基于混沌差異進(jìn)化算法的有功優(yōu)化仿真研究

陳功貴, 陸正媚, 郭艷艷, 郭　飛, 唐賢倫

(1. 重慶郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 重慶　400065；2. 武漢鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)車車輛工程系, 湖北 武漢　430205)

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基于混沌差異進(jìn)化算法的有功優(yōu)化仿真研究

陳功貴1, 陸正媚1, 郭艷艷2, 郭飛1, 唐賢倫1

(1. 重慶郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 重慶400065；2. 武漢鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)車車輛工程系, 湖北 武漢430205)

差異進(jìn)化(differential evolution,DE)算法在求解電力系統(tǒng)有功優(yōu)化的問題上易陷入局部最優(yōu),因此在其基礎(chǔ)上引入混沌算法的Logistic映射,形成混沌差異進(jìn)化(chaotic differential evolution,CDE)算法。該算法在迭代后期,使固定取值的搜索步長(zhǎng)和交叉算子在一定范圍內(nèi)隨機(jī)取值。為驗(yàn)證算法的實(shí)用性,利用Matlab軟件,將DE和CDE在IEEE30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)上進(jìn)行電力系統(tǒng)有功優(yōu)化仿真。仿真結(jié)果表明,CDE算法擴(kuò)大了搜索范圍并且增加了種群多樣性,能獲得搜索質(zhì)量更高的最優(yōu)解,即考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的燃料費(fèi)用更低。通過此次仿真,既可加深學(xué)生對(duì)有功優(yōu)化的認(rèn)識(shí)和理解,又可提高學(xué)生運(yùn)用仿真技術(shù)為改進(jìn)算法提供理論依據(jù)與評(píng)價(jià)的能力。

電力系統(tǒng)仿真; 有功優(yōu)化； 混沌差異進(jìn)化算法； Matlab

電能是國(guó)民經(jīng)濟(jì)與生活的主要?jiǎng)恿?因此提高電力系統(tǒng)的安全性、可靠性以及經(jīng)濟(jì)性尤為重要。頻率是衡量電能質(zhì)量的關(guān)鍵指標(biāo),其與有功功率相關(guān),有功功率是否平衡,是否合理分配也就直接影響電力系統(tǒng)安全運(yùn)行,所以有功優(yōu)化是電力系統(tǒng)運(yùn)行的重要控制方式[1-3]。由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,有功優(yōu)化問題成為了一個(gè)非線性、多約束、包含離散變量的全局優(yōu)化問題。

差異進(jìn)化算法(differential evolution,DE)是一種簡(jiǎn)單的基于隨機(jī)種群的搜索方法,被成功應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中很多全局優(yōu)化問題[4-6]。將DE算法與混沌算法的Logistic映射相結(jié)合,形成混沌差異進(jìn)化算法(chaotic differential evolution,CDE)。CDE算法保留了DE算法的3個(gè)算子,即變異算子、交叉算子以及選擇算子,在算法迭代后期,用Logistic映射改變DE算法里固定取值的搜索步長(zhǎng)F和交叉算子CR,由此增加了種群多樣性。為了驗(yàn)證算法的實(shí)用性和高效性,利用Matlab軟件[7-10],將DE和CDE算法在IEEE30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)上分別進(jìn)行20次電力系統(tǒng)有功優(yōu)化仿真。該測(cè)試系統(tǒng)包含41條支路、21個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)、6臺(tái)發(fā)電機(jī)、4臺(tái)變壓器和9臺(tái)無功補(bǔ)償裝置,具體數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)[11-12]。由有功優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可知,該仿真有24個(gè)控制變量,即種群內(nèi)的每一個(gè)粒子為24維列向量。仿真結(jié)果表明,CDE算法不僅能夠使有功優(yōu)化問題得到收斂,還能找到比DE算法更為理想的最優(yōu)解。Matlab仿真結(jié)果中包含大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真圖形,使學(xué)生能更牢固地掌握有功優(yōu)化過程和CDE算法特性。

1　有功優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

在電力系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)及負(fù)荷情況都明確的情況下,有功優(yōu)化就是改變發(fā)電機(jī)的有功功率輸出P、電壓幅值V、可調(diào)變壓器的抽頭選擇T以及無功補(bǔ)償器的無功投切C4個(gè)參數(shù),使系統(tǒng)安全運(yùn)行并且使某目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)[13]。有功優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型包含約束條件和目標(biāo)函數(shù)。

1.1約束條件

約束條件又分為不等式約束和等式約束。

等式約束即每個(gè)節(jié)點(diǎn)的功率平衡:

(1)

式中,QGi,PGi,QLi,PLi分別代表節(jié)點(diǎn)i的發(fā)電機(jī)的無功功率輸入、有功功率輸入、負(fù)荷的無功功率消耗和有功功率消耗；Gij為節(jié)點(diǎn)i、j間的電導(dǎo)；Bij為節(jié)點(diǎn)i、j間的電納；Vi為節(jié)點(diǎn)i的電壓幅值；δij為節(jié)點(diǎn)i、j間的電壓相角差；n為電力系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

不等式約束條件:

(1)節(jié)點(diǎn)的電壓幅值:

(2)

(2) 發(fā)電機(jī)的有功功率與無功功率:

(3)

(3) 各支路視在功率:

(4)

(4) 變壓器變比:

(5)

(5) 電容器無功補(bǔ)償:

(6)

式中,QCi為第i臺(tái)無功補(bǔ)償器的無功投切,NG為發(fā)電機(jī)數(shù),NB為支路數(shù),NT為變壓器數(shù),NC為無功補(bǔ)償器數(shù)。

1.2目標(biāo)函數(shù)

在本文研究中,優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的燃料費(fèi)用f為

(7)

(8)

式中fi是每臺(tái)發(fā)電機(jī)考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的燃料費(fèi)用,ai、bi、ci、di和ei分別是發(fā)電機(jī)燃料費(fèi)用系數(shù)。

控制變量在給定時(shí)就滿足系統(tǒng)約束條件。為了使?fàn)顟B(tài)變量也滿足,就引入了罰系數(shù)。罰系數(shù)將懲罰超過約束的狀態(tài)變量,越限越多,其目標(biāo)函數(shù)值越大,即適應(yīng)值越差,就越容易被淘汰,其構(gòu)成的目標(biāo)函數(shù)F為

(9)

式中,KV為節(jié)點(diǎn)電壓越限的罰系數(shù),KQ為發(fā)電機(jī)無功功率越限的罰系數(shù),KS為平衡節(jié)點(diǎn)有功功率越限的罰系數(shù),KL為各支路視在功率越限的罰系數(shù)。

由目標(biāo)函數(shù)可以看出,罰系數(shù)的選擇對(duì)最終結(jié)果影響很大,若取值不當(dāng)還會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解不滿足系統(tǒng)安全運(yùn)行的約束。為了避免這種情況,本文對(duì)罰系數(shù)取動(dòng)態(tài)值,其表達(dá)式為

(10)

其中:KFk為各罰系數(shù)(KV、KQ、KS、KL)在第k次迭代的取值；KFmin、KFmax分別為各罰系數(shù)的最小值和最大值,k為迭代次數(shù),kmax為最大迭代次數(shù)。

在初期時(shí)罰系數(shù)的取值較小,隨著迭代次數(shù)的增加,罰系數(shù)的取值也逐漸增大,這樣可以減少算法陷入早熟的概率。另外,式中Vlim、Qlim、Plim、Slim是根據(jù)因變量的范圍而判定:

(11)

2　CDE算法

2.1CDE算法的數(shù)學(xué)模型

CDE算法的數(shù)學(xué)模型包含標(biāo)準(zhǔn)DE算法的變異算子、交叉算子、選擇算子3個(gè)重要算子以及混沌算法的Logistic映射。

(12)

需要強(qiáng)調(diào)的是xr1,g、xr2,g、xr3,g為種群內(nèi)的不同向量；并且種群內(nèi)的每一個(gè)向量都必須至少參與1次變異。F為搜索步長(zhǎng),為了制定合適的變異擾動(dòng)范圍,其值一般控制在[0,2],通過查閱文獻(xiàn)[14],可知在這范圍內(nèi)的搜索步長(zhǎng)可能提高算法的收斂性。

(13)

其中:Np為種群個(gè)數(shù)；D為每個(gè)粒子的維數(shù)；CR為交叉算子,一般介于[0,1],該參數(shù)可以掌控種群的多樣性,并且減少優(yōu)化中出現(xiàn)局部最優(yōu)的概率；q是介于[1,D]之間的隨機(jī)數(shù),為了保證變異后的中間個(gè)體至少有一維參與了交叉；x″ij,g+1為經(jīng)過變異、交叉兩項(xiàng)操作后的第g+1代的第i個(gè)中間個(gè)體。

(3) 選擇算子。選擇算子在探索最優(yōu)解時(shí)提升種群內(nèi)個(gè)體的適應(yīng)度。針對(duì)父代群體和產(chǎn)生的中間個(gè)體,進(jìn)行一對(duì)一的貪婪選擇,選擇具有更好適應(yīng)度的個(gè)體作為第g+1代新個(gè)體,有:

(14)

其中f為目標(biāo)函數(shù)；xij,g+1為經(jīng)過變異、交叉、選擇3項(xiàng)操作后得到的第g+1代的新個(gè)體。

(4) 混沌算法的Logistic映射。利用混沌算法的隨機(jī)性、遍歷性和規(guī)律性,可以擴(kuò)大搜索范圍,增加種群多樣性,避免算法陷入局部最優(yōu)。混沌現(xiàn)象有很多種形式,其中Logistic映射是由荷蘭生物學(xué)數(shù)學(xué)家Verhulstt提出的[15],其表達(dá)式為

(15)

當(dāng)μ為4時(shí),為完全混沌。本文就是利用完全混沌現(xiàn)象使DE算法中的F和CR由固定值變?yōu)樵谝欢ǚ秶鷥?nèi)的隨機(jī)動(dòng)態(tài)值。其表達(dá)式為:

(16)

式中k為迭代次數(shù)。

需要強(qiáng)調(diào)的是,為了避免Logistic映射使參數(shù)趨于某一常數(shù),所以在初始化時(shí)F與CR不取0.25、0.5、0.75。

2.2CDE算法的求解步驟

DE算法在迭代后期容易出現(xiàn)局部收斂現(xiàn)象,于是在一定迭代次數(shù)以后,引入Logistic映射,加強(qiáng)算法的搜索能力,并且增加算法的高效性以及準(zhǔn)確性。CDE算法的求解步驟如圖1所示。本文中,CDE算法將在迭代次數(shù)大于500時(shí)引入Logistic映射改變參數(shù)F與CR。

圖1　CDE算法的求解步驟

3　基于Matlab的有功優(yōu)化仿真實(shí)驗(yàn)

本文將IEEE30節(jié)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)用以測(cè)試兩種算法的有功優(yōu)化效果。在仿真開始前, DE和CDE算法的初始參數(shù)的設(shè)定見表1。

表1　兩種算法初始參數(shù)設(shè)定

其中,Np為種群個(gè)數(shù),kmax為最大迭代次數(shù),G為優(yōu)化次數(shù),F為搜索步長(zhǎng),CR為交叉算子。由于CDE算法中的F、CR為動(dòng)態(tài)隨機(jī)取值,所以表內(nèi)省略。程序?qū)⒚看斡?jì)算結(jié)果都掃描到相應(yīng)的表格中保存起來,從所得數(shù)據(jù)中,記錄下每種算法的最優(yōu)值、最差值和平均值,具體數(shù)據(jù)見表2。

表2　兩種算法優(yōu)化結(jié)果比較　$/h

仿真結(jié)果表明,CDE算法考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的平均燃料費(fèi)用和最優(yōu)燃料費(fèi)用均比DE算法低,并且用時(shí)與DE算法相差甚少,即優(yōu)化效果與搜索效率均高于DE算法。其中CDE算法每小時(shí)的平均燃料費(fèi)用比DE算法低了0.8999$/h,這個(gè)數(shù)目從經(jīng)濟(jì)角度來看是十分可觀的。

根據(jù)兩種算法20次的運(yùn)行結(jié)果,每種算法的平均收斂曲線見圖2,每種算法的最優(yōu)解收斂曲線如圖3。

圖2　兩種算法的平均收斂曲線圖

圖3　兩種算法的最優(yōu)效果收斂曲線圖

由圖2和圖3可知,兩種算法都能使電力系統(tǒng)有功優(yōu)化問題得到收斂,但CDE算法的收斂結(jié)果更優(yōu)。算法迭代到800代時(shí),DE算法已經(jīng)找到局部最優(yōu)值,而CDE算法仍然還在更新全局最優(yōu),說明DE算法在迭代后期出現(xiàn)了早熟現(xiàn)象,CDE算法由于局部搜索能力變強(qiáng),陷入局部最優(yōu)的概率減小。值得強(qiáng)調(diào)的是,兩種算法各自選取的結(jié)果,其控制變量和狀態(tài)變量均滿足約束條件,即滿足系統(tǒng)安全運(yùn)行。

基于兩種算法優(yōu)化后的最優(yōu)控制變量見表3和表4。其中P為發(fā)電機(jī)有功功率輸出,V為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)電壓幅值,T為可調(diào)變壓器變比,C為無功補(bǔ)償器的補(bǔ)償容量。表中的下標(biāo)分別對(duì)應(yīng)于IEEE30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)里的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)號(hào)；Pi max和Pi min分別代表系統(tǒng)中各發(fā)電機(jī)的有功功率輸出最大值和最小值,Xi max和Xi min分別代表系統(tǒng)中各控制變量標(biāo)幺值的最大值和最小值。以下數(shù)據(jù)中的標(biāo)幺值以100 MVA作為功率基準(zhǔn)值。由表3和表4可知,兩種算法的最優(yōu)解均滿足系統(tǒng)安全約束。

表3　兩種算法最優(yōu)解中的發(fā)電機(jī)有功功率輸出

表4　兩種算法最優(yōu)解中的部分控制變量

4　結(jié)語

為了避免DE算法求解有功優(yōu)化問題時(shí)陷入局部最優(yōu),提出了結(jié)合混沌算法的CDE算法,并將此算法成功應(yīng)用于電力系統(tǒng)有功優(yōu)化。利用Matlab進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),模擬現(xiàn)實(shí)生活中的電力系統(tǒng),通過數(shù)據(jù)記錄和收斂曲線可以直觀地看出DE和CDE算法均能在保證系統(tǒng)安全運(yùn)行的情況下求解優(yōu)化問題,并且CDE算法具有更好的收斂結(jié)果和更高的搜索效率。通過將理論知識(shí)和實(shí)踐仿真相結(jié)合,使學(xué)生對(duì)有功優(yōu)化的動(dòng)態(tài)過程有了更直觀的理解,并對(duì)CDE算法有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

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Research on active power optimization based on chaotic differential evolution algorithm

Chen Gonggui1, Lu Zhengmei1, Guo Yanyan2, Guo Fei1, Tang Xianlun1

(1. School of Automation, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China; 2. Department of Locomotive and Vehicle Engineering, Wuhan Railway Vocational College of Technology, Wuhan 430205, China)

The differential evolution(DE) algorithm deals with the problem of active power optimization of power system easily to fall into local optimum, for this reason, it is combined with the Logistic mapping of the chaotic algorithm to form the chaotic differential evolution(CDE) algorithm. In later iterations, the search step and crossover of the chaotic differential evolution algorithm are changed from fixed value to a certain range of random value. In order to illustrate the practicability of algorithms, by the Matlab software, using the differential evolution algorithm and the chaotic differential evolution algorithm can implemente an active power optimization simulation on the IEEE30 bus test system. Simulation results show that the chaotic differential evolution algorithm expands the search range and increases the diversity of the population, so it can get the optimal solution of higher quality, namely it can get a lower fuel cost considering the effect of valve point. The simulation experiment can not only strengthen the students’ understanding of active power optimization, but also improve their ability of using the computer technology to provide theoretical basis and evaluation for the improved algorithms.

simulation of power system; active power optimization; chaotic differential evolution algorithm; Matlab

10.16791/j.cnki.sjg.2016.03.010

2015- 08- 28修改日期:2015- 09- 27

重慶郵電大學(xué)教育教學(xué)改革項(xiàng)目(XJG1522,XJG1416);重慶市高等教育教學(xué)改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目(132016)

陳功貴(1964—),男,重慶,博士,教授,主要從事電氣工程專業(yè)的教學(xué)和科研工作.

E-mail:chenggpower@126.com

TM732

A

1002-4956(2016)3- 0034- 05