坡代數(shù)的(,∨(λ,μ))-模糊理想*

路　騰，廖祖華,2+，廖翠萃,2，袁玩貴,2.江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 24222.江南大學(xué) 智能系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)計(jì)算研究所，江蘇 無(wú)錫 2422

路騰1，廖祖華1,2+，廖翠萃1,2，袁玩貴1,2
1.江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122
2.江南大學(xué) 智能系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)計(jì)算研究所，江蘇 無(wú)錫 214122

LU Teng,LIAO Zuhua,LIAO Cuicui,et al.(,∨(λ,μ))-fuzzy ideals of incline algebras.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2016,10(8):1191-1200.

摘要：給出了坡的(?,?∨?(λ,μ))-模糊理想的概念，研究了坡的(?,?∨?(λ,μ))-模糊理想的等價(jià)刻畫(huà)，得到了坡的(?,?∨?(λ,μ))-模糊理想在并運(yùn)算與反直積運(yùn)算下封閉的結(jié)論；利用反擴(kuò)張?jiān)慝@得了坡的(?,?∨?(λ,μ))-模糊理想的同態(tài)原像與同構(gòu)像的性質(zhì)；最后，引入了坡的濾子的鏈?zhǔn)綏l件，并討論了它的一些基本性質(zhì)。坡的(?,?∨?(λ,μ))-模糊理想新概念的提出擴(kuò)展了坡代數(shù)理論的研究，引入的坡的濾子的鏈?zhǔn)綏l件的性質(zhì)也可應(yīng)用于其他代數(shù)結(jié)構(gòu)，豐富了軟代數(shù)理論研究。

關(guān)鍵詞：(?,?∨?(λ,μ))-模糊理想；濾子；鏈?zhǔn)綏l件；同態(tài)原像；同構(gòu)像

1　引言

Rosenfeld于1971年最先提出將模糊理論應(yīng)用到代數(shù)學(xué)中[1]，之后有許多學(xué)者致力于代數(shù)概念的模糊化和推廣。為了推廣模糊子群和模糊理想的概念，Bhakat和Das在1992年至1996年期間，借助劉應(yīng)明等人提出的模糊點(diǎn)和模糊集之間“屬于”和“重于”的關(guān)系，得出了(α,β)-模糊子群的概念[2-3]；袁學(xué)海等人于2003年給出了廣義模糊子群的概念[4]；(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代數(shù)是相對(duì)于Rosenfeld意義下的模糊代數(shù)，比Bhakat和Das意義模糊代數(shù)更為一般的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它由廖祖華等人于2006年提出并且他們對(duì)此進(jìn)行了一系列研究工作[5-6]。

反模糊子群的概念是由Biswas于1990年首先提出[7]，反模糊代數(shù)的提出是對(duì)模糊代數(shù)理論的一種擴(kuò)充和發(fā)展；張成于1997年給出了(∈′,∈′∨q′)-模糊子群的定義[8]；袁學(xué)海等人于2003年提出了-模糊子群的概念[9]；廖祖華等人在袁學(xué)海提出的(,∨)-模糊子群概念的基礎(chǔ)上，于2007年提出了(,∨(λ,μ))-模糊子群[10]的概念。(,∨(λ,μ))-模糊子群是一般反模糊子群和(∈′,∈′∨q′)-模糊子群的一種推廣：當(dāng)λ=1,μ=0時(shí),(,∨(λ,μ))-模糊子群是一般反模糊子群，當(dāng) λ=1,μ=0.5時(shí),(,∨(λ,μ))-模糊子群是(∈′,∈′∨q′)-模糊子群，廖祖華和他的學(xué)生們對(duì)此進(jìn)行了一系列的研究[11-14]。

坡代數(shù)是由我國(guó)控制論專家曹志強(qiáng)于1981年提出的[15]，之后他與Kim和Roush于1984年合作完成了著作[16]。Jun等人最先用模糊集的思想研究坡代數(shù)，并且于2001年定義了模糊子坡代數(shù)和模糊理想的概念，并給出了模糊子坡代數(shù)和模糊理想的若干等價(jià)條件和性質(zhì)[17]。2005年，詹建明等人給出了坡的直覺(jué)模糊理想與坡的T-模糊理想的定義[18-19]。2010年，程風(fēng)等人在直覺(jué)模糊集和模糊坡定義的基礎(chǔ)上，給出了T-S模的直覺(jué)模糊坡及其理想的概念[20-21]。2011—2013年，李生剛、伏文清等人對(duì)坡進(jìn)行了一系列的研究工作，得到了一些有意義的結(jié)果[22-26]。廖祖華和他的學(xué)生芮明力于2010年對(duì)模糊子坡進(jìn)行了推廣，給出了廣義反模糊子坡的概念[27]，他們又于2011年，給出了廣義模糊子坡及(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊子坡的新概念[28]。理想是代數(shù)學(xué)中的重要概念并起著重要作用，本文定義坡的(,∨(λ,μ))-模糊理想的概念并得出它的一系列基本性質(zhì)。

2　預(yù)備知識(shí)

定義1[15]設(shè)K是一個(gè)非空集合，具有兩種運(yùn)算：加法（記為“+”）和乘法（記為“?”，通常省略不寫(xiě)），對(duì)任意的x,y,z∈K滿足下列條件:

則稱K是一個(gè)坡。

定義2[15]設(shè)K是一個(gè)坡，K1是K的一個(gè)非空子集，若K1對(duì)于K中兩種運(yùn)算封閉，則稱K1是K的子坡。

定義3（笛卡爾積）A、B是兩個(gè)非空集合，稱A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}為A、B的笛卡爾積。

定理1[16]K1、K2是坡，在K1×K2中定義加法“+”及乘法“?”運(yùn)算：

則K1×K2也是一個(gè)坡。

定義4[29]A是論域X的子集，設(shè)有如下映射:

定義5[15]設(shè)K1、K2都是坡，f是K1到K2的映射，若 f滿足?x,y∈K，有：

f(xy)=f(x)f(y)

f(x+y)=f(x)+f(y)

則稱 f是K1到K2的同態(tài)。若同態(tài) f是滿射，則稱 f是滿同態(tài)。若同態(tài) f是單射，則稱 f是單同態(tài)；若同態(tài) f既是滿射又是單射，則稱 f是同構(gòu)。

定義6[10]設(shè)α,λ,μ∈[0,1]且λ>μ，A是集合X的一個(gè)模糊子集，x∈X：如果A(x)<α，則稱xα反屬于A，記為xαA；如果α<λ且A(x)+α≤2μ，則稱xα廣義反重于 A，記為xα(λ,μ)A；如果xαA或xα(λ,μ)A，則記為xα∨(λ,μ)A。

定義7[27]設(shè)A∈F(K)(K上模糊集的全體),λ,μ∈[0,1]且λ>μ，若?x,y∈K,有：

(1)A(x+y)∧λ≤A(x)∨A(y)∨μ (2)A(xy)∧λ≤A(x)∨A(y)∨μ

則稱A是K的一個(gè)廣義反模糊子坡。

定義8[28]設(shè) A∈F(K),λ,μ∈[0,1]且 λ>μ，如果?x,y∈K,若x≤y都有A(x)∨μ≥A(y)∧λ，則稱A是廣義逆序的。

定義9[27]設(shè) A∈F(K),λ,μ∈[0,1]且 λ>μ，如果?x,y∈K,若x≤y都有A(x)∧λ≥A(y)∨μ，則稱A是強(qiáng)廣義逆序的。

定義10[27]如果坡K的廣義反模糊子坡A是廣義逆序的，則稱A是K的廣義反模糊理想。

定義11[23]設(shè)K1是坡K的一個(gè)子坡，若由x∈K1, y∈K且x≤y能推出y∈K1，則稱K1是K的濾子。

定義12[12]（反擴(kuò)張?jiān)恚┰O(shè) f:X→Y為一個(gè)映射，則由該映射可以誘導(dǎo)出如下兩個(gè)映射，分別記為與 f-1：

定義13設(shè)A是坡K的一個(gè)模糊集，?x,y∈K，若x≤y,α∈[0,λ)且xαA，則yα∨(λ,μ)A，此時(shí)稱A是(,∨(λ,μ))逆序的。

證明 充分性。因?yàn)?x,y∈K,α∈[0,λ)且xαA，則A(x)<α。由于A是廣義逆序的，則當(dāng)x≤y時(shí)，有A(x)∨μ≥A(y)∧λ。

（1）若α≤μ，則A(y)∧λ≤A(x)∨μ≤α∨μ=μ，又因?yàn)棣?λ，所以A(y)≤μ，得A(y)+α≤μ+α≤2μ，即

（2）若 α>μ，則 A(y)∧λ≤A(x)∨μ<α，又因?yàn)棣?λ，所以A(y)<α，即yαA。

必要性（反證法）。若存在x,y∈K且x≤y，此時(shí)有A(x)∨μ

取α滿足A(x)∨μ<α

若yαA，則A(y)<α，與A(y)>α矛盾。

若yα(λ,μ)A，則 A(y)+α≤2μ，由 A(y)>α得2α= α+αμ，由已知條件知yμ∨(λ,μ)A。

情形1若yμA，即A(y)<μ，與A(y)>μ矛盾。

情形2若yμ(λ,μ)A，即A(y)+μ≤2μ，因此A(y)≤μ，這仍與A(y)>μ矛盾。

綜上所述，?x,y∈K，若 x≤y，則 A(x)∨μ≥A(y)∧λ，從而A是廣義逆序的。

其中0≤μ

定理3設(shè)A是坡K的一個(gè)模糊子集，則下列條件等價(jià)：

（2）A是坡K的廣

義反模糊理想；

假設(shè)存在x0,y0∈K，使 A(x0+y0)∧λ>A(x0)∨A(y0)∨μ，選取α滿足 A(x0+y0)∧λ>α>A(x0)∨A(y0)∨μ，因此A(x0)<α，A(y0)<α，μ<α<λ且A(x0+y0)>α，從而(x0)α,(y0)αA，由已知(x0+y0)α=(x0+y0)α∨α∨(λ,μ)A。

情形1若 (x0+y0)αA，則 A(x0+y0)<α，這與A(x0+y0)>α矛盾。

情形2若(x0+y0)α(λ,μ)A，則A(x0+y0)+α≤2μ，得A(x0+y0)≤μ+(μ-α)<μ<α，這也與A(x0+y0)>α矛盾。

綜上所述，?x,y∈K，A(x+y)∧λ≤A(x)∨A(y)∨μ。

同理可證，?x,y∈K，A(xy)∧λ≤A(x)∨A(y)∨μ。

因此，A是K的廣義反模糊子坡。

（2）?（1）：若A是K的廣義反模糊子坡，?x,y∈K,α1,α2∈[0,λ)，令α=α1∨α2，如果xα1,yα2A，則A(x)< α1,A(y)<α2。

情形1如果α>μ，則 A(x+y)∧λ≤A(x)∨A(y)∨ μ<α。因?yàn)棣?λ，所以A(x+y)<α，于是即

情形2如果α≤μ，則A(x+y)∧λ≤A(x)∨A(y)∨μ≤μ。因?yàn)棣?μ，所以A(x+y)≤μ，于是A(x+y)+α≤ μ+α≤μ+μ=2μ，所以

同理可證：?x,y∈K,α1,α2∈[0,λ)，如果則

（2）?（3）：A是坡K的廣義反模糊理想，則A是坡K的廣義反模糊子坡，?t∈(μ,λ],x,y∈，則A(x)≤t,A(y)≤t，A(x+y)∧λ≤A(x)∨A(y)∨μ≤t，因?yàn)閠<λ，所以A(x+y)≤t，即

（3）?（2）：假設(shè)存在x0,y0∈K，使得A(x0+y0)∧λ> A(x0)∨A(y0)∨μ，選取t滿足 A(x0+y0)∧λ>t≥A(x0)∨A(y0)∨μ，故可知 A(x0)≤t,A(y0)≤t,A(x0+y0)>t且λ>t≥μ，則x0∈t且y0∈t，因?yàn)閠是K的子坡，所以 (x0+y0)∈t，即 A(x0+y0)≤t，與 A(x0+y0)>t矛盾。因此?x,y∈K,A(x+y)∧λ≤A(x)∨A(y)∨μ。

同理可證：?x,y∈K,A(xy)∧λ≤A(x)∨A(y)∨μ。

綜上所述，A是坡K的廣義反模糊子坡。

假設(shè) A不是廣義逆序的，則存在 x0,y0∈K且x0≤y0，使得A(x0)∨μt且t∈[μ,λ)，已知是坡 K的濾子，從而 y0∈t，即 A(y0)≤t，與A(y0)>t矛盾。因此A是廣義逆序的，從而A是坡K的廣義模糊理想。

（4）?（2）：假設(shè)存在x0,y0∈R，使得 A(x0+y0)∧λ>A(x0)∨A(y0)∨μ，選取 t滿足 A(x0+y0)∧λ≥t> A(x0)∨A(y0)∨μ，故 A(x0),A(y0)μ，則x0∈-t且y0∈-t，因?yàn)?/p>

-t是K的子坡，所以(x0+y0)∈-t，即A(x0+y0)

同理可證：?x,y∈K，A(xy)∧λ≤A(x)∨A(y)∨μ。

綜上所述，A是坡K的廣義反模糊子坡。

定理4K1是K的濾子，取兩個(gè)數(shù)t1、t2滿足 μ< t1<λ

證明 必要性。假設(shè)存在x0,y0∈K，使得，取，因此，由知(x0+y0)>0。由反特征函數(shù)的定義知且，因此 x0∈A,y0∈A,但 x0+ y0?A，這與 A是K的子坡矛盾。從而?x,y∈K,A(x+y)∧λ≤A(x)∨A(y)∨μ。

同理可證：?x,y∈A，xy∈A。

綜上所述，A是K的子坡。

綜上所述，非空子集A是K的濾子。

?x,y∈K，α1,α2∈[0,λ)，若 xα1,yα2(A?B)，則有(A?B)(x)<α1且 (A?B)(y)<α2，即 A(x)∨B(x)<α1且A(y)∨B(y)<α2。從而 A(x)<α1,A(y)<α2,A(x)<α1,A(y)< α2,B(x)<α1且 B(y)<α2，即 xα1,yα2A且 xα1,yα2B，故(xy)α1∨α2∨(λ,μ)A且(xy)α1∨α2∨(λ,μ)B。

以下分4種情況討論：

情形1若(xy)α1∨α2A且(xy)α1∨α2B，此時(shí) A(xy)< α1∨α2,B(xy)<α1∨α2，從而可得 (A?B)(xy)=A(xy)∨B(xy)<α1∨α2，于是得(xy)α1∨α2(A?B)。

情形2若(xy)α1∨α2A且(xy)α1∨α2(λ,μ)B，此時(shí)A(xy)< α1∨α2且B(xy)+(α1∨α2)≤2μ。如果α1∨α2≤μ，則A(xy)+(α1∨α2)≤2μ，從而 (A(xy)∨B(xy))+(α1∨α2)≤2μ，即 (A?B)(xy)+(α1∨α2)≤2μ，于是得 (xy)α1∨α2(λ,μ)(A?B)；如果α1∨α2>μ，則B(xy)≤2μ-(α1∨α2)= μ+[μ-(α1∨α2)]<μ<α1∨α2，從 而A(xy)∨B(xy)< α1∨α2，即(A?B)(xy)<α1∨α2，從而

綜上所述，(xy)α1∨α2∨(λ,μ)(A?B)。

情形3 若(xy)α1∨α2(λ,μ)A且(xy)α1∨α2B，證明同情形2，有(xy)α1∨α2∨(λ,μ)(A?B)。

情形4若(xy)α1∨α2(λ,μ)A且(xy)α1∨α2(λ,μ)B，此時(shí)有A(xy)+(α1∨α2)≤2μ且 B(xy)+(α1∨α2)≤2μ，從而 (A (xy)∨B(xy))+(α1∨α2)≤2μ，即(A?B)(xy)+(α1∨α2)≤ 2μ，于是

同理可證：?x,y∈K，α1,α2∈[0,λ)，如果 xα1,yα2A?B，則有(x+y)α1∨α2∨(λ,μ)(A?B)。因此，A?B是坡K上的(,∨(λ,μ))-模糊子坡。

推論1設(shè)Ai∈F(K)(i=1,2,…,n)是K的(,∨(λ,μ))-模糊理想，則也是K的-模糊理想。

定義15Ai是Ki的模糊子集,i=1,2,…,n,定義映射：

則G是K1×K2×…×Kn的模糊子集，稱為模糊子集A1,A2,…,An的反直積，記為

定理7若Ai是坡Ki(i=1,2)的(,∨(λ,μ))-模糊理想，則是K1×K2的(,∨(λ,μ))-模糊理想。證明因?yàn)锳i是坡Ki(i=1,2)的(,∨(λ,μ))-模糊子坡，所以 Ai是 Ki(i=1,2)的廣義反模糊子坡。?(x1,y1),(x2,y2)∈K1×K2，有：

是 K1×K2的(,∨(λ,μ))-模糊子坡。

設(shè)(x1,y1),(x2,y2)∈K1×K2且(x1,y1)≤(x2,y2)，則：

推論2若Ai是坡Ki(i=1,2,…,n)的(,∨(λ,μ))-模糊理想，則是 K1×K2×…×Kn的 (,∨(λ,μ))-模糊理想。

因此，A(xy)∧λ=A(x)∨A(y)∨μ。

對(duì)任意x′,y′∈K′，因?yàn)?f是同構(gòu)，所以存在唯一的x,y∈K，使得 f(x)=x′,f(y)=y′，因此

因?yàn)?f是同構(gòu)，所以得 f(xy)=f(x)f(y)=x′y′，故

對(duì)任意x′,y′∈K′且x′≤y′，有x′+y′=y′，因?yàn)?f是同構(gòu)，因此存在唯一的 x,y∈K，使得 f(x)=x′, f(y)=y′，因此A(y)=A(y)。由f是同構(gòu)得f(x+y)=f(x)+f(y)=x′+ y′=y′=f(y)，又因?yàn)?f是單射，所以 x+y=y，知x≤y。因?yàn)锳是坡K的(,∨(λ,μ))-模糊理想，所以A是(,∨(λ,μ))逆序的，可知 A是廣義逆序的，即A(x)∨μ≥A(y)∧λ，故

定理10設(shè) f是坡K到坡K′的一個(gè)同態(tài)映射，B是坡K′的(,∨(λ,μ))-模糊理想，則 f-1(B)是坡K 的(,∨(λ,μ))-模糊理想。

證明 首先證 f-1(B)是坡K的(,∨(λ,μ))-模糊子坡。

同理可證：?x,y∈K，f-1(B)(x+y)∧λ≤f-1(B)(x)∨f-1(B)(y)∨μ。

于是得到 f-1(B)是K的廣義模糊子坡，由定理3 知 f-1(B)是坡K的(,∨(λ,μ))-模糊子坡。

下面證 f-1(B)是(,∨(λ,μ))逆序的即可。

綜上所述，f-1(B)是坡 K的 (,∨(λ,μ))-模糊理想。

6　坡濾子的鏈?zhǔn)綏l件

本章首先引入濾子的鏈?zhǔn)綏l件的概念，然后討論濾子的鏈?zhǔn)綏l件與坡的(,∨(λ,μ))-模糊理想的關(guān)系。

定義16K是坡，對(duì)于K中任意濾子升鏈K1?K2?K3?…，存在正整數(shù)n，使得對(duì)所有m>n，有Km=Kn，則稱K關(guān)于濾子滿足升鏈條件。

類似的，可以定義K關(guān)于濾子滿足降鏈條件。

定義17K是坡，對(duì)于K中任意濾子的降鏈K1?K2?K3?…，存在正整數(shù)n，使得對(duì)所有m>n，有Km=Kn，則稱K關(guān)于濾子滿足降鏈條件。

證明（反證法）若ImA?(μ,λ)是無(wú)限集，因?yàn)樗橇夹蚣?，所以有最小元，設(shè)其為t1，因ImA?(μ,λ)-{t1}仍是非空集，設(shè)其最小元為t2，則t1

證明類似定理11的證明可證。

證明 假設(shè)K關(guān)于濾子不滿足降鏈條件，則存在K的關(guān)于子坡的無(wú)窮嚴(yán)格降鏈 K1?K2?…?…?Kn?…。

定義模糊子集B如下:

若K=K1，則結(jié)論成立。

若K≠K1，則在K1前取K?K1，設(shè)此鏈為K?K1?K2?…?…?Kn?…。

（2）若x+y∈Kn-Kn+1,則x?Kn+1或y?Kn+1。不妨設(shè) y?Kn+1,即 y∈Km-Km+1,其中m≤n,則 B(x+y)=，因此

B(y)≤B(x)∨B(y)∨μ

綜上所述，?x,y∈K，B(x+y)∧λ≤B(x)∨B(y)∨μ。

同理可證：?x,y∈K，B(xy)∧λ≤B(x)∨B(y)∨μ。

令x≤y，則x+y=y。

（2）若x+y∈Kn-Kn+1,則x+y?Kn+1,可得x?Kn+1或y?Kn+1，若不然x?Kn+1且y?Kn+1，因?yàn)镵n+1是濾子，所以x+y∈Kn+1，與x+y?Kn+1矛盾。

若x∈Kn+1,y?Kn+1，因?yàn)閤≤y，Kn+1是濾子，所以y∈Kn+1，與y?Kn+1矛盾，因此x?Kn+1。

若 x?Kn+1，則存在 m

7　結(jié)束語(yǔ)

坡代數(shù)及坡代數(shù)上的矩陣?yán)碚撛谧詣?dòng)機(jī)理論、決策論、控制論、圖論、神經(jīng)系統(tǒng)等領(lǐng)域具有很好的應(yīng)用前景。例如坡代數(shù)理論可以用于表示自動(dòng)機(jī)及其他代數(shù)系統(tǒng)，在最優(yōu)化理論中，用于研究非負(fù)矩陣的不等式及矩陣多項(xiàng)式等[16，30-31]。本文給出了坡的(,∨(λ,μ))-模糊理想的概念，并給出了坡的(,∨(λ,μ))-模糊理想的等價(jià)刻畫(huà)及它的一系列性質(zhì)。在未來(lái)的研究工作中，將探討坡的(,∨(λ,μ))-模糊理想概念的不同刻畫(huà)并研究其不同理想間是否有關(guān)聯(lián)。

References:

[1]Rosenfeld A.Fuzzy groups[J].Journal of Mathematical Analysis andApplications,1971,35(3):512-517.

[2]Bhakat S K,Das P.On the definition of a fuzzy subgroup[J]. Fuzzy Sets and Systems,1992,51(2):235-241.

[3]Bhakat S K,Das P.(∈,∈∨q)-fuzzy subgroups[J].Fuzzy Sets and Systems,1996,80(3):359-368.

[4]Yuan Xuehai,Zhang Cheng,Ren Yonghong.Generalized fuzzy groups and many-valued implications[J].Fuzzy Sets and Systems,2003,138(1):205-211.

[5]Liao Zuhua,Gu Hui.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy normal subgroup[J]. Fuzzy Systems and Mathsmatics,2006,20(5):47-53.

[6]Zeng Junqiao,Liao Zuhua,Fan Yingying,et al.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzyΓ-subrings and homomorphisms[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2014,28(1):15-22.

[7]Biswas R.Fuzzy subgroups and anti-fuzzy subgroups[J]. Fuzzy Sets and Systems,1990,35(1):121-124.

[8]Zhang Cheng.(∈',∈'∨q')-fuzzy subgroup[J].Journal of Liaoning Normal University:Nature Science Edition,1997,20 (2):186-189.

[9]Yuan Xuehai,Fu Yunpeng,Liu Xin,et al.-fuzzy subgroup[J].Journal of Liaoning Normal University:Nature Science Edition,2003,26(1):1-4.

[10]Guo Ziyan,Liao Zuhua,Guo Jianfu.(,∨(λ,μ))-fuzzy subgroup[C]//Proceedings of the 6th International Conference on Information and Management Science,2007:570-574.

[12]Hao Cuiyun,Liao Zuhua,Ji Min,et al.Some properties of(,∨(λ,μ))-fuzzy subgroups[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2012,26(6):26-30.

[13]Hao Cuiyun,Liao Zuhua.Some properties of(,∨(λ,μ))-fuzzy normal subgroups[J].Journal of Mathematics,2013, 33(5):858-864.

[14]Zhu Chan,Liao Zuhua,Luo Xiaotang,et al.(,∨(λ,μ))-fuzzy complemented semirings[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2014,26(3):54-61.

[15]Cao Zhiqiang.A new algebraic system—slope[J].BUSEFAL, 1981,6:22-27.

[16]Cao Zhiqiang,Kim K H,Roush F W.Incline algebra and applications[M].New York:John Wiley,1984.

[17]Jun Y B,Ahn S S,Kim H S.Fuzzy subinclines(ideals)of incline algebras[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,123(2): 217-225.

[18]Ma Xueling,Zhan Jianming.Intuitionistic fuzzy ideals of incline algebras[J].Scientiae Mathematicae Japonicae,2005, 62(1):33-38.

[19]Zhan Jianming,Long Ming.T-fuzzy ideals of incline algebras[J].Scientiae Mathematicae Japonicae,2005,61(1):67-73.

[20]Cheng Feng,Liu Feng.T-S module’s intuitionistic fuzzy slopes [J].Fuzzy Systems and Mathematics,2010,24(S):70-72.

[21]Guo Rui,Cheng Feng,Liu Feng.T-S module’s intuitionistic fuzzy quotient slopes[J].Fuzzy Systems and Mathematics, 2010,24(S):73-77.

[22]Liu Lulu,Fu Wenqing,Li Shenggang.The order aspects of fuzzy subinclines,fuzzy equivalence relations,and fuzzy congruence relations[J].Fuzzy Systems and Mathematics, 2011,25(5):43-49.

[23]Liu Lulu,Fu Wenqing,Li Shenggang.Characterizations of fuzzy subinclines,fuzzy ideals,fuzzy filters and fuzzy congruence relations[J].Journal of Shandong University:Natural Science,2011,46(11):48-52.

[24]Zhao Hu,Li Shenggang,Chen Guixiu.Fuzzy soft subinclines in incline algebras[J].Journal of Jilin University: Natural Science,2013,51(4):555-560.

[25]Fu Wenqing,Li Shenggang.Some category properties of L-ideals in inclines[J].Fuzzy Systems and Mathematics, 2013,27(6):79-85.

[26]Fu Wenqing,Li Shenggang.Category of L-subinclines and its properties[J].Journal of Yunnan University:Natural Science,2013,35(2):129-136.

[27]Rui Mingli,Liao Zuhua.Generalized anti-fuzzy subinclines (ideals)[J].Journal of Jiannan University:Natural Science, 2010,9(3):343-346.

[28]Rui Mingli,Liao Zuhua,Hu Miaohan,et al.Generalized fuzzy subinclines and(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy subinclines[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2011,25(6):60-68.

[29]Chen T Y.Lower cut set decomposition theorem and representation theorem[J].BUSEFAL,1995,63:46-48.

[30]Han S C,Gu Yundong,Li Hongxing.An application of incline matrices in dynamic analysis of generalized fuzzy bidirectional associative memories[J].Fuzzy Sets and Systems,2007,158(12):1340-1347.

[31]Lu Lingxia,Zhang Bei.Graphs and matroids weighted in a bounded incline algebra[J].The Scientific World Journal, 2014,Article ID 912715.

附中文參考文獻(xiàn)：

[6]曾俊俏,廖祖華,范瑩瑩,等.(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊Γ-子環(huán)及同態(tài)[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2014,28(1):15-22.

[20]程風(fēng),劉鋒.T-S模的直覺(jué)模糊坡[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué), 2010,24(S):70-72.

[21]郭銳,程風(fēng),劉鋒.T-S模的直覺(jué)模糊商坡[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2010,24(S):73-77.

[22]劉璐璐,伏文清,李生剛.模糊子坡代數(shù)、模糊等價(jià)關(guān)系及模糊同余關(guān)系的序方面[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2011,25(5): 43-49.

[23]劉璐璐,伏文清,李生剛.模糊子坡代數(shù)、模糊理想、模糊濾子及模糊同余關(guān)系的刻畫(huà)[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版, 2011,46(11):48-52.

[24]趙虎,李生剛,陳桂秀.坡代數(shù)上的模糊軟子坡[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2013,51(4):555-560.

[25]伏文清,李生剛.坡代數(shù)中L-理想的若干范疇性質(zhì)[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2013,27(6):79-85.

[26]伏文清,李生剛.L-子坡代數(shù)范疇及其性質(zhì)[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,35(2):129-136.

[27]芮明力,廖祖華.廣義反模糊子坡(理想)[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,9(3):343-346.

[28]芮明力,廖祖華,胡淼菡,等.廣義模糊子坡與(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊子坡[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2011,25(6):60-68.

LU Teng was born in 1989.He is an M.S.candidate at Jiangnan University.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

路騰（1989—），男，河北石家莊人，江南大學(xué)碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)槟：鷶?shù)，粒計(jì)算等。

LIAO Zuhua was born in 1957.He is a professor and M.S.supervisor at Jiangnan University.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

廖祖華（1957—)，男，江西奉新人，江南大學(xué)教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄埽Ｓ?jì)算等。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100多篇，主持省部級(jí)基金項(xiàng)目多項(xiàng)。

LIAO Cuicui was born in 1983.She received the Ph.D.degree from Harbin Institute of Technology in 2013.Now she is a lecturer at Jiangnan University.Her research interests include structure preserving algorithms and granular computing,etc.

廖翠萃（1983—），女，河南唐河人，2013年于哈爾濱工業(yè)大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為江南大學(xué)講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)楸＝Y(jié)構(gòu)算法，粒計(jì)算等。

YUAN Wangui was born in 1974.He is a lecturer at Jiangnan University.His research interest is multi-agent system.

袁玩貴（1974—），男，安徽池州人，江南大學(xué)講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)槎嘀悄荏w系統(tǒng)。

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.61170121(國(guó)家自然科學(xué)基金).

Received 2015-06,Accepted 2015-08.

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2015-08-12,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20150812.1643.009.html

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：O159

doi:10.3778/j.issn.1673-9418.1507061

LU Teng1,LIAO Zuhua1,2+,LIAO Cuicui1,2,YUAN Wangui1,2
1.School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
2.Institute of Intelligence System&Network Computing,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
+Corresponding author:E-mail:liaozuhua57@163.com

Abstract:Firstly,this paper introduces the concept of(?,?∨?(λ,μ))-fuzzy ideal of incline algebra and discusses some equivalent characterizations.Then this paper proves that the union and the anti-direct product of(?,?∨?(λ,μ))-fuzzy ideals of incline algebras are still(?,?∨?(λ,μ))-fuzzy ideals of incline algebras,and obtains some relative properties of its isomorphic image and homomorphic preimage based on the anti-extension principle.Finally,this paper discusses some basic properties of(?,?∨?(λ,μ))-fuzzy ideals of incline algebras through the chain condition of filters of incline algebras.The new concept of(?,?∨?(λ,μ))-fuzzy ideal of incline algebras expands the study of incline algebraic theory. The properties of chain condition of filters of incline algebras can also be applied to other algebraic structures,these new results enrich the soft algebra theory.

Key words:(?,?∨?(λ,μ))-fuzzy ideals;filters;chain condition;homomorphic preimage;isomorphic image