千里之堤　毀于蟻穴
——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不應(yīng)該忽視的小錯(cuò)誤

祁艷波

千里之堤毀于蟻穴
——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不應(yīng)該忽視的小錯(cuò)誤

祁艷波

同學(xué)們，我們知道數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，反過(guò)來(lái)又應(yīng)用于生活.初中數(shù)學(xué)主要包括代數(shù)和幾何兩部分，代數(shù)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是計(jì)算部分，而幾何的錯(cuò)誤主要出現(xiàn)在說(shuō)理論證部分.對(duì)于幾何部分，不少學(xué)生反映：某某題目我會(huì)做，但是過(guò)程我不會(huì)寫(xiě)，或者說(shuō)我寫(xiě)了不知道對(duì)不對(duì).這些都充分反映了同學(xué)們對(duì)幾何部分理論的掌握情況.不少學(xué)生在做幾何說(shuō)理論證時(shí)，把已知條件全部寫(xiě)出來(lái)，然后就得出結(jié)論，這種解答問(wèn)題的方式是不對(duì)的.那我們?cè)撊绾巫霾拍苓_(dá)到我們想要的結(jié)果呢？下面我們一起來(lái)看看在蘇科版七年級(jí)（下）第12章《證明》中容易出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤.

1.對(duì)命題與非命題識(shí)別中的錯(cuò)誤

例1給出下列語(yǔ)句：（1）三角形的外角和為360°；（2）好香的茉莉花呀?。?）在△ABC中，若AB=AC，那么△ABC是等腰三角形，你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？（4）不許和陌生人說(shuō)話.其中是命題的有_________（填序號(hào)）.

【分析】命題表示判斷，不能既肯定又否定，因此命題一定是陳述句，不能是疑問(wèn)句、感嘆句或祈使句，也不能是畫(huà)圖語(yǔ)句或猜測(cè)，題中只有（1）表示判斷，是命題.

【錯(cuò)解】（1）（2）（3）（4）

【正解】（1）.

2.命題改寫(xiě)中的錯(cuò)誤

例2將下列命題改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式.

對(duì)頂角相等.

【分析】在改寫(xiě)命題時(shí)，不能簡(jiǎn)單地把條件部分、結(jié)論部分分別填在“如果”“那么”的后面，要適當(dāng)?shù)卦鰷p詞語(yǔ)，在不改變意思的前提下，保證整體句子敘述的通暢.

【錯(cuò)解】如果對(duì)頂角，那么相等.

【正解】如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等.

3.證明中推理不嚴(yán)密導(dǎo)致的錯(cuò)誤

例3如圖1，已知AB∥CD，∠B=40°，∠D=40°，求證：BC∥DE.

圖1

【分析】證明中的推理過(guò)程不能“想當(dāng)然”，每一步推理都要有根據(jù).這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、定理或公理.推理過(guò)程要嚴(yán)密，不能跳步.

【錯(cuò)解】因?yàn)椤螧=40°，∠D=40°（已知），

所以∠B=∠D（等量代換），

所以BC∥DE（同位角相等，兩直線平行）.

【正解】∵AB∥CD（已知），

∴∠B=∠C=40°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

∵∠D=40°（已知），

∴∠C=∠D（等量代換）.

∴BC∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

4.要看清條件寫(xiě)理由

例4填寫(xiě)推理依據(jù)：

如圖2，∵∠D=∠C，

∴DE∥BC（），

∴∠E=∠B（）.

圖2

【分析】由∠D=∠C，得到DE∥BC，應(yīng)填平行線的判定條件，即“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”.再由DE∥BC，得到∠E=∠B，應(yīng)填平行線的性質(zhì)，即“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”.

【錯(cuò)解】?jī)芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

【正解】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

【點(diǎn)評(píng)】由角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）得到兩直線的位置關(guān)系（平行），根據(jù)的是平行線的判定方法；而由兩直線的位置關(guān)系（平行）得到角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)），根據(jù)的是平行線的性質(zhì)，填寫(xiě)理由時(shí)不可混淆.

5.要正確理解“等量代換”的含義

例5下列推理：（1）∵∠1=∠2，∠2= ∠3，∴∠1=∠3；（2）∵a∥b，b∥c，∴a∥c；（3）∵∠1=∠2，∴∠1=∠2；（4）∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3，∴∠1+∠3=90°.其中以“等量代換”為推理依據(jù)的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】“等量代換”的含義是相等的量可以相互代替，它考查的是量與量之間的數(shù)量關(guān)系.（2）中其實(shí)是平行的傳遞性，不是數(shù)量關(guān)系，而是位置關(guān)系.（3）是由等式的性質(zhì)得到的.（1）（4）是以等量代換為依據(jù)得到的.

【錯(cuò)解】D.

【正解】B.

6.未掌握反例的概念，導(dǎo)致所舉反例不能說(shuō)明命題為假而產(chǎn)生的錯(cuò)誤

例6判斷命題“如果ab>0，那么a>0”的真假，若是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例說(shuō)明.

【分析】反例即為滿足命題條件，但不滿足命題結(jié)論的例子.不要誤認(rèn)為就是逆命題，而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【錯(cuò)解】如果a>0，那么ab>0.

【正解】是假命題.例如a=-1，b=-1時(shí)，ab=1>0，但a=-1<0.

7.要看清原命題還是逆命題

【分析】本小題是要找出逆命題是真命題的命題，要看清題中的要求.

【錯(cuò)解】（2）.

【正解】（1）（3）.

8.證明中的循環(huán)論證問(wèn)題

循環(huán)論證就是用來(lái)證明論題的論據(jù)本身的真實(shí)性要依靠論題來(lái)證明的邏輯錯(cuò)誤.比如說(shuō)：一個(gè)瘦子問(wèn)胖子：“你為什么長(zhǎng)得胖？”胖子回答：“因?yàn)槲页缘枚?”瘦子又問(wèn)胖子：“你為什么吃得多？”胖子回答：“因?yàn)槲议L(zhǎng)得胖.”通過(guò)這個(gè)例子我們能很容易理解什么是“循環(huán)論證”.

例8如圖3△ABC，求證：∠A+∠B+ ∠C=180°.

【錯(cuò)解1】延長(zhǎng)BC到D，

∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD=∠A+∠B（三角形一外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和），

∵∠ACB+∠ACD=180°（補(bǔ)角的定義），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.

圖3

【分析】本題出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，這是學(xué)生提供的一種證明方法.這種方法看似很好，在添加輔助線時(shí)并不是很復(fù)雜，但是這位同學(xué)犯了典型的“循環(huán)論證”錯(cuò)誤.“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和”，這個(gè)定理是運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理證明的，這很明顯是個(gè)“循環(huán)論證”.

【錯(cuò)解2】過(guò)A作AD⊥BC，

（如圖4）∵AD⊥BC（已作），

∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定義），

∴∠BAD+∠B=90°，∠CAD+∠C=90°（直角三角形兩個(gè)銳角互余），

∴∠BAD+∠B+∠CAD+∠C=180°（等式的性質(zhì)），

即：∠BAC+∠B+∠C=180°.

圖4

【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，這種方法也是學(xué)生提供的一種證明方法，但是在上一題的講解后，已經(jīng)有學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)這種“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤了.

【錯(cuò)解3】利用四邊形內(nèi)角和是360°，

∵四邊形的內(nèi)角和是360°，

四邊形可以分成兩個(gè)三角形，

∴三角形內(nèi)角和是180°.

【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，在證明的時(shí)候?qū)W生利用了四邊形的內(nèi)角和為360°，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和是由三角形內(nèi)角和為180°證明得到的，所以這種解法也犯了“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤.

【正解】如圖5，作BC的延長(zhǎng)線CD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，

圖5

∵CE∥AB（已作），

∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），

∠2=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.

（作者單位：江蘇省連云港市海頭中心校）