Euler數(shù)的Akiyama-Tanigawa算法

顧江民

(浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院, 浙江 東陽　322100 )

?

Euler數(shù)的Akiyama-Tanigawa算法

顧江民

(浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院, 浙江 東陽322100 )

利用Akiyama-Tanigawa算法給出了Euler數(shù)表，用純偶組合數(shù)得到了Euler數(shù)的一種簡(jiǎn)潔的表示形式并加以證明，不同的初始序列運(yùn)用相同算法被廣泛的運(yùn)用.

集合的純偶組合數(shù);Euler數(shù); Akiyama-Tanigawa算法.

1　算　法

在文[1]中介紹了Akiyama-Tanigawa算法，在研究ζ函數(shù)有關(guān)問題時(shí)，S.Akiyama和Y.Tanigawa[1]發(fā)現(xiàn)特殊情況下一個(gè)有趣的算法，計(jì)算Euler數(shù)的方式可以表示成類似“帕斯卡三角形”二項(xiàng)系數(shù)，文[2]利用這種算法給出了Bernoulli數(shù)的一種新算法.Euler數(shù)在數(shù)論和組合數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，本文將利用Akiyama-Tanigawa算法給出了Euler數(shù)的一種新算法，并給以嚴(yán)格的證明.

定義2[4]純偶組合數(shù)G(n,m)由以下冪級(jí)數(shù)確定

(1)

由這種遞推關(guān)系得到一個(gè)類似楊輝三角的數(shù)表，可以確定各行的首位數(shù)為Euler數(shù).運(yùn)用文[2]的方法可以得到第n行的首位數(shù)為

Euler數(shù)表如下(見下頁):

Figure 1:Akiyama-Tanigawa triangle

2　證　明

(2)

(3)

則

(4)

定理1的證明：設(shè)

根據(jù)遞歸定義的(3)式可得，當(dāng)n≥1時(shí)

=

=

因此

然后

我們?cè)O(shè) t=1-coshx，可得

因此

然后

因此

根據(jù)定義2的(1)式可得

因此

應(yīng)用引理的(2)式可得

因此

讓x→0 然后

那么

定理2的證明應(yīng)用定理1的(4)式與(1)式我們有

=

[1]Akiyama S,Tanigawa,Y.Muktiple zeta values at non-positive integers[M].preprint,1999.

[2]Masanobu Kaneko,Kyushu University.The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers[J].Journal of Integer Sequences,2000,12:1-6.

[3]顧江民.歐拉數(shù)與集合的純偶排列數(shù)[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013,12:5-9

[4]顧江民.正切數(shù)與集合的純偶組合數(shù)[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào),2015,8:6-10

[5]顧江民,朱偉義.Bernoulli數(shù)的兩種新型表示[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010,25(2):6-8

[6]王天明.近代組合學(xué)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社,2008.

[7]盧開澄,盧華明.組合數(shù)學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.

[責(zé)任編輯：王軍]

The Akiyama-Tanigawa algorithm for Euler numbers

GU Jiangmin

(Information and Control Engineering College, Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang 322100,China)

A direct proof is given for Akiyama and Tanigawa’s algorithm for computing Euler numbers.The proof uses a closed formula for Euler numbers expressed in terms of Pure even combinations of set numbers.The outcome of the same algorithm with different initial values is also bridfly discussed.

pure even combinations of set number; Euler numbers; Akiyama - Tanigawa algorithm

2015-12-02;

2015-12-22

顧江民(1966-)，男，浙江東陽人，浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)論的研究.

O156.4

A

1672-3600(2016)09-0022-03