解關(guān)于u的子問(wèn)題

λ?|bi|p(|▽(G*u)|)dxdy +

γ?|bi-▽u-ti|2dxdy

(9)

推導(dǎo)出泛函(9)的歐拉-拉格朗日方程并令其為0，得到如下方程：

u-u0+γ▽·(bi-ti)-Δu=0

(10)

式(10)中Δ 為拉普拉斯算子。此方程可以用Gauss-Seidel迭代[15]快速求解。

3.2固定u，解關(guān)于b的子問(wèn)題

(11)

令b=(b1，b2)，▽u=(ux，uy)，t=(t1，t2)，推導(dǎo)出泛函(11)的歐拉-拉格朗日方程并令其為0，得到如下方程組：

(12)

方程組(12)是一個(gè)非線性方程組，無(wú)法得到精確解。我們采用牛頓法來(lái)估計(jì)方程組(12)的解。由方程組(12)可以導(dǎo)出如下關(guān)系式：

(13)

將式(13)代入方程組(12)，得到

(14)

其中

(15)

方程組(14)可以用牛頓法求解。為了保證牛頓法的收斂性，在使用牛頓法求解時(shí)，將bi+1的初值設(shè)為▽ui+1。

3.更新t ：ti+1=ti+▽ui+1-bi+1。(16)

算法的實(shí)現(xiàn)步驟為：

(1)初始化：u0=u0，b0=t0=0；

(2)固定bi，解u的子問(wèn)題(9)；

(3)固定ui+1，解b 的子問(wèn)題(11)；

(4)用式(16)更新t；

(5)重復(fù)過(guò)程(2)、(3)、(4)，直至算法收斂，迭代停止。

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

圖2與圖3為幾種去噪方法對(duì)含有均值為0，方差為0.01的高斯噪聲的圖像去噪效果比較，(a)為原始圖像，(b)為加噪聲的圖像，(c)為L(zhǎng)1范數(shù)正則化模型的去噪效果，(d)為四階偏微分去噪模型的去噪效果，(e)為L(zhǎng)2范數(shù)正則化模型的去噪效果，(f)為本文模型的去噪效果。從圖2和圖3中可以看出，L1范數(shù)正則化雖然邊緣保持的較好，但是有明顯的階梯效應(yīng)；四階偏微分去噪雖然沒(méi)有階梯效應(yīng)，但是去噪效果并不理想，有小的斑點(diǎn)存在；L2范數(shù)也沒(méi)有階梯效應(yīng)，但是圖像邊緣較為模糊；本文提出的新模型既沒(méi)有階梯效應(yīng)，圖像邊緣也保持的較好。表1列出了用不同方法得出的去噪圖像的信噪比。從表1中可以看出，對(duì)于合成圖像而言，本文方法的信噪比最高，而對(duì)含有大量紋理的圖像而言，本文方法的信噪比優(yōu)于四階偏微分方程模型和L2范數(shù)正則化模型而低于L1范數(shù)正則化模型，但信噪比只從一個(gè)側(cè)面反映了處理結(jié)果的優(yōu)劣，從圖3(f)效果看，本文方法優(yōu)于L1范數(shù)正則化模型，在明顯減小了階梯效應(yīng)的同時(shí)，很好的保持了圖像的邊緣。

表1　各種模型的信噪比比較

表2列出了本文算法與Blomgren的三階多項(xiàng)式插值L1-L2范數(shù)正則化對(duì)合成圖像與Lena圖像去噪的運(yùn)算時(shí)間與迭代步數(shù)。從表中可以看出，本文算法的運(yùn)算效率與傳統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)迭代相比明顯提高，計(jì)算時(shí)間明顯減少，且收斂速率加快。

表2　迭代步數(shù)與計(jì)算時(shí)間時(shí)間比較

(a)原圖 　　　　(b)噪聲圖　

(c)L1范數(shù)正則化 　　　　(d)四階偏微分　

(e)L2范數(shù)正則化　　　　(f)本文方法圖2　不同方法對(duì)合成圖像高斯噪聲去噪比較　

(a)原圖 　　　　(b)噪聲圖　

(c)L1范數(shù)正則化 　　　　(d)四階偏微分　

(e)L2范數(shù)正則化　　　　(f)本文方法圖3　不同方法對(duì)Lena圖像高斯噪聲去噪比較　

5　結(jié)論

本文提出了一種自適應(yīng)的L1-L2范數(shù)正則化圖像去噪模型。該模型結(jié)合了L1范數(shù)正則化與L2范數(shù)正則化的優(yōu)點(diǎn)，去除了階梯效應(yīng)，同時(shí)較好的保持了邊緣。應(yīng)用了Split Bregman迭代框架求解模型，計(jì)算效率明顯增加。最后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法比現(xiàn)有的經(jīng)典方法更有效。

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(責(zé)任編輯：王謙)

Adaptive L1-L2 Norm Regularization Method for Image Denoising

DOU Ze-yang，BI Xiang，CAO Bao-jie

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

An adaptive L1-L2 norm regularization method for image denoising is proposed. Compared to the traditional L1 norm regularization and L2 norm regularization，the proposed method removes the staircase effect effectively and maintains the edge information of the image. In order to improve the computation efficiency，the Split Bregman algorithm is applied to the proposed model，which effectively improves the convergence rate and reduces the computation time. Experimental results and analysis verify the effectiveness of the L1-L2 norm regularization model in the image denoising effect and the computational efficiency.

image denoising；adaptive norm；L1-L2 regularization；split Bregman iteration

2015-06-02

豆?jié)申?yáng)(1989-)，男(漢族)，河北省邯鄲人，中國(guó)傳媒大學(xué)碩士研究生.E-mail：douzeyang@cuc.edu.cn

TP391.41

A

1673-4793(2016)01-0050-06