活躍在數(shù)學(xué)高考中的三角不等式*

●鄧群毅

(浙江大學(xué)附屬中學(xué)　浙江杭州　310007)

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活躍在數(shù)學(xué)高考中的三角不等式*

●鄧群毅

(浙江大學(xué)附屬中學(xué)浙江杭州310007)

文章借助三角不等式，對(duì)2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題中的向量和數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行了研究,期望對(duì)讀者進(jìn)行解題細(xì)節(jié)上的指導(dǎo),提高對(duì)新穎問(wèn)題的解決能力.通過(guò)解法展示,指出教師需要關(guān)注知識(shí)的交匯,提高對(duì)問(wèn)題模式的識(shí)別能力.

三角不等式；解法；教學(xué)啟示

2016年高考已經(jīng)落下帷幕，有關(guān)數(shù)學(xué)高考試題的研究正在火熱進(jìn)行中，筆者發(fā)現(xiàn)與三角不等式有關(guān)的問(wèn)題在浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科試卷中都有呈現(xiàn).經(jīng)過(guò)研究，筆者得到了一些處理方法，希望對(duì)今后的解題教學(xué)能起到一定的指導(dǎo)作用.

1　問(wèn)題呈現(xiàn)

縱觀2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科試卷，筆者發(fā)現(xiàn)以下問(wèn)題與三角不等式有關(guān):

例1已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e為平面單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第15題)

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)，n∈N*;

2)略.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

2　問(wèn)題賞析

平面向量和數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高考經(jīng)?？疾榈臒狳c(diǎn)之一.2015年的浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題考查了絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，2016年的數(shù)學(xué)高考中對(duì)三角不等式的涉及面有所拓廣，與平面向量結(jié)合，強(qiáng)調(diào)了其應(yīng)用的廣泛性，可以說(shuō)是意料之外，又在情理之中.另外，2016年理科數(shù)列問(wèn)題考查了對(duì)遞推不等式的處理方法，檢驗(yàn)了學(xué)生選擇有效解題工具的能力.

從試題上看，三角不等式的應(yīng)用主要考查學(xué)生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化和代數(shù)變形能力，用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言道出了“平平淡淡才是真”的真諦.

3　解題工具

本文需要用到以下絕對(duì)值三角不等式：

若x，y為2個(gè)實(shí)數(shù)，則

|x|-|y|≤|x±y|≤|x|+|y|.

4　問(wèn)題求解

例1的解答(坐標(biāo)化與絕對(duì)值三角不等式)

不妨設(shè)e=(1,0)，a=(cosα,sinα)，b=(2cosβ,2sinβ).由a·b=1得

下面分2種情況討論：

|a·e|+|b·e|=|cosα|+2|cosβ|=

由sin2α+cos2α=1得

3m2+(n-m)2=3,

于是，利用絕對(duì)值三角不等式和柯西不等式，得

|a·e|+|b·e|=|m|+|n|≤

|m|+|(n-m)+m|=

|m|+|n-m|+|m|=

2|m|+|n-m|=

利用柯西不等式的取等條件，容易檢驗(yàn)等號(hào)可以成立.

評(píng)注本題巧妙地引入了坐標(biāo)化方法，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為三角最值問(wèn)題，通過(guò)利用絕對(duì)值三角不等式和柯西不等式(也可使用均值不等式)，得到了最大值.坐標(biāo)化方法的引入，極大地降低了思維難度，把問(wèn)題求解轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的計(jì)算問(wèn)題.

例2的解答(絕對(duì)值三角不等式)

|(a+b)·e|=|a·e+b·e|≤

2邊平方，得

|a|2+2a·b+|b|2≤6，

代入已知條件|a|=1，|b|=2，得

評(píng)注1本題其實(shí)也可以使用坐標(biāo)化方法處理，但是利用絕對(duì)值三角不等式處理，簡(jiǎn)潔明了，更好地把握了問(wèn)題的實(shí)質(zhì).

評(píng)注2例1和例2是一對(duì)條件與結(jié)果“互逆”的問(wèn)題，但是求解的難度大不相同，互換條件和結(jié)論，也為我們平時(shí)編題提供了嘗試的方向.

例3的解答(絕對(duì)值三角不等式)

即

|an+1|≥2|an|-2,

于是

|an+1|-2≥2(|an|-2).

不斷使用上面的遞推不等式，得

|an|-2≥2(|an-1|-2)≥

22(|an-2|-2|)≥…≥

2n-1(|a1|-2),

因此|an|≥2n-1(|a1|-2)+2>2n-1(|a1|-2).

評(píng)注利用絕對(duì)值三角不等式，得到顯性的遞推不等式，重復(fù)使用該不等式，最后得到數(shù)列通項(xiàng)絕對(duì)值的指數(shù)下界估計(jì).

5　教學(xué)啟示

鑒于三角不等式在高考試題中的活躍表現(xiàn)，教師應(yīng)對(duì)它加強(qiáng)關(guān)注，給予該解題工具應(yīng)有的地位.在教學(xué)中，要關(guān)注三角不等式與哪些知識(shí)可以進(jìn)行交匯、可以設(shè)計(jì)哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題.對(duì)問(wèn)題模式的識(shí)別需要達(dá)到精準(zhǔn)的程度，進(jìn)而為問(wèn)題解決作出快速的方向判斷.

*收文日期：2016-06-12；2016-07-05

鄧群毅(1987-)，男，浙江遂昌人，中學(xué)二級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-42-02