淺析衛(wèi)星變軌運動

姚黃濤　馮 杰

(上海師范大學　上?！?00234)

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淺析衛(wèi)星變軌運動

姚黃濤馮 杰

(上海師范大學上海200234)

從高中物理天體運動的一類題目出發(fā)，從角動量角度分析了衛(wèi)星繞地球變軌運動的詳細過程，從能量的角度計算了衛(wèi)星運動軌道半徑和衛(wèi)星能量的關系.

天體運動能量角動量

1　引言

在高中物理天體運動這一章中，學生們經常會遇到這樣一類的題目[1]：

【例題】某人造地球衛(wèi)星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運轉的軌道會慢慢改變，多次測量中的衛(wèi)星的運動可近似看作圓周運動.某次測量衛(wèi)星的軌道半徑為r1，后來變?yōu)閞2，r2

A.Ek2

B.Ek2T1

C.Ek2>Ek1，T2

D.Ek2>Ek1，T2>T1

此題的答案應選擇C.因為沿圓軌道運動的人造衛(wèi)星，若受到某種阻力作用使其運動速率減小的同時，將由于萬有引力大于所需的向心力而導致衛(wèi)星運動的軌道半徑減小，而軌道半徑在減小的衛(wèi)星又會由于萬有引力對其做正功反使其運動速率增大.事實上，隨著阻力的作用，軌道半徑將變小，而運動速率將變大.但是有些學生會問，“既然重力和阻力都在做功，怎么就一定是重力做的功大于克服阻力做的功而使衛(wèi)星的動能增加呢?”為了將此類問題分析清楚，我們考慮以下兩個問題：

(1)衛(wèi)星是如何從一個大軌道改變到一個較小軌道的，即變軌的詳細過程是怎樣的.

(2)衛(wèi)星所受阻力做的功要滿足什么條件才能保證衛(wèi)星還能穩(wěn)定飛行于軌道上.

2　衛(wèi)星降落過程的速度與軌道半徑(v-r)關系

根據理論力學中的結論，當衛(wèi)星受到一個阻力作用后，其線速度方向不再與軌道的矢徑垂直，衛(wèi)星會以橢圓軌道繞地球飛行.但在這里，我們只考慮衛(wèi)星所受擾動很小，且軌道是慢慢改變的，衛(wèi)星的運動仍可近似看作圓周運動.

對于做穩(wěn)定環(huán)繞運動的衛(wèi)星，萬有引力提供向心力使衛(wèi)星做圓周運動

可得

(1)

這里的v(r)為衛(wèi)星做穩(wěn)定圓周運動(不變軌)的速度.若衛(wèi)星在半徑為r0的軌道上穩(wěn)定地繞地球飛行，在此過程中極短時間內受到一個擾動，導致飛行速度變?yōu)関′(r0)，此v′(r0)小于衛(wèi)星在這一軌道上的穩(wěn)定繞行速度v(r0).在這一擾動之后，衛(wèi)星就會往較小的軌道運動.假設變軌的過程無阻力，擾動是由衛(wèi)星自身動力系統(tǒng)提供的.衛(wèi)星只受到地球對它的萬有引力作用，萬有引力是一個有心力，所以衛(wèi)星所受的力對地球球心的力矩等于零，衛(wèi)星對地球球心的角動量守恒，所以

r0v′(r0)=rv′(r)

(2)

式中r0為衛(wèi)星初始的穩(wěn)態(tài)運動軌道半徑，v′(r0)為受到擾動后的速度，v′(r)為不同軌道半徑下衛(wèi)星的速度.

式(1)和式(2)都是衛(wèi)星速度與軌道半徑的關系式.它們之間的區(qū)別是：式(1)中的速度是衡量衛(wèi)星的飛行狀態(tài)的，這個速度是狀態(tài)量，只要達到了這個狀態(tài)，衛(wèi)星的軌道就是被約束的而不會發(fā)生變化.式(2)中的速度與半徑的關系是衛(wèi)星變軌的過程中它們所滿足的關系，因而是過程性的.將式(1)和式(2)同時作于v-r圖上，如圖1所示.

圖1

一開始衛(wèi)星以v(r0)的速度穩(wěn)定地在r0軌道上繞行，對應圖中B點，受到擾動后，衛(wèi)星速度變?yōu)関′(r0)，對應圖中C點，然后衛(wèi)星將變軌至較小的軌道，變軌的過程對應到圖上為沿著v′(r)線從C→A，A為v(r)和v′(r)線的交點，這時衛(wèi)星在軌道r上穩(wěn)定飛行.因此，當衛(wèi)星受到擾動變軌后無需提供動力，它會自動調整至穩(wěn)態(tài)曲線上A點對應的軌道.不同的v′(r0)對應不同的A點，相當于在圖像上上下平移v′(r)線后得出不同的交點.對于A點，v′(r)=v(r)，則

(3)

設r為受到擾動后最終達到的穩(wěn)態(tài)軌道半徑，擾動的總沖量為I，r0為初始時刻穩(wěn)態(tài)軌道，根據動量定理

I=Δp=m[v(r0)-v′(r0)]

代入式(1)、(3)

得

(4)

上式即為在軌道r0飛行的衛(wèi)星受到沖量I的擾動后，最終會到達的軌道r的大小.

3　衛(wèi)星繞行的能量與軌道半徑(E-r)關系

上面是從速度與軌道半徑的角度對衛(wèi)星變軌過程的一個討論，未涉及能量，下面從能量的角度討論衛(wèi)星穩(wěn)定于軌道上的條件.

(5)

衛(wèi)星在某位置所具有的引力勢能在數值上等于將衛(wèi)星從此位置移動到距離地球無窮遠處引力對衛(wèi)星所做的功，則

式中加負號是因為引力做負功

(6)

所以衛(wèi)星穩(wěn)定飛行于軌道r上時具有的能量為

E(r)=Ep+Ek=

(7)

圖2　能量與軌道半徑示意圖

圖2為衛(wèi)星在軌道上繞行時具有的能量和軌道半徑的示意圖，一個軌道對應一個能量；確定的能量對應一個確定的軌道.所以衛(wèi)星的能量只有滿足式(7)，衛(wèi)星才能繞行于穩(wěn)定的軌道上.對于在圖上的A點和B點：其一，當衛(wèi)星從r2軌道運行至r1軌道的過程中克服阻力做的功若大于E(r2)-E(r1)，則衛(wèi)星最后無法穩(wěn)定于r1上，其軌道半徑會繼續(xù)減??；其二，衛(wèi)星在變軌時，能量是不守恒的，不僅僅是勢能轉化為動能，還必須損失一部分的能量才可以使衛(wèi)星從大軌道繞行變換到小軌道繞行.

1吳敏，承開.高中物理重難點16講.上海：上海交通大學出版社，2006.71～74

2016-01-20)