氮化鎵回音壁微腔激光模式方程推導(dǎo)

朱剛毅，王譯畦南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院；南京郵電大學(xué)教育與科學(xué)技術(shù)學(xué)院

氮化鎵回音壁微腔激光模式方程推導(dǎo)

朱剛毅1，王譯畦2
1南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院；2南京郵電大學(xué)教育與科學(xué)技術(shù)學(xué)院

本文從菲涅爾公式推導(dǎo)出圓形，正六邊形，正十二邊形的微腔的激光模式數(shù)方程，并且在此基礎(chǔ)上修正了更為普適的被不同介質(zhì)包圍的正六邊形激光模式數(shù)方程。本研究對于氮化鎵回音壁激光的光譜特性研究具有重要的指導(dǎo)意義。

氮化鎵；回音壁激光；全反射；菲涅爾公式；激光模式數(shù)方程

GaN基寬禁帶半導(dǎo)體激光器，在高密度光存儲(chǔ)、激光顯示、激光掃描和塑料光纖通信等領(lǐng)域有巨大的應(yīng)用前景和市場需求。氮化鎵回音壁激光是利用光路在環(huán)形微腔或者多邊形微腔中內(nèi)全反射形成的,具有極低的閾值和極高的激光品質(zhì)。因此，GaN基回音壁模激光器一直是光電器件研究的熱點(diǎn)。本文利用光程、全反射的概念和菲涅爾公式，結(jié)合不同形狀的回音壁激光模型，推導(dǎo)出不同形狀的回音壁微腔激光模式數(shù)方程，并對不同介質(zhì)包圍的不同形狀的回音壁微腔的激光模式數(shù)公式進(jìn)行修正，得到更具普適的激光模式方程。

氮化鎵是一種纖鋅礦結(jié)構(gòu)的雙折射率材料，在紫外光范圍內(nèi)，TM極化模式的激光強(qiáng)度比較弱，相對于TE極化模式的激光，探測比較困難，為了簡化，在這里我們只討論TE極化模式的激光。TE極化模式的光的色散關(guān)系可以用Sellmeier色散方程來表示[1]。

1.圓形微腔激光模式數(shù)方程

圖1顯示了不同微腔中，回音壁激光的光學(xué)共振機(jī)制。對于微腔的橫截面為圓形的微腔，如圖1（a）所示，光循環(huán)一周的路徑為橫截面圓周長，因此激光的光程

圖1　不同形狀微腔的橫截面及光路循環(huán)圖（a）圓形（b）正六邊形（c）正十二邊形

其中nGaN代表氮化鎵在真空波長λ的折射率，R是圓的半徑，λ是氮化鎵的波長，單位是微米，N激光的模式數(shù)，為正整數(shù)，所以圓形微腔的激光的模數(shù)方程為[2]：

2.正六邊形微腔激光模式數(shù)方程

被均勻介質(zhì)環(huán)繞，且橫截面為正六邊形的微腔，激光的微腔中的環(huán)繞路徑如圖1（b）所示，光在六個(gè)面進(jìn)行全反射，對于六邊形微腔光程：

nGaN代表氮化鎵在真空波長λ的折射率。公式右邊分為兩部分，第一部分為微腔內(nèi)部的激光的循環(huán)路徑，此時(shí)的折射率為氮化鎵的折射率nGaN，，第二部分為微腔在界面全反射的時(shí)候,反射光線相對于入射光線相位差，根據(jù)菲涅爾公式，TE全反射是反射光線與入射光線的比值[3]：

TE光在全反射時(shí)的相位角差：

對于正六邊形微腔，如圖1（b）所示，θ=60°所以全反射光線與入射光線的相位角移動(dòng)為：

公式中，R是微腔的半徑，nr是微腔界面。

3.十二邊形微腔激光模式數(shù)方程

被均勻介質(zhì)環(huán)繞，且橫截面為正十二邊形的微腔，激光的微腔中的環(huán)繞路徑如圖1（c）所示，激光要在十二個(gè)面進(jìn)行全反射，十二邊形微腔循環(huán)光路的光程為：

nGaN代表氮化鎵在真空波長λ的折射率。公式右邊分為兩部分，第一部分為微腔內(nèi)部的激光的循環(huán)路徑，此時(shí)的折射率為氮化鎵的折射率nGaN，，第二部分為激光微腔界面全反射的時(shí)候造成的光程差，對于正十二邊形來說，光在微腔界面的全反射的角度為θ=75°，如圖1（c）所示，代入全反射的相位角變化公式（5）和公式（7），光在全反射時(shí)的相位角移動(dòng)為

此時(shí)nr為界面的相對折射率對,參數(shù)β對于TM和TE極化模分別等于和 nr，所以共振波長λ和對應(yīng)的激光模式數(shù)方程被表達(dá)為[6]：

4.六邊形微腔激光模式數(shù)修正方程

方程(7)只適用于六邊形微腔被同一種介質(zhì)包圍完全對稱的情況。如果微腔是一種被不同的介質(zhì)包圍的非對稱性結(jié)構(gòu)，那么光在每個(gè)界面全反射時(shí)相位角的改變量將會(huì)不一樣，在這種情況下，傳統(tǒng)的方程(7)已不再適用。在這里，我們給出了一種更為普適的針對六邊形微腔的激光模式數(shù)方程[7]：

5.小結(jié)

本文從最基本的微腔結(jié)構(gòu)出發(fā)，結(jié)合光程，全反射的概念和菲涅爾公式推導(dǎo)出圓形，正六邊形，正十二邊形的微腔的激光模式數(shù)方程，并且在此基礎(chǔ)上修正了更為普適的被不同介質(zhì)包圍的正六邊形激光模式數(shù)方程。本研究有利于深刻理解菲涅爾公式和全反射的概念，對于氮化鎵回音壁微腔激光的光譜特性研究有重要的指導(dǎo)意義。

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[7]Gangyi Zhu,Chunxiang Xu,Lisha Cai,Jitao Li,Zengliang Shi, Yi Lin,Guofeng Chen,Tao Ding,Zhengshan Tian,and Jun Dai，Las?ing Behavior Modulation for ZnO Whispering-Gallery Microcavities [J].ACS Applied Material and Interfaces,2012(4):6195?6201.

王譯畦，女，南京郵電大學(xué)，教育科學(xué)學(xué)院。

朱剛毅，男，南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院。