“等弧度三圓共點(diǎn)圖”的幾個(gè)有趣性質(zhì)*

●黃新民

(溫州市教育教學(xué)研究院　浙江溫州　325000)

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“等弧度三圓共點(diǎn)圖”的幾個(gè)有趣性質(zhì)*

●黃新民

(溫州市教育教學(xué)研究院浙江溫州325000)

數(shù)學(xué)中有美，美中有數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)之美無處不在，探求數(shù)學(xué)之美，是廣大數(shù)學(xué)愛好者樂此不疲的事.美麗的幾何圖形，往往蘊(yùn)含著諸多美妙的數(shù)學(xué)性質(zhì).文章構(gòu)造了一個(gè)漂亮的“等弧度三圓共點(diǎn)圖”，并對(duì)其作深入探究，發(fā)現(xiàn)有許多有趣的性質(zhì).

等弧度;三圓共點(diǎn)圖;四點(diǎn)共圓

數(shù)學(xué)之美無處不在，數(shù)學(xué)愛好者對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的探求孜孜不倦，樂此不疲.筆者最近在研究共點(diǎn)圓中，構(gòu)造了一個(gè)漂亮的“等弧度三圓共點(diǎn)圖”(如圖1)，并發(fā)現(xiàn)圖中蘊(yùn)含著許多美妙的幾何性質(zhì)[1].

圖1 圖2

為敘述方便，先證明下面的結(jié)論：

∠EAB+∠CAQ+∠CAB=180°，

即點(diǎn)E，Q，A共線.

圖3　　　　　　　　　圖4

性質(zhì)1的證明[3]因?yàn)辄c(diǎn)E，D，F(xiàn)，G分別是⊙O2，⊙O1上4段弧的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E，D，F(xiàn)，G，O1，O2共線，以下分2種情況：

因此∠AQN=∠AED，O1Q=O1E,而O1F=O1M,故EF=MQ.

下證DG=MN.聯(lián)結(jié)AN，AD，GM，因?yàn)镹A⊥EQ，DA⊥EQ，所以點(diǎn)A，N，D共線.又FM∥QE，GM⊥FM，從而AD⊥FM,因此

AD∥GM.

由O1G=O1M，得DG=MN，即

EF+DG=NM+MQ=NQ(即⊙O3的直徑).

證明聯(lián)結(jié)AB，AC，BC，AD，BO2，過點(diǎn)D分別作⊙O2，⊙O3的直徑DG，DF，聯(lián)結(jié)O1O2并延長(zhǎng)交⊙O2于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)O1O3并延長(zhǎng)交⊙O3于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)AG，AF(如圖5).

因?yàn)镈G，DF都是直徑，所以

∠BAC=∠CFA，∠1+∠3=∠2+∠3,

所以

∠1=∠2，∠GO2B=∠AO3F.

由點(diǎn)E在O1O2的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)H在O1O3的延長(zhǎng)線上，得

∠GO2E=∠HO3F，

即

∠O1O2D=∠O1O3D，

故點(diǎn)O1，O2，O3，D共圓.

圖5　　　　　　　　　圖6

證明聯(lián)結(jié)AB，AC，不妨設(shè)AB>AC，分2種情況：若割線經(jīng)過點(diǎn)D，則點(diǎn)E，F(xiàn)都與點(diǎn)D重合，顯然結(jié)論成立.當(dāng)割線不經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，分以下2種情況：

∠AEB=∠BAC=∠AFC,

從而

∠ACF+∠FAC=∠BAE+∠FAC,

因此

∠ACF=∠BAE.

又∠ACF=∠HGA,從而

∠HGA=∠BAE,

于是

即

因此

AB=GH.

由△ABE≌△GHF知AE=FG,故

EG=AF.

圖7　　　　　　　　　圖8

∠BEA=∠AFC=∠GFH,

即

∠1+∠3=∠2+∠3,

故

∠1=∠2.

又∠4=∠2，從而∠1=∠4,即

∠ACB=∠HCG，

因此

AB=HG.

由∠1=∠AGH，知∠2=∠AGH.在△ABE與△GHF中，

∠BEA=∠GFH，∠2=∠AGH，AB=HG,

于是

△ABE≌△GHF，

從而

AE=GF,

故

EG=AF.

綜上所述，性質(zhì)3得證.

圖9　　　　　　　　　圖10

限于篇幅，這里我們把性質(zhì)4和性質(zhì)5的證明省略.

美麗圖形背后往往隱藏著諸多漂亮的數(shù)學(xué)結(jié)論.有關(guān)“等弧度三圓共點(diǎn)圖”肯定還有其他有趣的結(jié)論，讀者可以繼續(xù)去探究去發(fā)現(xiàn).

[1]李良銀.關(guān)于三角形中三圓共點(diǎn)問題的探討[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào),2005,8(4):94-95.

[2]黃新民，劉臻.一道數(shù)學(xué)中考題的變式與探究[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2015(10)：46-47.

[3]黃新民.簡(jiǎn)談?wù)c(diǎn)多邊形的存在性問題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2012(3):4-5.

*收文日期：2016-04-17；2016-05-20

黃新民(1957-)男，浙江溫州人，浙江省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-27-03