Kirchhoff彈性桿不連續(xù)量的奇異函數表達

薛　紜　翁德瑋

1. 上海應用技術大學機械工程學院, 上海201418; 2. 上海大學, 上海市應用數學和力學研究所,上海200072; ? E-mail: xy@sit.edu.cn

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Kirchhoff彈性桿不連續(xù)量的奇異函數表達

薛紜1，?翁德瑋2

1. 上海應用技術大學機械工程學院, 上海201418; 2. 上海大學, 上海市應用數學和力學研究所,上海200072; ? E-mail: xy@sit.edu.cn

彈性細桿靜力學和動力學的Kirchhoff方程要求在外力、質量幾何以及本構方程的間斷或不光滑點處分段表達, 這不利于數值計算。根據計算梁彎曲變形的奇異函數法, 將奇異函數引入Kirchhoff方程, 將彈性桿分段定義的量拓展為沿全桿的連續(xù)函數。借助 Mathematica 軟件, 對存在側向集中載荷的彈性桿進行數值模擬, 結果表明, 引入奇異函數可以避免分段導致的繁瑣計算, 提高計算效率。

Kirchhoff彈性桿; 不連續(xù)量; 奇異函數; 局部載荷; 平衡位形

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

彈性細桿靜力學的一般理論由Kirchhoff[1–2]、Clebsch[3–4], Love[5–6]以及Dill[7]的工作形成。在忽略彈性桿的伸縮和截面的剪切變形的條件下(Kirchhoff 彈性桿模型), 用彈性桿中心線的 Frenet軸系隨弧坐標的運動表達彈性桿的位形, 導出的以弧坐標為自變量, 以曲率和撓率為未知函數的平衡微分方程與剛體動力學的 Euler 方程, 在數學形式上完全相同, 由此產生“Kirchhoff動力學比擬”思想, 為連續(xù)彈性細桿的離散化提供了新的研究思路和方法[8–15], 開創(chuàng)了用剛體動力學的概念和方法研究彈性細桿靜力學的新思路。將Cosserat有向介質理論中的方向子取代Frenet軸系作為截面主軸坐標系的基矢量[9], 此方向子隨弧坐標的運動同樣形成彈性桿的位形, 以彎扭度的主軸分量為未知函數列出的平衡微分方程仍具有 Euler 方程的形式, 在體現“Kirchhoff動力學比擬”思想的同時, 可以在概念和方法上進行更廣泛的動力學比擬, 還可以方便地考慮彈性桿存在伸縮和截面剪切變形的一般情況,稱為Cosserat彈性桿精確模型。

Kirchhoff 方程要求外力、質量幾何以及本構方程沿桿長連續(xù)。實際上, 間斷或不光滑點的存在是不可避免的, Kirchhoff 方程只能分段表達, 導致邊界條件增加, 使得計算繁瑣。在求解梁的彎曲變形中引入奇異函數, 很好地解決了此問題[16–17]。

采用間斷多項式表述梁的彎矩和撓度方程由Clebsch[3]提出, Macauley[18]建議用括號〈〉表示。然而, 他們的建議未引起注意。直到Dirac提出δ 函數, Schwartz闡明了δ 函數并創(chuàng)立廣義函數論后, Pilkey[19]首次用于求解梁的變形。奇異函數法是將集中力或集中力偶, 以及局部分布力, 用奇異函數統(tǒng)一表達成沿全梁的分布量, 從而避免分段計算的麻煩。王燮山[17]系統(tǒng)闡述了奇異函數及其在材料力學、高等材料力學、彈性薄板等力學中的應用, 冷坳坳等[20]用奇異函數研究了船舶推進軸系的變形問題, 吳阿林[21]用奇異函數給出單跨梁的影響線表達式和連續(xù)階梯梁影響線方程, 徐彬等[22]討論了框架結構分析的奇異函數方法。

Kirchhoff彈性桿的特點是受空間力系作用, 位形的空間形態(tài)復雜, 因此, 將奇異函數法引入Kirchhoff彈性桿力學很有必要。這樣, 可以為涉及的分段或局部定義的幾何和物理參數給出一個沿桿長連續(xù)的表達式, 給數值計算帶來方便。

1　Kirchhoff動力學方程

依據 Kirchhoff 彈性桿力學理論, 以桿的截面為對象, 建立慣性坐標系-Oξηζ以及與截面固結的形心主軸坐標系-Pxyz, 沿坐標軸的單位基矢量分別為和其中為中心線弧坐標s和時間t的函數,e3為切向基矢量,指向弧坐標增加方向。兩組基的關系為式中H為單位正交陣。-Pxyz的位置用截面形心相對慣性系的矢徑的坐標陣和截面姿態(tài)的 Euler 角列陣T()描述。截面的運動方程為

設6個位形坐標關于s和t為2階連續(xù)可微。對于除端部外不受約束的自由彈性桿, 6個廣義坐標為獨立變量, 根據Kirchhoff假定, 其偏導需滿足方程[8]:

式中, 撇號表示對弧坐標s的偏導數。式(2)的投影式為

方程(3)是不可積的, 構成內約束而無需約束力。彎扭度(,)stω和角速度(,)st?用Euler角表示為

其中, ω = (ω1ω2ω3)T, Ω = (Ω1Ω2Ω3)T, ωi= ω · ei, Ωi= Ω · ei, 矩陣Θ的定義[8]為

其中,iq依次為3個Euler角,iΞ為Euler角的矢值函數, 變量頂部的點號表示對t的偏導數。式(4)在截面主軸坐標系中的矩陣式為

其中, 假定桿的原始形態(tài)為直桿,iM和iω為截面內力的主矩和彎扭度的主軸分量; B1和B2為關于主軸 x 和y的抗彎剛度,3B為關于主軸z的抗扭剛度。彈性細桿動力學方程為

假設彈性細桿服從虎克定律, 本構關系表示為

其中, F為截面內力的主矢; ρ為桿的密度; A為截面積;為截面對質心的慣量并矢, 在主軸坐標系下的坐標陣為, 可表示為為截面對主軸x和y的慣性矩,為對z軸的極慣性矩, 且有

方程(8)要求質量幾何參數 ρ, Jj, Ij, A以及外力f, m沿桿長都是連續(xù)的。當出現集中質量、集中力和集中力偶以及局部分布載荷等時, 這些參數對弧坐標不連續(xù), 需分段列出動力學方程。求解分段連續(xù)微分方程的工作量較大, 用奇異函數表達這些量就可以避免分段列寫和求解動力學方程。

2　奇異函數的定義及其微分和積分

奇異函數的定義[17]為

式中, 1n=-時稱為δ函數、脈沖函數或 Dirac 函數, 0n=時稱為單位階躍函數或 Heaviside 函數,奇異函數的微分和積分公式為

Kirchhoff彈性桿是以弧坐標為自變量, 因此,將奇異函數用于表達空間形態(tài)的Kirchhoff彈性桿的幾何和物理參數時, 自變量x和xi用弧坐標s和si表示。

3　彈性細桿不連續(xù)量沿桿長的表達

3.1彈性細桿分段連續(xù)量沿桿長的表達

考慮長為l的彈性細桿, 分為n段, 段長從端面開始依次為il, 其中彈性細桿分段連續(xù)量包括幾何量和物理量。如階梯桿, 其截面尺寸、截面積、截面對主軸的二次矩和轉動慣量在每一桿段上為常值; 再如, 分段連續(xù)的分布載荷, 等等。分段連續(xù)量用 Zi表示, 借助單位階躍函數(式(11)中0n=), 將定義在彈性桿上的同一性質的分段連續(xù)量拓展到全桿, 統(tǒng)一表示為

這里,iZ亦可為矢量, 例如分布力。方向不變的常值矢量要指明是相對慣性參照系-Oξηζ還是與截面固結的形心主軸坐標系-Pxyz(后者稱為隨動矢量)。

3.2彈性細桿的集中量沿桿長的表達

彈性細桿的集中量包括集中質量和集中載荷,例如, 彈性桿的某一階梯段長度極短可看做集中質量, 作用于彈性桿側向的集中力和集中力偶等都是集中載荷。集中量用iY表示, 借助脈沖函數(式(9)中1n=-), 將定義在彈性桿上一點的集中量拓展到全桿。集中量沿彈性桿軸線的分布密度為

則彈性桿上 n 個同一性質的集中量iY沿彈性桿軸線的分布密度為

這里,iY可以為矢量。

等號右邊的兩項可化為

兩式相減得

令0Δ→,得到集中力偶的線分布集度:

數值計算時, 集中量的上述表述過于理想化,并不適合數值計算。集中力是力分布區(qū)域極小的抽象, 因此將集中量還原為分布區(qū)域很小的分布量,這樣, 可用式(12)來表達在彈性桿弧坐標處作用的集中力或集中力偶iP, 則集度為(Δ為小量), 用單位階躍函數表示為

4 彈性桿平衡位形算例

令v=0, Ω =0, 式(8)即為Kirchhoff彈性桿的平衡微分方程(仍記為式(8))。下面將變量和參數無量綱化:

式中省略了所有無量綱記號,iF為截面主矢在Résal坐標系的投影, ω30為ω3=ω ·e3的起始值。

考慮如下參數和起始值, 借助 Mathematica 軟件求數值解。

1) λ=0.5, b=0.02, s1=0.3, s2=0.6, s∈(0, 3),

5 結語

Kirchhoff彈性細桿靜力學和動力學方程要求物理和幾何參數沿桿全長連續(xù)分布, 然而一般情形下, 連續(xù)的彈性細桿上常存在不連續(xù)的質量幾何、作用力以及物理參數。利用奇異函數, 將這些不連續(xù)量拓展到全桿定義, 借助數學軟件, 可以方便地進行數值模擬, 由此避免了分段計算帶來的繁瑣和工作量, 提高了計算效率。

[1] Kirchhoff G. Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich duennen elastischen Stabes. J Rein Angew Math, 1859, 56: 285–313

[2] Kirchhoff G. Vorlesungen üeber Mathematische Physic: Mechanik. Leipzig: B G Teubner, 1876

[3] Clebsch A. Théorie der elasticit?t fester k?rper. Leipzig: B G Teubner, 1682

[4] Clebsch A. Théorie de l’Elasticité des corps solides. New York: Johnson Reprint Corp, 1966

[5] Love A E H. A treatise on mathematical theory of elasticity. Cambridge: Cambridge Univ Press, 1892

[6] Love A E H. A treatise on mathematical theory of elasticity. 4th ed. New York: Dover, 1927

[7] Dill E H. Kirchhoff’s theory of rods. Archive for History of Exact Science, 1992, 44(1): 1–23

[8] 劉延柱. 彈性細桿的非線性力學: DNA力學模型的理論基礎. 北京: 清華大學出版社, 2006

[9] Svetlitsky V A. Dynamics of rods. Berlin: Springer, 2005

[10] Xue Yun, Liu Yanzhu, Chen Liqun. The Schr?dinger equation for a Kirchhoff elastic rod with noncircular cross section. Chinese Physics, 2004, 13(6): 794–797

[11] Xue Yun, Shang Huilin. Jourdain principle of a superthin elastic rod dynamics. Chinese Physics Letters, 2009, 26(7): 074501-3

[12] 薛紜, 翁德瑋, 陳立群. 精確Cosserat彈性桿動力學的分析力學方法. 物理學報, 2013, 62(4): 044601 [13] 劉延柱, 薛紜. 受圓柱面約束螺旋桿伸展為直桿的動力學分析. 力學學報, 2011, 43(6): 1151-1156

[14] 薛紜, 曲佳樂, 陳立群. Cosserat生長彈性桿動力學的 Gauss 最小拘束原理. 應用數學和力學, 2015, 36(7): 700-709

[15] Moulton D E, Lessinnes T, Goriely A. Morphoelastic rods. Part Ⅰ: a single growing elastic rod. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2013, 61: 398-427

[16] 劉鴻文. 材料力學Ⅱ. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2004: 12

[17] 王燮山. 奇異函數及其在力學中的應用. 北京: 科學出版社, 1993

[18] Macauley W H.Note on deflection of beams. Mess Math, 1919, 48: 129–130

[19] Pilkey W D. Clebsch’s method for beam deflections. J Eng Edu, 1964, 54(5): 170–173

[20] 冷坳坳, 楊慶超, 樓京俊, 等. 基于奇異函數的船舶推進軸系校中計算研究. 武漢理工大學學報: 交通科學與工程版, 2015, 39(2): 401–404

[21] 吳阿林. 連續(xù)階梯梁影響線方程的奇異函數法研究.力學與實踐, 2004, 26(2): 70–72

[22] 徐彬, 梁啟智. 框架結構分析的奇異函數方法. 力學與實踐, 2001, 23(4): 47–49

[23] 劉延柱. 高等動力學. 北京: 高等教育出版社, 2001

Discontinuous Quantities of Kirchhoff Elastic Rod Expressed by Singularity Function

XUE Yun1，?， WENG Dewei2
1. School of Mechanical Engineering, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418; 2. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072; ? E-mail: xy@sit.edu.cn

Kirchhoff equation of thin elastic rod statics and dynamics must be written in piecewise at section with discontinuous or nonsmooth quantities such as external forces, mass geometry and physical parameters, which leads to inconvenience to the numerical calculation. According to singular function method in calculation of beam bending deformation, these discontinuous or nonsmooth quantities of the rod are expressed by singular function and become continues quantities alone centerline of the rod. Numerical simulations of equilibrium configuration of the rod acted by lateral concentrated load are made by means of Mathematics software. Results explain that introducing singular function to express discontinuous or nonsmooth quantities can avoid complicated calculation and improve the computational efficiency.

Kirchhoff elastic rod; discontinuous quantities; singularity function; local loads; equilibrium configuration

O31; O33

10.13209/j.0479-8023.2016.086

國家自然科學基金(11372195, 10972143)資助

2015-10-10;

2016-03-16; 網絡出版日期: 2016-07-12